電氣工程師公共基礎(chǔ)科目第110講材料力學(xué)

1、M 5-6-1圖562所示懸臂梁，承載如圖。試列出剪力方程.彎矩方程并作V、H圖。解因梁上荷載不連續(xù)故需分段列方程。用任意截面nn截開梁，取左部為脫離體，如圖(b)所示。由為丫二0,V(jc) = 0 (OS < a)SM = 0,M(.r) = m 二 Pa (0 < T<a)同理用任意截面kk截開梁，取左部為脫離體如圖(c)所示。由ZY=O,V(x) = - 2P (a < x < 2a)= 0,M(jj) = m - 2Px - a ) = Pa - 2P(x a) (a x < 2a)根據(jù)剪力方程、彎矩方程作圖。對于線性方程只需算出各段的端值然后連直

2、線即可。V、M圖如圖(d)、(e)所示。例5-6-2寫出圖示梁的剪力方程和彎矩方程，井作剪力圖和彎矩圖。解1.求支座反力-Ma =卡3q x R-2a X2aq = 0心二 ( f)工= 叫十 2aq x a 3a x 心=0Rr=的(f )校核YY = R人卡弘-2啊三0故所求的支座反力正確。2.分段建立剪力方程和彎矩方程AC段:2Y = 0心_0V = R = qa (OV.tMa )SMC = O+ M - R&r = 0M = Rah - 叫=qar - qa2 (0<ar£a )CB段：5Y = 0, R 一 q(広一 G - V = 0V = Ra 一 qx

3、 - a) - 2ga 亠帖(a W z < 3a)2MC = 0 ga2 + M - Ra.x + *9(文"a)' = 0M - qax - qa2 一 弓 g(乂 a)2 (a M jt M 3a)3.作剪力圖和彎矩圖根據(jù)AC段，CB段剪力方程繪制剪力圖AC段V為常量，故y圖為水平線。CB段V為一次函數(shù)，因而y圖為斜直線：只需確定兩個截面V值。x = a Vc=r = 3a-g (W為無窮小量)V咗二2qa 一 q(3a _ g)=2q“ _3g 七 qE= - qa 根據(jù)AC段，CB段彎矩方程繪制彎矩圖AC段M為一次函數(shù)，因而H圖為一斜直線，只需確定兩個截面H值

4、。M/vs = qa- qa2 - - qa2x = aqa1 - qa2 = QCB段M為二次拋物線，只少要確定三個截面M值，然后用光滑曲線連起來。 jr = a, Mq = 0x = 3a,Mb = 3ga? - ga2 -寺g(3a - aY 0 拋物線頂點(diǎn)在V=2qa-qx=0處x=2aM = qa x2a - qa2 - q(2a - a)2 = qa2例5-6-3根據(jù)彎矩、剪力和荷載集度間的關(guān)系作圖5-6-6所示梁的剪力圖和彎矩圖。4kN解首先求支座反力（懸臂梁可以不求）R.=4kN （ f ） MB=4kNm （順時針）根據(jù)q、V、M關(guān)系作V、H圖通常步驟為1. 分段根據(jù)梁上荷載

5、不連續(xù)點(diǎn)（集中力，集中力偶作用處，分布荷載起訖點(diǎn)）為界點(diǎn)。2. 定形根據(jù)各段荷載情況，定出V、M圖形狀。3. 定控制截面V、H值用截面法v= s y;左丫右/M= X Mci左（右丿或用積分關(guān)系式MMA=Vdx本例題的分段和定V、M形狀情況見下表。M按CB段CLELh無V向下滋斜的口線*水平理線 (-)M下凸的二次拋物線斜応錢Z有關(guān)控制截而值確定如下：V圖AC段定兩個控制截面值vA-o% =丫 = - 4kN&或Vc = VA + ( qdx = AC段荷載圖面積=-4kN丿ACB段定一個控制截面值Vc=已求出M圖AC段 只少定三個控制截面值Ma = 0M(左=M = - 4*2 X

6、2 x 2 = - 4kNm科.JCC&或 M(左=Ma + 出 Vdx = AC左段 V 圖面積=-y2 X 4 - - 4kNm因?yàn)锳截面處V=0, M有極值，即為拋物線頂點(diǎn)。CB段只要定二個控制截面值因C截面作用有集中力偶，故M圖有突變Mg = Me左 + 8 二 4kNmM哇=Mcg + Vdz = 4 + C 右左段 V 圖面積=4 + (-4X2) =-4kNm ('右第七節(jié)彎曲應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 正應(yīng)力強(qiáng)度條件(一) 純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲，稱為純彎曲。（二）中性層與中性軸中性層桿件彎曲變形時既不伸長也不縮短的一層。中性軸 中性層與橫截面的交線，即

7、橫截而上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。中性軸位置 當(dāng)桿件發(fā)生半面彎曲，11處丁線彈性范圍時，中性軸通過橫截面形心，且垂直于荷載作 用平面。中性層的曲率桿件發(fā)生平而彎曲時，中性層（或桿軸）的曲率與彎矩間的關(guān)系為1 _ Mp F式中P為變形后中性層（或桿軸）的曲率半徑；EL為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面的中性軸。(三) 平面彎曲桿件橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律 正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力，如圖571 (a) o圖 5-7-1 (a)yT 一 '- Z圖 5-7-1 (b)計(jì)算公式任一點(diǎn)應(yīng)力M= ry11(572)最大應(yīng)力max j 5?maxM 一億

8、(573)式中M為所求截面的彎矩，匸為截面對中性軸的慣性矩，禮為抗彎截面系數(shù)。W；是一個只與橫截而的形狀及尺寸有關(guān)的兒何量。對丁矩形截面:對圓形截面:匚一 64小一亍W廠矛其余W；按式毗=匸/畑計(jì)算0討論：1,公式適用丁線彈性范圍、IL材料在拉伸和圧縮時彈性模量相等情況。2.在純彎曲時，橫截面在彎曲變形后保持平面；橫力彎曲時，由于剪應(yīng)力的存在，橫截面發(fā)生翹 曲，但精確研究指出，工程實(shí)際中的梁，只要跨度與截面高度之比L/h>5,純彎曲時的正應(yīng)力公式仍適用。（四）梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件梁的最大工作正應(yīng)力不得超過材料的許用正應(yīng)力，即"(5-7-4)注意，當(dāng)梁內(nèi)且材料的一工。時，梁

9、的拉伸與圧縮強(qiáng)度均應(yīng)得到滿足。彎曲剪應(yīng)力 剪應(yīng)力強(qiáng)度條件（一）矩形截面梁的剪應(yīng)力兩個假設(shè)：1.剪應(yīng)力方向與截而的側(cè)邊平行。2.沿截面寬度剪應(yīng)力均勻分布（見圖5-7-2） o計(jì)算公式(5?5)式中V為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，L為整個橫截而對中性軸的慣性矩，S為橫截而上 距中性軸為y處橫線一側(cè)的部分截面對中性軸的靜矩。最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸處（二）其他常用截面圖形的最大剪應(yīng)力工字型截而式中d為腹板厚度,工字型鋼中，可查型鋼表。圓形截面環(huán)形截面VS爲(wèi)IM(5-7-7)(5-7-8)(5-7-9)最大剪應(yīng)力均發(fā)生在中性軸上。（三）剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作剪應(yīng)力不得超過材料的許用剪應(yīng)力，即(5710)式中V逐為全梁的最大剪力；5；max為中性軸一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩；b為橫截面在中性軸 處的寬度；匸為整個橫截面對中性軸的慣矩。三、梁的合理截面梁的強(qiáng)度通常是由橫截面上的正應(yīng)力控制的。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，Wz在截面積A 一定的條件下，截面圖形的抗彎截面系數(shù)愈大，梁的承載能力就愈大，故截面就愈合理。因此 就W:/A而言，對工字形、矩形和圓形三種形狀的截面，工字形最為合理，矩形次之