上海-解析幾何綜合測試題附答案

1、o21 .Fl、F2是橢圓y21的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則|PFi|PF2|的最大值是42 .若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點，則m、n滿足的關系式為22以(m,n)為點P的坐標，過點P的一條直線與橢圓+=1的公共點有個.733 .P是拋物線y2=x上的動點，Q是圓(x-3)2+y2=1的動點，則|PQ|的最小值為.4 .若圓x2y22axa210與拋物線y21x有兩個公共點。則實數a的范圍為.25 .若曲線yJx24與直線yk(x2)+3有兩個不同的公共點，則實數k的取值范圍是6 .圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0,4)、B(0,2),則圓C的

2、方程為.7 .經過兩圓(x+3)2+y2=13和x+2(y+3)2=37的交點，且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程為8 .雙曲線x2-y2=1的左焦點為F,點P為左支下半支上任意一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是.9 .已知A(0,7)、B(0,7)、C(12,2),以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是10 .設P1(石，8)、P2M是雙曲線y=上位于第一象限的點，對于命題x相切；存在常數 b,使得M|MP2|MPi|=242;以線段MPi為直徑的圓與圓x2+y2=2到直線y=-x+b的距離等于半|MPi|.其中所有正確命題的序號是距離之和為5的點的軌

3、跡是(11 .到兩定點A(0,0),B(3,4)A.橢圓B.AB所在直線D.無軌跡C.線段AB12 .若點(x, y)在橢圓 4x2+y2=4上，則一的最小值為(x 2A.1B. 1C. 2J3D.以上都不對32213已知Fi(3,0)、F2(3,0)是橢圓+=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，當/F1PF22=21時，尸小尸2的面積最大，則有()3A. m=12 , n =3B.m=24,n=6D.m=12,n=614 .P為雙曲線C上一點，F1、F2是雙曲線C的兩個焦點，過雙曲線C的一個焦點F1作/F1PF2的平分線的垂線，設垂足為Q,則Q點的軌跡是()12.A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線三

4、、解答題15 .(滿分10分)如下圖，過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(xo,yo)(yo>0),作兩條直線分別交拋物線于A(X1,y1)>B(X2,y2).(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求*y2的值，并證明直線AB的斜率是非零常Vo-可編輯修改-16.（滿分10分）如下圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0,(p >0 )于 M (xi, yi), N(X2, y2)兩點.W0 ),且交拋物線 y2 =2 px求/ MON的大小.（15題圖）（16題圖）17 .(滿分

5、10分)已知橢圓C的方程為X一 +2a22(a>b>0),雙曲線三一22二1 a b線為11、12,過橢圓C的右焦點F作直線1,使1,11,又l與12交于P點，設l與橢圓的兩條漸近C的兩個交點由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當11與12夾角為60°,雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程;（2）當FA=入AP時，求入的最大值.（18題圖）（17題圖）o2.18.(滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線yx上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AOBO(如上圖).(I)求AOB得重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程；(n)AOB的面積是否存在最小值？若存在，請

6、求出最小值；若不存在，請說明理由.19.(滿分12分)拋物線y2=4px(p>0)的準線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點.(1)若線段AB的垂直平分線交x軸于N(xo,0),求證：xo>3p；(2)若直線l的斜率依次為p,p2,p3,，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N1,111N2,N3,，當0<p<1時，求+的值.IN1N2IIN2N3|N10N11|20.(滿分12分)設A、B是橢圓3x2y2上的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.(I)確定的取值范圍，并求直線AB的方程；(II)試判斷是否存在

7、這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.解析幾何綜合題211、F2是橢圓亍/1的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則嚴/嚴2|的最大值是1答案：4|PF1|PF2|22簡解：|PFi|PF2|W(J2-)a42.若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點，則m、n滿足的關系式為以22(m,n)為點P的坐標，過點P的一條直線與橢圓+=1的公共點有個.732答案：0<m2+n2<3;2簡解：將直線mx+ny-3=0變形代入圓方程x2+y2=3,消去x,得(m2+n2)y26ny+9-3m2=0.令A<0得m2+n2<3.又m、n不同時為零，.0<m

8、2+n2<3.由0<m2+n2<3,可知|n|<33,|m|<V3,再由橢圓方程a=石，b=13可知公共點有2個.3.P是拋物線y2=x上的動點，Q是圓(x-3)2+y2=1的動點，則|PQ|的最小值3.答案：?簡解：將問題轉化為圓心到拋物線一上的動點的最小值2224.右圓xy2axa17/4.答案：a或1a822簡解：將圓xy2ax212得x(2a)xa221，一八八，一一,10與拋物線y2-x有兩個公共點。則實數a為21221，a10與拋物線y-x聯立，消去y,210(x0).要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負根；或有兩個相等正根。2a2a

9、10.解之0.5.若曲線yJx24與直線yk(x2)+3有兩個不同的公共點，則實數是5.答案：1ko4簡解：將曲線yJx24轉化為x2y24時考慮縱坐標的范圍；另外沒有看清過點k的取值范圍(2,-3)且與漸近線yx平行的直線與雙曲線的位置關系。6.圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0,4)、B(0,2),為.6.答案：(x2)2+(y+3)2=55.簡解：圓C與y軸交于A(0,4),B(0,2),則圓C的方程由垂徑定理得圓心在y=3這條直線上又已知圓心在直線2xy7=0上,，聯立y=-3,解得x=2,2xy7=0.圓心為(2,-3),半徑r=|AC|=223(4)2=5.所求

10、圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.7.經過兩圓(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交點，且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程為.7.答案：(x+；)2+(y+7)2=89222簡解：因為所求的圓經過兩圓(x+3)2+y2=13和x+2(y+3)2=37的交點,所以設所求圓的方程為(x+3)2+y2-13+入x2+(y+3)237=0.展開、配方、整理，得(x+3)2+(y+)1124289(12=+(1)圓心為(一,1),代入方程xy4=0,得入=-7.11故所求圓的方程為(x+)2+(y+-)2=典.2228.雙曲線x2y2=1的左焦點為F,點P為左支下半支上任意

11、一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是.8.答案：(8,0)U(1,+8)簡解：解析：數形結合法，與漸近線斜率比較9.已知A(0,7)、B(0,7)、C(12,2),以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另個焦點F的軌跡方程是o29.答案：.y2=1(y<-1)48簡解：由題意IACI=13,IBCI=15,IAB|=14,又|AF|十|AC|=|BF|+|BC|,1 .IAF|BF|=|BC|AC|=2.故F點的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線下支.又c=7,a=1,b2=48,所以軌跡方x2程為y2花=1(yw1).10 .設P1(v2,J2)、P2(J2,J2),m

12、是雙曲線y=-上位于第一象限的點，對于命題x|MP2|MP1|二2五;以線段MP1為直徑的圓與圓x2+y2=2相切；存在常數b,使得M2到直線y=-x+b的距離等于-|MP1|.其中所有正確命題的序號是.10答案：簡解：由雙曲線定義可知正確，畫圖由題意可知正確，由距離公式及|MP1|可知正確.11 .到兩定點A(0,0),B(3,4)距離之和為5的點的軌跡是()A.橢圓B.AB所在直線C.線段ABD.無軌跡11 .答案：C簡解：數形結合易知動點的軌跡是線段AB：y=-x,其中0WxW3.312 .若點(x,y)在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為()x2A.1B.-1C.-2V3D.以上都不

13、對12.答案：C簡解：一的幾何意義是橢圓上的點與定點(2,0)連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得x2最值，設直線y=k(x2)代入橢圓方程(4+k2)x2-4k2x+4k24=0.令A=0,k=±-v'3.'.kmin=<3.33213.已知Fi(3,0)、F2(3,0)是橢圓+my-=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，當/FiPF2n2時，F1PF2的面積最大，則有(3A. m=12 , n =33C. m =6 , n =一2B.m=24,n=6D.m=12,n=613.答案：A簡解：由條件求出橢圓方程即得m=12,n=3.14.P為雙曲線C上一點，F1、F2

14、是雙曲線C的兩個焦點，過雙曲線C的一個焦點F1作/F1PF2的平分線的垂線，設垂足為Q,則Q點的軌跡是()12.A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線14 .答案：B簡解：延長F1Q與PF2相交點R,根據雙曲線的定義,R在以F2為圓心的圓上,利用代入法得15 .如下圖，過拋物線y2=2 px (p>0)上一定點 P (xo,yo) (yo>0),作兩條直線分別交拋物線于 A(X1 , y1)、B(X2, y2).(1)求該拋物線上縱坐標為 p的點到其焦點F的距離;(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求 X工 的值，并證明直線 AB的斜率是非Vo零常數解：(1)當y=授時，x=p.

15、又拋物線y2=2px的準線方程為x=-p,由拋物線定義得5P"8"(2)設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.由yi2=2pxi,yo2=2pxo,相減得(yiyo)(yi+yo)=2p(xixo),故kPA=yy0=2p(xiKo).xixoyiVo同理可得kPB=(x2及o).y2Vo由PA、PB傾斜角互補知kPA=-kPB,即=,所以yi+y2=-2yo,yiVoy2Vo故yy2=2.yo設直線AB的斜率為kAB.由y22=2px2,yi2=2pxi,相減得(y2yi)(y2+yi)=2p(x2xi),V2Vl2p所以kAB=(xiWx2).x2xiyiy

16、2將yi+y2=2yo(yo>。)代入得kAB=,所以kAB是非零常數.yiV2Voi6.如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a>o,bwo),且交拋物線y2=2px(p>o)于M(xi,yi),N(x2,y)兩點.(i)證明：+-=;yiy2b（2）當a=2p時，求/MON的大小.y2=2 px 消去 x 可得 by 2+2 pay 16證明：（1）直線l的截距式方程為-+3=1.，由及2pa2pab=0.解：點M、N的縱坐標yi、y2為的兩個根，故yi+y2=-,yiy2=-2pa.2pa所以工+工=絲2=工.yiV2V1V22pab（2）解：設直

17、線OM、ON的斜率分別為ki、k2,則ki=2，k2=在.xiX2yiy2) 2=4 p2xix2,當a=2p時，由（2）知，yiy2=2pa=-4p2,由yi2=2pxi,y22=2px2,相乘得(yi y2)2x ix2=-4p2#=4p2, 4p22因此kik2=-yLy2=-9二-i.為x24p所以OMLON,即/MON=90i7 .已知橢圓C的方程為2 x 一 +2 a,x2(a>b>0),雙曲線二a的兩條漸近線為li、12,過橢圓C的右焦點F作直線l,使lli,又1與l2交于P點，設1與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B.（如下圖）(1)當11與12夾角為60。，雙曲

18、線的焦距為4時，求橢圓C的方程;(2)當FA=入AP時，求入的最大值.17解：(1)二.雙曲線的漸近線為y= ±-x,兩漸近線夾角為 60 ab又一 <1 ,a.ZPOx=30Wb =tan30a,3，a= % 3b.又 a2+ b2=4 ,.a2=3 , b2=1.x2故橢圓c的方程為萬+ y2=1.（2）由已知 1 ： y= a （x c）,與 y= bx 解得 P （ a-, 史）, bac ca2 abc 由FA=入AP得A （,不一J）.將A點坐標代入橢圓方程得（c2+ /a2） 2+ Z2a4= （1+ 入）2a2c2.（e2+ 入）2+ Z2=e2 （1+ 入）4

19、22 e e2入=-2= （2 e ）e2 22.（令 e c） a+ 2-r 1 +3 W3 - 2 桓.2 e2，入的最大彳1為石一1.18 .在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y2X上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AOBO(如圖4所示)(I)求AOB得重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程;(n)AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.18 解:(I)設4AOB 的重心為 G(x,y),A(x i,y i),B(x 2,y2),則x1 x23-yi y23(1)- OA ±OB ，k0A kOB1,即 x1x2 y1y21,(2)22又

20、點A, B在拋物線上，有y1x1,y2x2，代入(2)化簡得x1x21yiy2l(x2x；)1(x1x2)2 2x1x21(3x)2 -3x233333所以重心為G的軌跡方程為y 3x2 -3(II)S AOB112 2 2 2-210A110B1 2.(x1 y1)(x2 y2)1 . x；x2222x1 y222x2 y122y y2AOB2積 x6 2 92 M 22 .2 ( 1)62當且僅當x6x6即x1x21時，等號成立。所以AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1;19.拋物線y2=4px(p>0)的準線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點.(1)若線段AB的

21、垂直平分線交x軸于N(xo,0),求證：xo>3p；(2)若直線l的斜率依次為p, p2p3,，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N1111,一N2,N3,，當0Vp<1時，求+的值.IN1N2IIN2N3|N10N11|19證明：設直線l方程為y=k(x+p),代入y2=4px.得k2x2+(2k2p4p)x+k2p2=0.A=4(k2p2p)24k2k2p2>0,得0<k2<1.令 A (x1, y1)、B (x2, y2),貝U x1 + x2=一2k2 p 4 pk2，,，、 4py1 + y2= k (x + x2+2p)=,AB中點坐標為(_2_2

22、P k p 2pk2 ，丁AB垂直平分線為令 y=0 ,得 xo=2py-T：k2p 2Pk21k (x -2p ="”_22p k pk2由上可知0<k2<1,，xo>p+2P=3p.1.xo>3p.(2)解：.I的斜率依次為p , p2, p3,時，AB中垂線與x軸交點依次為N1 , N2, N3,(0<p<1).2點Nn的坐標為(p+FY,0).p.222(1p2)|NnNn+1|=|(p+FT)(p+FT)尸(2np1)，ppp2n1p|NnNn1|2(1 p2)所求的值為12(1 p2)p3+ p4+ - + p21 319、p (1 p

23、 )2(1 p)2(1 p)2220 .設A、B是橢圓3x y上的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.(I)確定的取值范圍，并求直線AB的方程；(II)試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由20解法1：依題意，可設直線AB的方程為yk(x1)3,代入3x2y2,整理得222(k3)x2k(k3)x(k3)0.設A(x1，必),B(x2,y2),則x1，x2是方程的兩個不同的根，4(k23)3(k3)202k(k3).且xx2由N(1,3)是線段AB的中點，得k3x12x21,k(k3)k23.解得k=-1，代入得，>12,即的取值范圍是(12,+)于是，直線AB的方程為y3(x1),即xy40.解法2：設A(x1,y1)，B(x2,y2),則有223x1 y1223x2 y23(x1 x2)(x1 x2) (y1y2)(y1 y2)0.依題意，x1x2,kAB3(x1 x2)y1y2N(1,3)是AB的中點，xx22,y1、26,從而kAB1.又由N(1,3)在橢圓內，3123212.的取值范圍是(12,).直線AB的方程為y3(x1),即xy40.(II)解法1 ：CD垂直平分AB,直線CD的方程為y3 x 1,即x y 20