湖南省聯(lián)考聯(lián)合體2021屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題(含答案解析)

1、湖南省聯(lián)考聯(lián)合體2021屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷 2020.12考生注意:1.本試卷分第I卷（選擇題和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.19 / 172.請將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內容：解答題按新高考范圍，小題只考集合，函數(shù)，導數(shù)，三角函數(shù)，向量，不等式，數(shù)列，立體幾何.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目1.已知集合2 = x| x_l<0, B = x x2-2x-8>0,則4n(48)=()A. x-2< x < vs B.x|-4< x< 1C

2、.x-2D.x|x<-42.棱長為2的正四面體的表面積是（）A.也C.D.3.已知函數(shù)/(x) = |2 -2/>°,若/伍)=2,x +1/4 0貝 |J =A. 2B. 1C.D.1或一 14.明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應用于航海，形成了一套先進航海技術一一“過洋牽星術。簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位.其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長約24厘米（稱十二指）觀測時

3、，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米,使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對著所觀測的星辰，依高低不同替換、調整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，則tan"=（）12 A.一35c.1237D-15.已知下列不等式不一定成立的是（）A. ac + b2 < ab + bcB.a bFC +1 C +1C. ab + c2 > ac + bcD.b2 >ac6.點心產(chǎn)分別為線段8C 43的中

4、點，直線與直線O尸交于點尸，則口里1圖)B.2 A.-57.已知等差數(shù)列%和“的前項和分別為S和7；,且亭苧，則使得上為整數(shù)的正整數(shù)七八"+ 1k的個數(shù)是（）A. 3B.4C. 5D. 68.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，&）,且對任意實數(shù)X都有/（x） +，（x）l,則不等式片/（外廿一1的解集為（）A.(YO,0)8 . (05+oo)D. (1,+co)二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分,有選錯的得。分.9 .下列函數(shù)中是奇函數(shù),且值域為R的有（）A. f

5、(x) = x3B. f(x) = x + C- f(x) = x+sinxD. /(x) = x"510.設數(shù)列勺的前項和為S“，%=1,且2sz,=3%+”，則（）A. m = -B. %是等差數(shù)列1C. a = 3""D. S =,"211.設函數(shù)/（x） = -Sm J,則下列結論正確的有（）x+smxA. /（X）的圖象關于原點對稱B. /（X+1）的圖象關于直線X = -l對稱C. /(x) > 0D- /(%)<；12.如圖，在正方體BCD - 4301%中,點£在極上，且2DE = ED、,尸是線段8片上一動點.則下

6、列結論正確的有（）A. EF1ACB.存在一點R使得4EC】FC,三棱錐4力" 的體積與點尸的位置無關D.直線44與平面所成角的正弦值的垠小值為岑?第n卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13 .已知向量萬=（也3）,= （1,-2）,且（1+很）_1_幾 則機=.14 .在三棱柱45C-N圈G中，8。，平面48瓦4,四邊形45A4是正方形，且4S = 5C, E在棱44上，且NE = 34E,則異面直線與5E所成角的余弦值為.1 215. 已知。>0, b>0,且一+ =1,則次? + 2+ 3的最小值是.a b16. 已知函

7、數(shù)/（工）=|4'-3卜2,若函數(shù)8（%）="（切2-2時（工）+加2-1有4個零點，則小的取值范圍 是.四、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （10分）在遞增的等比數(shù)列4中，% = 9，%+。4 = 30.（1）求數(shù)列6,的通項公式；（2）若，= k>g3%，求數(shù)列4的前項和S”.18. （12 分）在c（cos4 + sin 4） = b , csinB + bcosC = y/2b,sinB + tanCcos8 = V5sin4這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.3問題：在“BC中，角4 L C的對邊分

8、別為明瓦4已知cos 6 =二，4BC的面積是56,且, 求力8c的周長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19. （12分）隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，人們生活水平的不斷提高，越來越多的人選擇投資“黃金”作為理財手 段.下面隨機抽取了 100名把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人，根據(jù)他們的年齡情況分為20,30）, 30,40）, 40,50）, 50,60）, 60,70五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人年齡的中位數(shù)：（結果保留整數(shù)）（2）為了進一步了解該100名投資人投資黃金的具體額度情況，按照分層抽樣的方法從年齡在40,50）和60,70）的投資人中

9、隨機抽取了 5人，再從這5人中隨機抽取3人進行調查，X表示這3人中年 齡在40,50）的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.20. （12分）菱形/3C。的對角線NC與6。交于點E, BD = 8, 4C = 6 ,將月沿NC折到P4C的 位置，使得尸。=4,如圖所示.（1）證明：PB1 AC ；（2）求平面由6與平面0CD所成銳二面角的余弦值.X21. （12分）已知橢圓C: +b2= l（Q>b>0）的左、右焦點分別為，鳥，點P 1,在橢圓C上,且可鳥的面積為I.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若橢圓C上存在4, 8兩點關于直線無二加y+1對稱，求機的取值范圍.22. (12分)已知

10、函數(shù)/(幻=1、一/-2x的圖象在點(0,1)處的切線方程為歹=1.(1)證明:/(x) + x2>l.(2 )若5是/(x)的極值點，且玉)< 0,若/(演) = /(%)，且 <玉< 0 .證明： ln(jcj +x2 + 2)>ln2+2x0.高三數(shù)學試卷參考答案1. A 因為B = x| xW-2或xN4,所以a8 = x|2<x<4.因為4 = 乂入<1,所以4n(8)=乂-2<x<l.2. D棱長為2的正四面體的表面積是4x1x2x "1 = 4百.23. C 當0時，/(。)= 2'-2 = 2,解得

11、= 2；當aWO時，/(«) = «2 + 1 = 2,解得° = 一1.綜上，。=2或 =一1.4. A121由題知六指為12厘米，則幻1也二丁 =:, 72 6則 tan 2a =2 tan a n = 1-tan a24 12l-± 35365. D ac+b2-(ah-vbc) = a(c-b) + b(b-c)=(a-b)c-b).因為 >Z?>c,所以一c-b<0,所以(a-b)(c-6)<0,則qc + <6 + bc一定成立，排除A；因為,且c?+l>0 ,所以Y->M一定成立，排除B；c2 +

12、l ? + 1因為+ c? - (ac + be) = b(a - c) + c(c - a) = (a - c)(b -c) > 0 ,所以q/j + c? >ac + bc一定成立，排除c：當 q = 3, b = 9 c = l 時，> ac i23當。=3, b = 9 c = l 時，h2 <ac f2則不一定成立.6. B 如圖，因為P, D,尸三點共線，所以工P=44尸+(1 ；1)力£> = 5445+(14)40因為點E為線段8c的中點，所以礪=沅='而, 22則赤二萬+詬=萬+1耘.2因為4P, £三點共線，所以五

13、=上萬，同理可得4=8-,則組=4 =6(21) + 38 = 6+竺 2k-1 bk(2" 1) + 1 k當左= 1,2,4,8,16時，幺為整數(shù)，即滿足條件的L的個數(shù)為5. bk8. B 設g(x)= eU(x) 1,則 g'(x);+e'.因為/(%) + /。)>1，所以e'/a)+ eW)>eK，即e”/(x) + </'(x)-e* >0 ,故g(x)在R上單調遞增.因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0) = 0,所以g(O) =-l,不等式</*(%)>爐一1,即g(x)>g(O)，則x

14、>0.9. AC由題意可得/(x) = d和/(x)= "+sinx都是奇函數(shù)，且值域為R, /(x) = x +，是奇函數(shù)， X但值域為(-8,-2 U2,+8), /(X)= X-5是奇函數(shù)，但值域為(-8,0)11(0,+8).10. ACD 當 =1 時，2sl = 2% =3 +加.因為q=l,所以? 二 一1,貝ij2s“二34一1 .當，之 2 時，25“_=3一一1，所以 24 = 2sb 2sM = 3/ - 2 - (- 2)二 3冊一 3%,即見=34t，即區(qū)=3, %則數(shù)列(是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，4刀一1故q=卡，=芋11. BD 因為，(月=

15、- S”一, x + smx所以/(一) = s】n(一»= smx =小),所以/(公為偶函數(shù), -x + sm(-x) x + sinx則/(x)的圖象關于y軸對稱，故A錯誤.因為/(X)的圖象關于y軸對稱，所以/(x+1)的圖象關于直線x = - l對稱，故B正確.當工=紅時，sinx = -1 < 0 , 2所以x + sinx>0,則/(不)<0,故C錯誤.i5g(x) = x-sinx(x> 0),貝ijg'(x) = l - cosxNO,從而g(x)在(0,+8)上單調遞增.因為g(0) = 0,所以g(x)>0,即x>si

16、nx,所以x + sinx>2sinx 當x>0時，,x+sinx>0> 所以 s11' < .x + sinx 2因為/(x)是偶函數(shù)，所以故D正確.12. ABC 如圖，連接8D.易證4C_L平面BDE凡 則月CJ.EF,故A正確.在44上取一點才，使得4" = 2%"，連接EG，EH , 叫 易證四邊形4GE”為平行四邊形，則4A, C.E = B.H .若BF = 2B7,易證四邊形ZHgF為平行四邊形，貝 iJZR 瓦"，AF = BH,仄而 AFgE , AF = CE ,故四邊形AECF為平行四邊形，于是AEC】

17、F ,故B正確.設月3 = ，三棱錐A AEF的體積與三棱錐F - AD.E的體積相等，”11 2。 a3則 -aef = vF-ADiE = yx 2X yxx = y>即三棱錐-/所的體積與正方體的棱長有關，與點尸的位置無關，故c正確.以G為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系G-平，設= 3,則 4(3,3,3), % (3,3,0), E(3,O,2), F(0,3j), 從而刀 =(0,0,-3), 在=(03,-1), 萬=(_3,O,r 3).設平面AEF的法向量萬=（X, 乂 z）方 NE = -3y-z = 0«- AF = -3x+(Z-3)z = 0令z =

18、 3,得萬=«_二_1, 3),從而cos(44H)= 萬=-3='/ 問 4-3)2 + 10即直線AAX與平面為E尸所成角的正弦值為 因為0WZ43,所以 10WQ 3y + 10019 ,所以明故D錯誤.3/3如r 工 3)2+ 10 - 1013. 1由題意可得1+5 = (陽+1,1).因為伍+5）1.5,所以加+1-2 = 0,解得加=1.如圖，取4G的四等分點F（點尸靠近4），小連接上戶，BF.易證4G/比"則Z.BEF為異面直線AC與BE所成的角.設4瓦=4,則8E = 5, EF = 6 BF = V26,% /nu 3 + 25-26 G故 co

19、s Z.BEF =2x5x>/3151 215 . 16 因為一+ =1,所以2a + 6 = b, a b所以 ab2a + b = 2a + b + 2a + b = 4a + 2b(»、2b 8.。一= + (4a + 2b) =11-8>16a b)a b當且僅當” = 2, 6 = 4時，等號成立.16 . (3,4) g(x) = /(x)2-2收(x) + ?2_i = o ,BP/(x)-(W + l)/(x)-(/«-l) = 0,解得 /(x) = m-l 或 /(x) = w + 1.由/(x)的圖象(圖略)可得I- 2 < 1 +

20、m < 5解得3<帆<4,即根的取值范圍是(3,4).% = aq2 = 917 .解：(1)由題意可得、%+4 =qg+q/= 30, 9>1解得 q = l, q = 3.故 a“ = qq"=31.(2)由 <1)可得.=321,則 = k)g3a2”=2-1，故 S = l+3 + 5+ 2- 1=(1 + 2；-1)"二2,18 .解：若選，因為c(cos/ + sin/) 二 69所以 sin C(cos A + sin 4) = sin 8 ,又 A + B + C = ji ,所以0m8 = $足(2 +。)，所以 sin Cc

21、os / + sin Csin A = sin 4 cosc + cos / sin C,即 sin C sin A = sin A cos C .因為sinNwO,所以sinC = cosC,即tanC = l,因為0<。<乃，所以。二三.434因為cosB = w，所以sinB = w，./.- 4及3夜70 所以 sin J = sin(J? + C) = x + x =,5 2 5 210所以。：8: c = sin 4: sin 8: sin C = 7:4 JI: 5,不妨設 a = 7/, b = 4>/2t t c=5t ,則“BC的面積為-x 7/x 4仿x

22、色= 56,解得1 = 2,22從而 a = 14, b = 85/2 » c= 10 >故的周長為 a + b + c = 14 + 80 + 10 = 24 + 871.若選，因為csin 8 + 6cosC =,所以 sin C sin 8 + sin 8 cosc = Visin B,因為所以sin8/0,所以sinC + cosC =,所以0sin(C+?)=收，即sin(c+?)=l.因為0<C<乃，所以工vC+二V至，所以。=工. 4444以下步驟同若選，因為 sin 8 + tan Ccos B = 41 sin A ,所以sin8cosC + si

23、nCcos5 = V5sinZcosC,所以 sin(4 + C) = >/sin/cosC.因為4+8+。=江，所以8+。=4一力，所以 sin(8 + C) = sin J = >/2 sin 4 cos C ,因為Ov月 開，所以sin4工0 ,所以cosC =V22因為OvC乃，所以C = F.4以下步驟同.19 .解： 因為(0.007 + 0.018)x10 = 0.25<0.5,(0.007+0.0018+0.030)x 10 = 0.55 >0.5,所以年齡的中位數(shù)在40,50）內.加一40設中位數(shù)為小 則x 03 +0.25 = 0.5,10解得7M

24、« 48 .（2）由題意可知，100名投資人中，年齡在40,50）的有30名，年齡在60,70）的有20名,則利用分層抽樣抽取的5人中,年齡在40,50）的有3名,在60,70）的有2名, 則X的可能取值為1, 2, 3,rr2 33C3CV 1尸=罟V'尸-2) =罟f?-3) = *焉X的分布列為X123P3W351 W331 9故七(X) = lx3 + 2x三 + 3x =乙.10510 520. （1）證明：因為力國力是菱形，所以力則 8EJL /C, PEL AC.因為BEu平面P8E, PE u平面PBE,且3石0理=石，所以月C_L平面尸因為尸4u平面尸8E,

25、所以尸3_LNC.（2）解：取0E的中點O,連接OR取CD的中點R連接0尸,因為AD = 8,所以OE=PE = 4.因為PQ = 4,所以PD = PE,所以PO_LOE,由(1)可知4C_L平面PBE,所以平面尸8QJL平面則尸。_L平面月BCD故以。為坐標原點，以赤，0D,而的方向分別為x, y, z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.由題中數(shù)據(jù)可得/(-3,-2,0), 5(0-6,0), C(3-2,0), D(0,2,0), P(0,0,2JJ),則方=比二(3,-4,0),= (0,6,273), 5P = (0,-2,273),設平面的法向量為冊=(石,%,zj

26、 ,則，曰=3必=0 ,而 BP = 6yl + 2 也z、= 0令x = 4,得比= (4,3,3).設平面PCD的法向量為萬= (x2,j2,z2),fiDC = 3x2-4y2 = 0nDP = -2y2 + 2y/3z2 = 0 令x = 4,得萬= (4,3,g),設平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為6 ,則 cos 8 =m-n4x4+3x3_38x 石“2 + 32 + Q3我2 X 也2 + 32 + (24回"91-,解得a = 2, b = l.21 .解：(1)由題意可得 JJc 3二22c2 = a2b2 故橢圓C的標準方程為二十;/ = l4（2）設N（

27、西,乂）, 3（與，”），線段45的中點為M（Xo，%），因為直線x = ?y+l過定點Q0）, 所以（再-I）? +y；=（巧-I? + .因為從8在橢圓上，所以E + y； = l,名+父=1,所以（玉一1）2 + 1 一手=（-1）2 + 1-爭,整理得 不 J =(xi-x2)(x1+x2-2),84所以玉+工2= ，所以二 一 33因為點M在直線x ="9+ 1上,所以工0 = 必+ 1,則為二一 3m卜/=14 x =3,得二 士豐，正 <_L<o 或 o<_L<3 3m3rn正,解得m < 一-或m > XE55故機的取值范圍為1-oo,正u V ） ,+oo .722 .證明：(1)因為/(x) = e“'-x2-2x,所以八勸=4-2%-2,則/(0) = a-2 = 0,解得。=2,故/(x) = e2x，- 2x.令gW = /(x)+x2 = e2*-2x,則 g'(x) = 2e2x-2.由 g'(x)>0,得 x>l：由 g'(x)<0,得 xvl.g(x)在(f,0)上單調遞減，