2015年普通高等學校招生全國考試北京市文數(shù)卷文檔版

1、2015年普通高等學校招生全國考試數(shù)學(文)(北京卷)本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在 試卷上作答無效。考試結束后，將本市卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選 出符合題目要求的一項。(1) 若集合 A= x|5vxv2，B= x匚3vxv 3，則 A B=A. x|3v xv 2B. x|5v xv 2C. x| 3v x v 3D. x|5vx v 3(2) 圓心為(1, 1)且過原點的圓的方程是2 2 2 2(A) (x-1) 2+ (y-1) 2=1( B) (x+1) 2+ (y+1) 2=

2、1(C) (x+1) 2+ ( y+1) 2=2( D) (x-1) 2+ (y-1) 2=2(3) 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()(A) y=x2sinx( B) y=x2cosx(C) Y=|ln x|(D) y=2x(4) 某校老年，中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年人數(shù)為()(A) 90(B) 100(C) 180( D 300類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300(5)執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的k值為結束(A) 3(B) 4 (C)5(D)6(6) 設a, b是非零向量，“

3、a- b=|a|b ”是“ a/b”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件(D )既不充分也不必要條件(7) 某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(A)1(B)(B)(D)2fl WK!Man（8）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況 注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程 在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為加油時間加油量（升）in油時的累計里程（千 米）2015 年 5 H 1 112350002015 年 5 fl 1564835600（A）6 升（B）8 升（C）10 升（D）12升第二部分（非選擇題

4、共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）復數(shù)i （1+i）的實數(shù)為1_（10）2-3, 32,log25三個數(shù)中最大數(shù)的是(11)在厶ABC中，a=&3,b=,B=（12） 已知（2, 0）是雙曲線-=1（b>0）的一個焦點，貝U b=.0（13） 如圖， ABC及其內(nèi)部的點組成的集合記為 D，P （x，y）為D中任意 點，則z=2x+3y的最大值為267(14) 高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數(shù)學成 績與總成績在全年級中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學生。商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX30

5、0VXVX85VXXX98XVXX(I)估計顧客同時購買乙和丙的概率(U)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買 3種商品的概率(川)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最 大？(18) (本小題14分)如圖，在三棱錐E-ABC中，平面EAB丄平面ABC三角形EAB為等邊三角形，AC丄 BC,且 AC=B,0,M分別為AB,VA的中點(1) 求證:VB/平面MOC.(2) 求證：平面 MOQ平面VAB(3) 求三棱錐V-ABC的體積。(19) (本小題13分)星2設函數(shù) f (x) =一-kin ,k>02(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(II )證明：若f(x

6、)存在零點，貝U f(x)在區(qū)間(1, J上僅有一個零點(20) (本小題14分)已知橢圓一：:.-:,過點貌Id刼且不過點-的直線與橢圓一交于£1更兩 點，直線丄與直線 L汁:(1)求橢圓一的離心率；(II )若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；(III )試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由。2015 年普通高等學校招生全國考試數(shù)學（文）（北京卷）參考答案、選擇題（共8 小題，每小題 5 分，共 40 分）1)A（2）D（3）B（4）C5)B（6）A（7）C（8）B、填空題（共6 小題，每小題 5 分，共 30 分）9)1(10) log254(13) 7(14)乙數(shù)學

7、三、解答題(共6小題，共80分)(15) (共 13 分)解：(I)因為 f x =sinx 3cos /3=2sin( x) 7；33所以f X的最小正周期為2二.2兀兀兀(II)因為0 _ x " ，所以 "x.333兀2兀當x，即x 時，f X取得最小值33所以f (x)在區(qū)間o "上的最小值為f 1= -J3.1313丿(16) (共 13 分)解：(I)設等差數(shù)列 3n f 的公差為d .因為a4 -a2，所以d =2.又因為 a a2 =10，所以 2ad =10，故 a4.所以 an =4 2(n -1) =2n 2(n =1,2, HI).(II)

8、設等比數(shù)列的公比為q.因為 b2 = a3 =8， d = a = 16 ，所以 q = 2， b =4.6 1所以 b6 = 4 2128.由 128=2 n 2 得 n =63.所以b6與數(shù)列 訂奩的第63項相等.(17) (共 13 分)解：(I)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,200所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為0.2 .1000丙、(II)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品,所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為100

9、 2000.3.1000(III)與(I)同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為200= 0.2 ,1000100 200 3001000-0.6 ,顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為性最大。(18)1000.1. 1000所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能 (共14分)解：(I)因為O,M分別為AB , VA的中點， 所以OM /VE .又因為VE二平面MOC , 所以VB/平面 MOC.(II)因為AC = BC, O為 AB的中點，所以OC _ AB.又因為平面 VAB _平面ABC，且OC 平面ABC ,所以OC _平面VAB 所

10、以平面MOC _平面VAB (III )在等腰直角三角形 ACB中，AC二BC = .2，所以 AB =2 , OC -1 所以等邊三角形VAB的面積SVAB二J3 又因為OC _平面VAB ,1所以三棱錐C -VAB的體積等于3OC S -VAB =又因為三棱錐V - ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等,所以三棱錐V - ABC的體積為“ 3(19)(共13分)2解:x(I)由 f xkl nx (k>0 )得22 Xk由 f (x)=o 解得 x= S.f (x)與f'(x)在區(qū)間(0, ：: )上的情況如下:x(0jk)Vk(斥乜)f'(x)0+f(x)k(1

11、 1 nk)2所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,、k)，單調(diào)遞增區(qū)間是 Ck, ：)； f (x)在 x = '、k處取得極小值 f (、k)二 k(1 1nk.2(II )由(I)知，f(x)在區(qū)間(0,址)上的最小值f(Tk)= k(1Tnk).2因為f (x)存在零點，所以k(1 一1 nk)乞o，從而k - e.2當k二e時，f (x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，且 f(® 0,當 k >e 時，f (x)在區(qū)間(1,. e)上單調(diào)遞減，且 f(l)=?>0, f (、e)= < 0,所以f (x)在區(qū)間(1, .5上僅有一個零點.綜上可知，若f(x)存在

12、零點，則f (x)在區(qū)間(l/e上僅有一個零點(20)(共 14 分)2x2解：(I)橢圓C的標準方程為y2 =1.3所以 a = ,3,b =1,c=2 .所以橢圓c的離心率弋專.(II)因為AB過點D(1,0)且垂直于x軸，所以可設A(1, yj, B(1, yj，直線 AE 的方程 y-1 =(1 yJ(x 2).令 x = 3，得 M (3,2 - yj .所以直線BM的斜率kBM = 2也y1 =1. 3T(III)直線BM與直線DE平行.證明如下：當直線AB的斜率不存在時，由(II)可知kBM =1.1-0又因為直線DE的斜率kDE1，所以BM / DE .21當直線AB的斜率存在

13、時，設其方程為y = k(x-1)(k =1),設 A(X1,y2),B(X2,y2),則直線 AE 的方程為 y-1 心(x-2). x1 -2令 x"，得點 M(3，=).；W得(1 3k2)x2-6k2x 3k2Z.2 26k3k -3所以 X1 X22"X22 .1+3k21+3k2% 為-3Ty2 直線BM的斜率kBM-3 x?(3 - x2)(xi - 2)因為 kBM -1 = k(X1 一1) X1 -3"2 “)(X1 -2) -(3-X2)(x1 -2)(k -1-XjX22(咅 x2) - 31(3 - X2)(Xi - 2)(-m(3_X2)(Xi _2)所以 BM / DE .綜上可知，直線BM與直線DE平行.267°罪躺叫267°久耐皿藏從這次考試成績看， 在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是 在語文和數(shù)學兩個科目中，兩同學的成績名次更靠前的科目是三、解答題(共6題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程)(15) (本小題13分)已知函數(shù) f (x) =si