上海八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章實(shí)數(shù)一、實(shí)數(shù)的概念及分類1、實(shí)數(shù)的分類廠正有理數(shù)有理數(shù)零卜有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)匚負(fù)有理如廠正無理為L(zhǎng)無理數(shù)4無限不循環(huán)小數(shù)匚負(fù)無理如2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如",3/2等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率冗，或化簡(jiǎn)后含有冗的數(shù)，如三+8等；3（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001，等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等二、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算

2、術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是00表示方法：記作“言”,讀作根號(hào)a。性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“±6"，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。Va0注意：，a的雙重非負(fù)葉-a-03、立方根一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即x3=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）表示方法：記作3a性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有

3、一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。注意：仁=-四,這說明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。三、二次根式計(jì)算1、含有二次根號(hào)”被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2、性質(zhì)：(1)(國(guó)2=a(aX0)一a(a-0)(2) Ma?=a=-<J-a(a<0)(3) VOb=面Tb(a20,b之0)(Va=dOb(a之0,b之0)(4) =la(a>0,b>0)(=jl(a>0,b>0).b、b.b；b3、化簡(jiǎn)二次根式:把二次根式被開方數(shù)的完全平方因式移到根號(hào)外。例：J18=J2M32=3亞。(字母因式由根號(hào)內(nèi)移到根號(hào)外時(shí)，必須考慮字母因式隱含的符號(hào))4、

4、最簡(jiǎn)二次根式：化簡(jiǎn)后的二次根式需同時(shí)符合以下兩個(gè)條件：被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1;被開方數(shù)不含分母。這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。將一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，有以下兩種情況：如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))，先利用商的自述平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后再分母有理化；如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解質(zhì)因數(shù)，然后把能開方的因式或因數(shù)開出來，從而將式子化簡(jiǎn)?；胃綖樽詈?jiǎn)二次根式的步驟：把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，化為積的形式；把根號(hào)內(nèi)能開方的的因數(shù)移到根號(hào)外；化去根號(hào)內(nèi)的分母，若被開方數(shù)的因數(shù)中有帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。5、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)土

5、根式勺，如占被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式是同類二次根式。例：如、2氏、1J2。(判斷是不是2同類二次根式：首先，要看它們是不是最簡(jiǎn)二次根式；其次，看這些最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)是否相同）6、二次根式的加法、減法：化簡(jiǎn)，化成最簡(jiǎn)二次根式；合并同類二次根（即將被開方數(shù)相同的二次根式的系數(shù)進(jìn)行合并）7、二次根式的乘法、除法：先完成根號(hào)內(nèi)乘除，再化簡(jiǎn)二次根式；小數(shù)化分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù)；字母需考慮取值范圍（不要忽視隱含條件）。8、分母有理化：把分子和分母都乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號(hào)，這種計(jì)算叫做分母有理化。第二章一元二次方程一、定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)是二次的整式方程。二、

6、一般式：aX2bXc=0（a=0）三、一元二次方程的解法：1、開平方法：一般來說，形如X2=d、aX2+c=0（a#0）的一元二次方程可以用開平方法。（三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等于0,沒有實(shí)數(shù)根）2、因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分組分解法。3、配方法：移常數(shù)項(xiàng)；化二次項(xiàng)系數(shù)為1;配方，在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；用開平方法求解；結(jié)論。4、公式法：先把方程化為一般形式；寫出方程各項(xiàng)的系數(shù)a、b、c的值（要注意它們的符號(hào)）；計(jì)算b2-4ac；當(dāng)b24ac20時(shí)，將a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個(gè)根；當(dāng)b2-4ac<0

7、時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，就不必解（開平方法、因式分解法一般適用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍的方法，適用任意方程，其中：公式法計(jì)算較繁瑣。）四、一元二次議程根的判別式1、定義：b2-4ac叫做一元二次方程aX2+bX+c=0（a#0）的根的判別式，通常用符號(hào)來表示，即=b2-4ac02、一元二次方程aX2+bX+c=0（a#0）的根的情況與的關(guān)系：=b24ac）0u方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。=b2-4ac=0u方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。42-4acSu方程沒有實(shí)數(shù)根。3、由方程的情況求字母系數(shù)的值或取值范圍如果說方程有實(shí)數(shù)根，那么b2-4ac-0；注意：因?yàn)槭且辉畏匠?，不要遺漏隱

8、含條件a#0。五、一元二次議程的應(yīng)用1、二次三項(xiàng)式的概念：形如（a、b、c都不為0）的多項(xiàng)式稱為二次三項(xiàng)式。2、二次三項(xiàng)式的因式分解：首先考慮能否提取公因式；能否運(yùn)用十字相乘法；最后考慮用公式法。3、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：審題設(shè)元列方程解方程檢驗(yàn)寫答案4、根據(jù)題意列方程時(shí)，必須同時(shí)滿足以下四個(gè)條件：方程兩邊意義相同；方程兩邊單位一致；方程兩邊數(shù)值相等；方程全面地反映了題中所有數(shù)量之間的關(guān)系。5、列一元二次方程解題的類型：幾何類問題(利用幾何定理、面積公式等作解題依據(jù)，列出一元兩次方程，解題)；增長(zhǎng)(降低)率問題：如設(shè)基數(shù)為a,平均增長(zhǎng)率為x,則第一次增長(zhǎng)后為a(1+x),第二次增長(zhǎng)

9、后為a(1+x)2;利潤(rùn)(銷售)問題：常用等量關(guān)系有：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)、總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)x總件數(shù)、利潤(rùn)率利潤(rùn)進(jìn)價(jià)(或成本)黑100%、售價(jià)=標(biāo)價(jià)x打折數(shù)等;注意：解應(yīng)用題時(shí)一定不要忘記檢驗(yàn)所求的根是否符合實(shí)際問題的要求。第三章一次函數(shù)一、函數(shù)：一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式(取全體實(shí)數(shù))，分式(分母不為0)、二次根式(被開方數(shù)為非負(fù)數(shù))、實(shí)際意義幾方面考慮。(1).用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范

10、圍是全體實(shí)數(shù)。(2)用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實(shí)數(shù)。(3)用奇次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的一切實(shí)數(shù)。(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。(5)對(duì)于與實(shí)際問題有關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義。三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)(1)關(guān)系式(解析)法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式(解析)法。(2)列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來表

11、示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。(3)圖象法用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、函數(shù)圖像函數(shù)圖象的定義：一般的，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么在坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象的一般步驟：1、列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。）注意：列表時(shí)自變量由小到大，相差一樣，有時(shí)需對(duì)稱。2、描點(diǎn)：（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。3、連線：（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來）。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

12、一般地，若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系可以表示成y=kx+b（k,b為常數(shù)，k/0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)（即y=kx）（k為常數(shù)，k#0）,稱y是x的正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例。2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0,b）的直線；正比例函數(shù)y=kx的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）的直線k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y/圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。x/b<0y1k圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x

13、的增大而增大。ox/K<0b>0yJL圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小0xb<0y/0>圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4、正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)y=kx有下列性質(zhì)：(1)當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；(2)當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：(1)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確

14、定確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=kx(k=0)中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k=0)中的常數(shù)k和bo解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法。(1)一次函數(shù)與一元一次方程：從數(shù)”的角度看x為何值時(shí)函數(shù)y=ax+b的值為00(2)求ax+b=0(a,b是常數(shù)，aw曲解，從形”的角度看，求直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。(3)一次函數(shù)與一元一次不等式：解不等式ax+b>0(a,b是常數(shù)，a*0)。從數(shù)”的角度看，x為何值時(shí)函數(shù)y=ax+b的值大于0o

15、(4)解不等式ax+b>0(a,b是常數(shù)，a*0)從形”的角度看，求直線y=ax+b在x軸上方的部分(射線)所對(duì)應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍。7、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，kw0）的形式.而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，kw0）.當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，？即kx+b=0就與一元一次方程完全相同.結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，kw0）的形式.所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的化從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值.7、反比例函

16、數(shù)定義：一般地，形如y=k（k為常數(shù)，k#。）的函數(shù)稱為x反比例函數(shù)。y=k還可以寫成y二kxx反比例函數(shù)解析式的特征：等號(hào)左邊是函數(shù)y,等號(hào)右邊是一個(gè)分式。分子是不為零的常數(shù)k（也叫做比例系數(shù)k）,分母中含有自變量x,且指數(shù)為1.比例系數(shù)k=0自變量x的取值為一切非零實(shí)數(shù)。函數(shù)y的取值是一切非零實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)的圖像圖像的畫法：描點(diǎn)法列表（應(yīng)以。為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)）描點(diǎn)（有小到大的順序）y=k （ k為常數(shù)，k，0）中 x連線（從左到右光滑的曲線）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，自變量x=0,函數(shù)值y=0,所以雙曲線是不經(jīng)過原點(diǎn),斷開的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，

17、但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像是是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是y=x或y=_X）o反比例函數(shù)y=k（k¥0）中比例系數(shù)k的幾何意義是：過X雙曲線y=k（k#0）上任意引X軸y軸的垂線，所得矩形X面積為k。反比例函數(shù)性質(zhì)如下表:k的取值圖像所在象限函數(shù)的增減性k>o、二象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而減小k<o二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求由k）“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y=K中的兩個(gè)變量x必成反比例關(guān)系。第四章幾何證明一

18、、幾何證明中常用的證明方法：1、證明兩直線平行一一利用平行線的性質(zhì)和判定，利用平行線的判斷定理及其推論來證明，這是證明兩直線平行最基本的方法，關(guān)鍵是找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角的相等關(guān)系或同旁內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系。2、證明兩線段相等一一利用三角形全等的性質(zhì)和判定、利用等腰三角形的性質(zhì)和判定（1）如果兩線段分別在兩個(gè)三角形中，那么可證這兩個(gè)三角形全等，有時(shí)可能缺少直接條件，要證明兩次全等；(2)有時(shí)兩線段分別在兩個(gè)三角形中，但這兩個(gè)三角形不全等，那么可添輔助線構(gòu)造全等三角形來證。常添的輔助線有：平行線、垂線、中線、連結(jié)線段等。(3)如果兩線段是一個(gè)三角形的兩邊，可證它們所對(duì)的角相等、等角對(duì)等邊;(4)證明兩條線

19、段都等于第三條線段，即以第三條線段為媒介。3、證明兩角相等一一利用三角形全等的性質(zhì)和判定、利用等腰三角形的性質(zhì)和判定。4、證明兩直線互相垂直一一利用垂直的定義、利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)。*5、證一線段等于另一線段的2倍或一半一一利用加倍法或拆分法常常要作輔助線。添輔助線：由于證明的需要，可以在原來的圖上添畫一些線，即添加輔助線來完成一些幾何證明，輔助線通常畫成虛線。三角形證明題中常見在輔助線做法：利用三角形的主要線段構(gòu)造全等三角形。二、全等三角形1、定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性質(zhì)(1)：全等三角形的對(duì)

20、應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。(2):全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。(3):全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。3、全等三角形的判定邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成SSS,)邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成SAS”)角邊角：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成ASA”)角角邊:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成AAS")斜邊.苜卻帙驊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫成HL”)4、證明兩個(gè)些郴眄！解本思路：找第三邊 (SSS ) 找夾角 (SAS )一找是否有直角 (HL)已知一邊和它

21、的鄰角已知一邊和它的對(duì)角找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA )找這個(gè)角的另一個(gè)邊 (SAS) 找這邊的對(duì)角(AAS )找一角(AAS )已知角是直角，找一邊 (HL)找兩角的夾邊(ASA)(3)：已知兩角-rL找夾邊外的任意邊(AAS)練習(xí)三、勾股定理1、勾股定理的定義直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c22、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。幾何主要定義：角角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上。(2)

22、相交線與平行線同角或等角的補(bǔ)角相等，同角或等角的余角相等；對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等垂線的性質(zhì)：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；直線外一點(diǎn)有與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短；線段垂直平分線定義：過線段的中點(diǎn)并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線；平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行線的特征：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線。（3）三角形三角形的三邊關(guān)系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和