高等數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)ppt課件

1、第九章第九章 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念的基本概念第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ,21nuuunuuu21那么稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，記作稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，記作 nuuu21 稱(chēng)為一般項(xiàng)或通項(xiàng) nu左式中每一項(xiàng)都是常數(shù)，故為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)怎樣求和怎樣求和,21211uuSuS令nSnuuu21級(jí)

2、數(shù)的前 n 項(xiàng)部分和 是一個(gè)數(shù)列 nSSSnnlim假設(shè)則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) 收斂收斂 1nnuS 稱(chēng)為級(jí)數(shù)和 1nnuSuuun21假設(shè)假設(shè) 不存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)不存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散 nnSlim1nnu留意：發(fā)散級(jí)數(shù)沒(méi)有和，留意：發(fā)散級(jí)數(shù)沒(méi)有和，但存在部分和但存在部分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念例討論等比幾何級(jí)數(shù)例討論等比幾何級(jí)數(shù) )0(12aaqaqaqan的收斂性. 解解 1nnaqu1當(dāng) 時(shí)1q nSqqaaqnnn1111qaqqaSqnnnn1)1 (1,1limlim時(shí)（1）級(jí)數(shù)收斂qaaqnn111（2）0,1limaqqnn而因?yàn)闀r(shí).,)1 (1limlim等比級(jí)數(shù)

3、發(fā)散nnnnqqaS2當(dāng),1時(shí)q（1假設(shè)nSq, 11nnaa，等比級(jí)數(shù)發(fā)散，等比級(jí)數(shù)發(fā)散 （2假設(shè)為偶數(shù)為奇數(shù)nnaaaaaSqnn, 0,) 1(, 11nnSlim所以 不存在，等比級(jí)數(shù)發(fā)散 綜上： .1;11,11時(shí)發(fā)散當(dāng)時(shí)收斂于當(dāng)qqaqaqnn無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念例2、判定級(jí)數(shù) 的斂散性 1)3)(2(1nnn解解 3121)3)(2(1nnnnnSnkkk1)3)(2(1nkkk12121312151414131nn3131n313131limlimnSnnn所以，級(jí)數(shù)收斂 31)3)(2(11nnn無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)添加、去掉或改變級(jí)數(shù)的任

4、意有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的收斂散性不變，性質(zhì)添加、去掉或改變級(jí)數(shù)的任意有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的收斂散性不變，但一般會(huì)改變收斂級(jí)數(shù)的和但一般會(huì)改變收斂級(jí)數(shù)的和 級(jí)數(shù)的斂散性取決于后面的無(wú)窮項(xiàng)，而與前級(jí)數(shù)的斂散性取決于后面的無(wú)窮項(xiàng)，而與前 n n 項(xiàng)無(wú)關(guān)，但級(jí)數(shù)和與項(xiàng)無(wú)關(guān)，但級(jí)數(shù)和與前前 n n 項(xiàng)有關(guān)。項(xiàng)有關(guān)。性質(zhì)性質(zhì)2 2 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù) 有相同的斂散性有相同的斂散性 1nnu1nnku)0(k1nnu1nnku當(dāng)級(jí)數(shù)當(dāng)級(jí)數(shù) 收斂于收斂于S S 時(shí)，那么時(shí)，那么 收斂于收斂于kSkS性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)有收斂級(jí)數(shù)設(shè)有收斂級(jí)數(shù) 和和 ，則它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加或相減所，則它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加或相減所得的級(jí)數(shù)得的級(jí)數(shù) 收斂于

5、和收斂于和 11Sunn21Svnn)(1nnnvu21SSS無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)余項(xiàng)余項(xiàng)去掉級(jí)數(shù)去掉級(jí)數(shù) 的前的前 n n 項(xiàng)項(xiàng), ,所得的級(jí)數(shù)所得的級(jí)數(shù) 1nnu1nkku若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂于收斂于S S，則余項(xiàng)，則余項(xiàng) 也收斂也收斂1nnunR321nnnnuuuRnnSSR0)(limlimlimSSSSSSRnnnnnn且且當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，用當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，用部分和部分和 代替級(jí)代替級(jí)數(shù)和數(shù)和S S產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差很小，為近似計(jì)算很小，為近似計(jì)算提供了依據(jù)提供了依據(jù)nS例判定級(jí)數(shù)例判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 12) 1(1nnn解由于解由于 與與 都收斂都收斂 121

6、nnnn121等比級(jí)數(shù)，公比絕對(duì)值小于等比級(jí)數(shù)，公比絕對(duì)值小于1 1所以所以12) 1(1nnn收斂收斂根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3 3且且12) 1(1nnn121nn322112121121211nn三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 定理若級(jí)數(shù)定理若級(jí)數(shù) 收斂，那么收斂，那么 1nnu. 0limnnu證由于證由于 收斂，存在和收斂，存在和 ，故，故 1nnunnSSlim0)(11limlimlimlimSSSSSSunnnnnnnnn. 0limnnu 僅是級(jí)數(shù)收斂的必要條件僅是級(jí)數(shù)收斂的必要條件當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 一定發(fā)散0limnnu1nnu結(jié)結(jié)論論例判定級(jí)數(shù)例判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散

7、性 11lnnnnn01111ln1lnlimlimlimnnnnnnnnnu解解11lnnnnn發(fā)散發(fā)散判定級(jí)數(shù)收斂例題判定級(jí)數(shù)收斂例題 例判定調(diào)和級(jí)數(shù)例判定調(diào)和級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 11nn解、當(dāng)解、當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 xxx )1ln(nn11ln1nSn131211n11ln311ln211ln11lnnn1ln34ln23ln2lnnn134232ln)(1lnnnnnSlim即調(diào)和級(jí)數(shù)即調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散 11nn調(diào)和級(jí)數(shù)滿(mǎn)足收斂的必要條件，但卻發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)滿(mǎn)足收斂的必要條件，但卻發(fā)散第九章第九章 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

8、第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、比較審斂法二、比值審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu), 3 , 2 , 1(0nun中中1nnnSSu由于由于11nnnnSuSS結(jié)論：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和的數(shù)列結(jié)論：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和的數(shù)列 是單調(diào)不減的是單調(diào)不減的 nSnSSSS321一、比較審斂法一、比較審斂法 定理定理1 1 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與與 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 1nnu1nnv), 3 , 2 , 1(nvunn（1 1假設(shè)假設(shè) 收斂，那么收斂，那么 也收斂；也收斂；

9、 1nnv1nnu（2 2假設(shè)假設(shè) 發(fā)散，那么發(fā)散，那么 也也發(fā)散發(fā)散 1nnu1nnv大收斂則小收斂；大收斂則小收斂；小發(fā)散則大發(fā)散。小發(fā)散則大發(fā)散。正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 證證 （設(shè)（設(shè) 收斂于和收斂于和 ，其部分和為，其部分和為 ，由，由 的單調(diào)不減性可知：的單調(diào)不減性可知： 1nnvnS nS1nnvnS*nS1nnu1nnv nS有界有界又又 *nS是單調(diào)不減是單調(diào)不減; ; *limnnS存在存在1nnu收斂；收斂；所以所以1nnv發(fā)散發(fā)散（假設(shè)（假設(shè) 收斂，由收斂，由1 1得得 收斂，與已知矛盾，收斂，與已知矛盾，1nnv1nnu 定理定理1 1 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)

10、數(shù) 與與 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 1nnu1nnv), 3 , 2 , 1(nvunn（1 1假設(shè)假設(shè) 收斂，那么收斂，那么 也收斂；也收斂； 1nnv1nnu（2 2假設(shè)假設(shè) 發(fā)散，那么發(fā)散，那么 也也發(fā)散發(fā)散 1nnu1nnv留意：小的收斂，大的不一定收斂；大的發(fā)散小的不一定發(fā)散留意：小的收斂，大的不一定收斂；大的發(fā)散小的不一定發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法例題正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法例題 例討論例討論 的斂散的斂散性性 級(jí)數(shù)p11npn解（當(dāng)解（當(dāng) ), 3 , 2 , 1(11,1nnnuppn時(shí)11nn發(fā)散發(fā)散11npn發(fā)散發(fā)散（當(dāng)（當(dāng) 時(shí)時(shí) 1pppppppnpppn15181716151413121111p

11、ppppppp818141414141212111118141211ppp312112121211ppp等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù) , ,收斂收斂) 1(1211pqp公比公比11npn收斂收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法例題正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法例題 結(jié)論結(jié)論級(jí)數(shù)p11npn當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散1;1pp在使用比較判別法審斂時(shí)，需有一個(gè)斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較的標(biāo)在使用比較判別法審斂時(shí)，需有一個(gè)斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn)常用的這種標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)有：等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)和準(zhǔn)常用的這種標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)有：等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)和p- p- 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 例審斂下列級(jí)數(shù)的斂散性例審斂下列級(jí)數(shù)的斂散性 1221nan（1 1）1) 1(1nnn

12、（2 2）11nnn（3 3）12251nnnn（4 4）解（因解（因 ), 3 , 2 , 1(11222nnan而而121nn收斂收斂所以所以1221nan收斂收斂（因（因 11) 1(1, 1) 1() 1(2nnnnnnn111nn而而發(fā)散發(fā)散1) 1(1nnn發(fā)散發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法例題正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法例題 121nn而而收斂收斂11nnn收斂收斂)2(211nnunnn（3 3）11nnn（3 3）12251nnnn（4 4）（）（） )4)(1(133) 1(113) 1(1251222nnnnnnnnnnnnun), 3 , 2 , 1(41nn141nn而而發(fā)散發(fā)散122

13、51nnnn發(fā)散發(fā)散特點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)特點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng) 是分式而其分子分母都是分式而其分子分母都是是 n n 的多項(xiàng)式常數(shù)是的多項(xiàng)式常數(shù)是零次多項(xiàng)式或無(wú)理式零次多項(xiàng)式或無(wú)理式時(shí)，只要分母的最高次時(shí)，只要分母的最高次數(shù)高出分子最高次數(shù)一數(shù)高出分子最高次數(shù)一次以上不包括一次），次以上不包括一次），該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，否則該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，否則發(fā)散發(fā)散 nu比值審斂法比值審斂法 證（當(dāng)證（當(dāng) ，取適當(dāng)?shù)?，取適當(dāng)?shù)?11, 0使nnnuu1lim因因定理達(dá)朗貝爾定理達(dá)朗貝爾DAlembertDAlembert判別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，如果極限，如果極限 1nnunnnuu1lim存在，那么存

14、在，那么 (1)(1)當(dāng)當(dāng) ，級(jí)數(shù)收斂；，級(jí)數(shù)收斂； 1(2)(2)當(dāng)當(dāng) ，級(jí)數(shù)發(fā)散；，級(jí)數(shù)發(fā)散； 1(3)(3)當(dāng)當(dāng) ，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散散 10對(duì)對(duì)NnN當(dāng),有有nnnnuuuu11,即比值審斂法證明比值審斂法證明 rNn 令令，當(dāng)，當(dāng) 有有11ruunn,3232121NNNNNNNNurruuurruuruu), 3 , 2 , 1(kurunkkN普通普通kNnNrururu2而幾何級(jí)數(shù)而幾何級(jí)數(shù)收斂收斂1kkNu收斂收斂1nnu1kkNu與與僅相差僅相差 n n 項(xiàng)項(xiàng)收斂收斂1nnu1(2)(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，取正數(shù)時(shí)，取正數(shù) 1, 1則nnnuu1lim

15、由由NnN當(dāng),1,11nnnnuuuu即有有nnuu1而而0limnnu1nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法證明比值審斂法證明 (3)(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散， 1級(jí)數(shù)p11npn對(duì)任意對(duì)任意p p值，有值，有 11limlimlim1)1(11pnnnnnnnnnuupp而而時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散1;1pp所以，當(dāng)所以，當(dāng) 1時(shí)，判別法實(shí)效時(shí)，判別法實(shí)效例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 432113211211111(1)(1)13 !nnnnn(2)(2)12) 12(1nnn(3)(3)比值審斂法例題比值審斂法例題 解（）解（） )!1(1)

16、1(3211nnun101limlimlim)!1(1!11nuunnnnnnn所以，該級(jí)數(shù)收斂所以，該級(jí)數(shù)收斂 nnnnnnnnnnnnuu3 !) 1(3)!1(111limlim（2 2）13113limennn所以，該級(jí)數(shù)發(fā)散所以，該級(jí)數(shù)發(fā)散 1) 12)(22() 12(2limlim1nnnnuunnnn（3 3）比值判別法失效，比值判別法失效，改用其它方法改用其它方法 比值審斂法例題比值審斂法例題 12) 12(1nnn(3)(3)由于由于nnn12221) 12(21nnn而而121nn收斂收斂12) 12(1nnn收斂收斂留意留意比值審斂法的特點(diǎn)是利用級(jí)數(shù)本身的比值審斂法的特

17、點(diǎn)是利用級(jí)數(shù)本身的第第 n n 項(xiàng)和第項(xiàng)和第 n +1 n +1 項(xiàng)之比的極限判項(xiàng)之比的極限判定其收斂性，使用起來(lái)極為方便值定其收斂性，使用起來(lái)極為方便值得注意的是，比值得注意的是，比值 審斂法失效審斂法失效時(shí)，要改用其它方法時(shí)，要改用其它方法 ) 1(第九章第九章 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)二、絕對(duì)收斂與條件收斂第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu中總含有無(wú)窮多個(gè)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)中總含有無(wú)窮多

18、個(gè)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng) 對(duì)級(jí)數(shù)中只有有限項(xiàng)是正的，或有限項(xiàng)是負(fù)的，總可以轉(zhuǎn)化對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的研究對(duì)級(jí)數(shù)中只有有限項(xiàng)是正的，或有限項(xiàng)是負(fù)的，總可以轉(zhuǎn)化對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的研究 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù) nnnnnuuuuuu1432111) 1() 1(nnnnnuuuuuu) 1() 1(43211或或), 3 , 2 , 1(0nun4131211) 1(1nnn交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)61514131211不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法定理（萊布尼茲判別法設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理（萊布尼茲判別法設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) )0() 1(11nnnnuu滿(mǎn)足滿(mǎn)足 0limnnu（2 2）), 3 , 2 , 1(1nuunn

19、（1 1）則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 11) 1(nnnu收斂，和收斂，和 1uS ，余項(xiàng)絕對(duì)值，余項(xiàng)絕對(duì)值 1nnuR證設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)證設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 11) 1(nnnu的部分和數(shù)列為的部分和數(shù)列為 nS（1當(dāng) n=2m 時(shí)， mmmuuuuuuS21243212)()()(2124321mmuuuuuu由于由于 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 nu0.021mkkSuu從而mS2且且 單增單增mmmuuuuuuS21243212又又mmmuuuuuuuu2122254321)()()(1umS2是單調(diào)遞增且有上界，從而是單調(diào)遞增且有上界，從而 mnS2lim存在存在設(shè)其極限值為，有設(shè)其極限值為，有 mnSS2lim當(dāng) n=

20、2m+1時(shí) 12212432112mmmmuuuuuuuS122mmuS0limnnu由于由于12limmnSSuSmmm)(lim122mnS2limSSmn12lim綜上所述綜上所述 SSnnlim11) 1(nnnu所以所以收斂收斂且且1uS )(4321nnnnnuuuuR由于由于也是交錯(cuò)級(jí)數(shù)也是交錯(cuò)級(jí)數(shù)1nnuR對(duì)于收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，如果用對(duì)于收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，如果用 作為作為 S 的近似值，則產(chǎn)生的誤差的近似值，則產(chǎn)生的誤差不會(huì)超過(guò)余項(xiàng)中第一項(xiàng)的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)余項(xiàng)中第一項(xiàng)的絕對(duì)值 ，在近似計(jì)算中，常用此法，在近似計(jì)算中，常用此法來(lái)估計(jì)誤差來(lái)估計(jì)誤差nS1nu交錯(cuò)級(jí)數(shù)例題交錯(cuò)級(jí)數(shù)例題),

21、 3 , 2 , 1(1nuunn0limnnu交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的條件：交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的條件：例討論下列級(jí)數(shù)的斂散性例討論下列級(jí)數(shù)的斂散性 nnn1) 1(1111) 1(nnnn(2)(2)(1)(1)解（）解（） nnnnn111) 1(41312111) 1(是交錯(cuò)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)) , 3 , 2 , 1(1111nunnunn0limnnu且且nnn1) 1(11所以所以收斂收斂11) 1(nnnn（2 2）雖然是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但雖然是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但 011limlimnnunnnnnn1) 1(11所以所以發(fā)散發(fā)散交錯(cuò)級(jí)數(shù)例題交錯(cuò)級(jí)數(shù)例題), 3 , 2 , 1(1nuunn0limnnu交錯(cuò)級(jí)

22、數(shù)收斂的條件：交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的條件：例例2 2 利用交錯(cuò)級(jí)數(shù)利用交錯(cuò)級(jí)數(shù) 112101) 1(10110111110nn計(jì)算計(jì)算 的近似值的近似值,使其誤差不超過(guò)使其誤差不超過(guò) 0.00011110解利用解利用 111101) 1(nnn的前的前 n n 項(xiàng)和作為項(xiàng)和作為 1110的近似值的近似值 1nnuR而而541010001. 0u取取 n n 4 4909. 01011011011111032所以所以以上計(jì)算就可保證近似值的誤差不超過(guò) 0.0001 二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂 1nnu1nnu絕對(duì)收斂：假絕對(duì)收斂：假設(shè)設(shè)收斂， 則稱(chēng) 絕對(duì)收斂 211) 1(nnn如：如

23、：絕對(duì)收斂定理假設(shè) 收斂，那么 稱(chēng)也收斂 1nnu1nnu證證nnnnnuuuuu201nnnuu收斂收斂1nnu由于由于收斂收斂nnnnuuuu又又1nnu11nnnnnuuu1nnu收斂條條 件件 收收 斂斂 1nnu1nnu條件收斂：假條件收斂：假設(shè)設(shè)收斂，而則稱(chēng) 條件收斂 發(fā)散，1nnu例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 若收斂需判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂若收斂需判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂nnnn3) 1(2111) 1(nnpn（2 2）（1 1）解（） nnnnnnu33) 1(22131113133) 1(22121limlimlimnnnuunnnnnnn1nnu收斂

24、1nnu絕對(duì)收斂例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性例判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 若收斂需判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂若收斂需判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂nnnn3) 1(2111) 1(nnpn（2 2）（1 1）條件收斂例題條件收斂例題 級(jí)數(shù)是 pnnnpnpn1111) 1(（2）,1時(shí)p11npn當(dāng)收斂11) 1(nnpn絕對(duì)收斂； ,10時(shí) p當(dāng)1111) 1(npnpnnn發(fā)散， 11) 1(nnpn而是交錯(cuò)級(jí)數(shù)11) 1(nnpn條件收斂； 滿(mǎn)足交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的條件0p當(dāng)時(shí)，0) 1(1limlimpnnnnnu故級(jí)數(shù)發(fā)散 結(jié)論11) 1(nnpn對(duì)級(jí)數(shù)時(shí)1p當(dāng),絕對(duì)收斂； 當(dāng) ,條件收斂； 時(shí)10 p當(dāng)

25、 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。0p以后凡是對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂，只需判定收斂與發(fā)散對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂，應(yīng)判定是絕對(duì)收斂、條件收斂與發(fā)散三種情形 第九章第九章 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的收斂性二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn) 1 ()()()(21xuxuxun特特點(diǎn)點(diǎn)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是函數(shù)，當(dāng) x 取定一個(gè)值，即為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Ixx0取)(01xunn)2()()()(00201xuxuxun假設(shè)2收斂,則稱(chēng)

26、0 xx 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)；反之 0 xx 是的一個(gè)發(fā)散點(diǎn) 收斂點(diǎn)全體構(gòu)成的集合，稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域 0 xx 假設(shè)為收斂點(diǎn)，則和函數(shù))()()()(002010 xuxuxuxSn當(dāng) x 在收斂域取任意值時(shí)，必有確定的和S(x)與之對(duì)應(yīng)，得)()()()(21xuxuxuxSn第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù))()()()()(211xuxuxuxuxSnnkkn前 n 項(xiàng)部分和函數(shù) 在收斂域內(nèi)有 )()(limxSxSnn余項(xiàng) )()()(xSxSxRnn在收斂域內(nèi) 0)(limxRnn例討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 121nxxx的收斂域 )(xSn解xxxxxnn111121x

27、當(dāng) 時(shí)，xxxxSnnnn1111)(limlim級(jí)數(shù)在（，內(nèi)收斂，即收斂域?yàn)椋?，）?和函數(shù)xxS11)(冪級(jí)數(shù)的收斂性?xún)缂?jí)數(shù)的收斂性 )3(22100nnnnnxaxaxaaxa為 x 的冪級(jí)數(shù) ,210naaaa冪級(jí)數(shù)的系數(shù) （式是否一定存在收斂點(diǎn) x =0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000冪級(jí)數(shù)的一般形式是 令 或 即得3式0 xxy00 x問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論冪級(jí)數(shù)3的形式定理對(duì)于冪級(jí)數(shù) ，假設(shè) nnnxa0nnnaa1lim則當(dāng) 1x時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂 則當(dāng) 時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散 1x為則換1, 0假設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂性?xún)缂?jí)數(shù)的收斂性 定理對(duì)于冪級(jí)數(shù) ，

28、假設(shè) nnnxa0nnnaa1lim則當(dāng) 1x時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂 則當(dāng) 時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散 1x（1）（2）證證 )4(22100nnnnnxaxaxaaxannnnnxaxa11limxxaannn1lim比值判別法 1, 1xx即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)4收斂 nnnxa0收斂1, 1xx即當(dāng)時(shí)，即 111limnnnnnxaxa0limnnnxannnxa0發(fā)散冪級(jí)數(shù)的收斂半徑1R0),(RR為收斂區(qū)間對(duì)區(qū)間端點(diǎn)的收斂性要另行討論冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題 例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間 0!nnxnnxnnn11) 1(12) 1(20nxnnnnnnnx2)

29、2() 1(0（3）（1）（2）（4）解（） !)!1(limlim1nnaannnn) 1(limnn收斂半徑R0，收斂區(qū)間退縮為一點(diǎn)x0（） 11limlim1nnaannnn收斂半徑 11R當(dāng)x1時(shí)，冪級(jí)數(shù)為 nnn1) 1(11由萊布尼茲判別法可知它是收斂的 當(dāng)x1時(shí)，冪級(jí)數(shù)為 11nn，發(fā)散收斂區(qū)間為（1，1冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題 12) 1(20nxnnn(3)所給冪級(jí)數(shù)缺少x的奇次冪項(xiàng)，不能直接應(yīng)用定理求收斂半徑 法法 0212) 1(nnnnx0212nnnx2222121) 1(2limxnxnxnnn可用比值判別法11, 1, 12xx也即即由時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

30、，當(dāng)1x112) 1(nnn，時(shí)收斂所以12) 1(20nxnnn的收斂區(qū)間為-1,112) 1(20nxnnn(3)冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題 法2則,2yx 令12) 1(20nxnnn12) 1(0nynnynnnaa1lim132121211) 1(21limlimnnnnnn11yyR1y當(dāng)所以, 02 xy，僅討論在端點(diǎn)處 1y112) 1(nnn收斂12) 1(0nynn的收斂區(qū)間為0,1即102 x12) 1(20nxnnn的收斂區(qū)間是-1,1,R=1冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題冪級(jí)數(shù)的收斂性習(xí)題 yx 2令nnnnx2)2() 1(0(4)可采用類(lèi)似于3的方法nnnnx2)2

31、() 1(0nnnny2) 1(0ynnnaa1limnnnnn2) 1(2) 1(11lim2121limn21yyR當(dāng)y=2時(shí),0) 1(nn發(fā)散；當(dāng)y 2時(shí)，01n發(fā)散nnnny2) 1(0的收斂區(qū)間是（2，2）222x40 xnnnnx2)2() 1(0所以的收斂區(qū)間是0，4）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 設(shè)冪級(jí)數(shù) nnnxa0)(1xSnnnxb0)(2xSnnnxb0nnnxa0nnnnxba0)()(1xS)(2xS那么收斂半徑分別為21RR 與證明略設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)為的和函數(shù)為 ，收斂半徑為，收斂半徑為R ，則在收斂區(qū)間，則在收斂區(qū)間 內(nèi)有內(nèi)有nnnxa0)(xS)0)(

32、,(RRR1.1.和函數(shù)和函數(shù) 延續(xù)延續(xù) )(xS2.2.和函數(shù)和函數(shù) 可導(dǎo)且可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次可導(dǎo)且可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次, ,收斂半徑不變收斂半徑不變 )(xS00)(nnnnnnxaxaxS11nnnxna和函數(shù)和函數(shù) 可積，且可以逐項(xiàng)積分任意次可積，且可以逐項(xiàng)積分任意次, ,收斂半徑不變收斂半徑不變 )(xS dxxadxxSxxnnn000)(00nxnndxxa101nnnxna冪級(jí)數(shù)例題冪級(jí)數(shù)例題 例求冪級(jí)數(shù)例求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間及和函數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù) 1nnnx1nnnx解的收斂半徑R 1和函數(shù)Sx），在（1，1上有11)(nnnnnxnxxSxxnn1111)(xS)1ln(

33、)1ln(11)(000 xxdxxdxxSxxx當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)為 11nn是發(fā)散的； 當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)1) 1(nnn是調(diào)和級(jí)數(shù)，收斂所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂區(qū)間為1，1）， 在收斂區(qū)間內(nèi)和函數(shù))1ln()(xxS冪級(jí)數(shù)例題冪級(jí)數(shù)例題 例求冪級(jí)數(shù)例求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) nnxn0) 1(解所給冪級(jí)數(shù)收斂半徑解所給冪級(jí)數(shù)收斂半徑R =1R =1，收斂區(qū)間為（，），收斂區(qū)間為（，） )(xSnnxn0) 1(設(shè) dxndxxSxxnn000) 1()(那么00) 1(nxndxxn01nnx132nxxxxx111小結(jié)小結(jié)冪級(jí)數(shù)求和的步驟(1)對(duì)所給冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分；(2)求出中所得冪級(jí)數(shù)

34、的和函數(shù)；(3)對(duì)中所得的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)進(jìn)行積分或微分運(yùn)算即可得到所求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 第九章第九章 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、馬克勞林級(jí)數(shù)二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 1.把任意一個(gè)已知函數(shù)f(x)表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù)；2.展開(kāi)的冪級(jí)數(shù)是否以f(x)為和函數(shù) .馬克勞林公式馬克勞林公式 0 xx 泰勒公式如果函數(shù)泰勒公式如果函數(shù)f(x)在在 的某一鄰域內(nèi)，有直到的某一鄰域內(nèi)，有直

35、到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)鄰域內(nèi)有在這個(gè)鄰域內(nèi)有 )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn )()()!1()()(010)1(之間與介于xxxxnfxRnnn泰勒公式 拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng) 證明略函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 令 x0 得)(!)0(! 2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn )0()!1()()(1)1(之間與介于xxnfxRnnn馬克勞林公式馬克勞林公式

36、nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2fx的馬克勞林級(jí)數(shù) 上式右端是否以函數(shù)f(x)為和函數(shù)nnnxnfxfxffxS!)0(! 2)0()0()0()()(21 令fx收斂條件為)()(1limxfxSnn)()()(1xRxSxfnn由于當(dāng)0)(limxRnn)()(1limxfxSnn函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(20)(limxRnn)()(1limxfxSnn)()(1limxfxSnn反之0)(limxRnn函數(shù)能否展開(kāi)的充要條件一個(gè)函數(shù)fx的展式是否唯一nnnnnxaxaxaaxaxf

37、22100)(設(shè))0(, 00fax令1212)(nnxnaxaaxf)0(, 01fax令,!)0(,! 2)0(, )0(, )0()(210nfafafafann 由此可知馬克勞林展式是唯一的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 如果f(x)在 的鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則冪級(jí)數(shù) 0 x nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(! 2)()()()(00)(200000泰勒級(jí)數(shù) 00 x令則得馬克勞林級(jí)數(shù)將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) (1)直接展開(kāi)法 !)0()(nfann直接計(jì)算,!)0(,! 2)0(, )0(, )0()(210nfafafafann 留意：留意：計(jì)算

38、一定是尋求遞推規(guī)律na函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題 例試將函數(shù)例試將函數(shù) 展成的冪級(jí)展成的冪級(jí)數(shù)數(shù) xexf)(), 3 , 2, 1()(,)()(nexfexfxnx解), 3 , 2 , 1(1)0(, 1)0()(nffn得到冪級(jí)數(shù) ! 3! 2132nxxxxn nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2收斂區(qū)間為 ),()0()!1()!1()(11之間和介于xnxexnexRnxnn由于11)!1(nnnx絕對(duì)收斂0)!(1limnxnn0)!(1limnxenxn0)(limxRnn即)(! 3! 2132xnxxxxenx函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題

39、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題 例將例將f(x)=sinx f(x)=sinx 展成展成 x x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) ), 3 , 2 , 1(2sin)()(nnxxfn解xxfsin)()2sin(cos)(xxxf 22cos)2sin()(xxxf0)0(f), 3 , 2 , 1(2sin)0()(nnfn當(dāng) n=2k 時(shí)0sin)0()2(kfk當(dāng) n=2k1 時(shí)為奇數(shù)為偶數(shù)kkkkkfk11cos2sin212sin)0()12(得冪級(jí)數(shù) )!12() 1(! 5! 31253kxxxxkk),(收斂區(qū)間函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題 例將例將f(x)=sinx f(x)=sinx

40、 展成展成 x x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) )()!12() 1(! 5! 3sin1253xkxxxxxkk)()!2() 1(! 4! 21cos242xkxxxxkk利用逐項(xiàng)求導(dǎo)法可得 利用直接展開(kāi)法還可得到) 11(1) 1(3121)1ln(132xnxxxxxnn) 11(!) 1() 1(1)1 (1xxnnmmmxnnm二項(xiàng)展開(kāi)式，m為任意實(shí)數(shù)，在 是否收斂取決于m的值 1x(2)間接展開(kāi)法 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題 間接展開(kāi)法是利用已知的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)相加、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分等和變量替換等方法求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 方法方法例將函數(shù) 展成

41、x 的冪級(jí)數(shù) xxfarctan)(dxxxx0211arctan解而 ) 11() 1(1112xxxxxnn得 ) 11() 1(1112422xxxxxnn換 為x2x) 11(12) 1(53arctan1253xnxxxxxnn上式兩邊積分得 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題 例將函數(shù)例將函數(shù) 231)(2xxxf展成 x 的冪級(jí)數(shù) xxxxxxxf2111) 1)(2(1231)(2解)22(22212111212122xxxxxnx而) 11(1112xxxxxnxxxf2111)(1322222221)1 (nnnxxxxxxnnnxxx1123322212212212

42、21收斂區(qū)間為（，） 收斂半徑應(yīng)取較小的一個(gè)，故R=1 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)例題 例例9 9 將函數(shù)將函數(shù) xxf1)(展開(kāi)成(x-1)的冪級(jí)數(shù) 解 nnxxxxxxf) 1() 1() 1() 1(1) 1(111)(2) 11(1112xxxxxn收斂區(qū)間為 111x20 x即函數(shù)冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)有較強(qiáng)的技巧性，主要是用一些已知函數(shù)的展開(kāi)式和微分、積分的方法。以下為常見(jiàn)的一些冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 )(! 3!2132xnxxxxenx) 11(1) 1(3121)1ln(132xnxxxxxnn)()!12() 1(! 5! 3sin

43、1253xkxxxxxkk)()!2() 1(! 4! 21cos242xkxxxxkk) 11(12) 1(53arctan1253xnxxxxxnn) 11(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2xxnnmmmxmmmxxnm第九章第九章 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)第六節(jié)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)一、周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)二、周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)三、定義在有限區(qū)間上函數(shù)的展開(kāi)22l傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,經(jīng)常

44、會(huì)碰到一種周期運(yùn)動(dòng),三角函數(shù)是最常見(jiàn)的周期函數(shù)那么各項(xiàng)都由正弦函數(shù)或余弦函數(shù)和常數(shù)構(gòu)成的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)它的一般形式是 )sincos(210nxbnxaannn三角級(jí)數(shù)), 3 , 2 , 1(,0nbaann為常數(shù)本節(jié)主要研究把一個(gè)周期函數(shù)展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)的方法 周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 21.三角函數(shù)系的正交性 三角函數(shù)系 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx察看0cos1nxdx0sin1nxdx), 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1(0sincosnmmxdxnx),3 , 2 , 1,(0sinsinnmn

45、mnxdxmx),3 , 2 , 1,(0coscosnmnmnxdxmx三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在 上的積分為零 ,結(jié)論三角函數(shù)的正交系周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 2三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在 上的積分為零 ,而 212dxnxdx2cosnxdx2sin, 3 , 2 , 1n三角函數(shù)系中任一個(gè)函數(shù)的平方乘積在 上的積分都不為零 ,即2.周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 2設(shè)是 以 為周期的函數(shù)，在 上可積 )(xf2,)sincos(210nxbnxaannn的和函數(shù)與三角級(jí)數(shù)的系數(shù) nnbaa,0關(guān)系)sincos(2)(10nxbnxaaxf

46、nnn設(shè)逐項(xiàng)可積dxnxbnxadxadxxfnnn 10sincos2)(求出 即可nnbaa,0周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 2dxnxbnxadxadxxfnnn 10sincos2)( 10sincosnnnnxdxbnxdxaa0a利用三角函數(shù)系的正交性其積分為零dxxfa)(10kxxfcos)()sincoscoscos(cos210nxkxbnxkxakxannn以下求)0( nannxdxkxbnxdxkxakxdxakxdxxfnnnnsincoscoscoscos2cos)(110kkakxdxa2cos), 3 , 2 , 1(cos)(1nnxd

47、xxfan周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 2)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn對(duì)nxdxxfancos)(1以 sinkx 乘上式兩端，同樣方法可得) , 3 , 2 , 1(sin)(1nnxdxxfbn3 , 2 , 1 , 0n 傅立葉系數(shù) nnba ,)sincos(210nxbnxaannn傅立葉系數(shù)組成的三角級(jí)數(shù)，稱(chēng)為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù) 結(jié)論一個(gè)函數(shù)f(x)只要在 可積，它的傅立葉級(jí)數(shù)就一定存在 ,f(x)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)是否一定收斂于的傅立葉級(jí)數(shù)是否一定收斂于f(x) f(x) 周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 2收

48、斂定理狄利克雷Dirichlet充分條件設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)在 上滿(mǎn)足： )(xf2,(1)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)； 那么 的傅立葉級(jí)數(shù)收斂且 )(xf(1)當(dāng) x 是 的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 )(xf)(xf(2)當(dāng) x 是 的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 )(xf2)0()0(xfxf(2)最多只有有限個(gè)極值點(diǎn)即不作無(wú)限多次振蕩） 的間斷點(diǎn)為的連續(xù)點(diǎn)為)(2)0()0()()()sincos(210 xfxxfxfxfxxfnxbnxaannn即證明略例1 設(shè)函數(shù)f(x)是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為 2,周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)例題的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)例題 2xxxf0

49、101)(試將函數(shù) 展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù) )(xf解 作出圖形，它顯然滿(mǎn)足收斂定理的條件 nxdxxfancos)(10cos) 1(1nxdx0cos1nxdx0sin11nxn0sin11nxn), 3 , 2 , 1(0n3 , 2 , 1, 0nandxxfa)(100) 1(1dx010dxnxdxxfbnsin)(10sin) 1(1nxdx0sin1nxdx0cos11nxn0cos11nxn6 , 4 , 20, 5 , 3 , 14) 1(12nnnnn6 , 4 , 20, 5 , 3 , 14nnnbn, 3 , 2 , 1 , 00nan時(shí)), 2, 1, 0(kkn當(dāng),傅

50、立葉級(jí)數(shù)收斂于 )(xfxnnxxxf) 12sin(1213sin31sin4)(時(shí)), 2, 1, 0(kkn 當(dāng),傅立葉級(jí)數(shù)收斂于 02)0()0(kfkf作出傅立葉級(jí)數(shù)圖形f(x)的圖形與其傅立葉級(jí)數(shù)圖形僅在間斷點(diǎn) 有差異), 2, 1, 0(kkxfx)也稱(chēng)為矩形波函數(shù)xnnxxxf) 12sin(1213sin31sin4)(以下觀察n1，2，3，4時(shí)的圖形n4n1n2n3可用數(shù)學(xué)軟件Maple作出n100的圖形，這時(shí)和fx非常逼近xnnxxxf) 12sin(1213sin31sin4)(xxxf0101)(周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)例題的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)例題 2例設(shè)函數(shù)例

51、設(shè)函數(shù) 是周期為是周期為 的周期函數(shù)，它在的周期函數(shù)，它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 )(xf2,xxxxxf00)(試將函數(shù) 展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù) )(xf解作出圖形，由于 滿(mǎn)足收斂定理的條件 )(xfdxxfa)(1002xdxnxdxxfancos)(00sin12cos2nxxdnnxdxx0sin0sin2nxdxxxn1) 1(2cos2202nnnxn周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)例題的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)例題 2. 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 142nnnan當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1(0sin)(1nnxdxxfbnxkkxfk) 12cos() 12(142)(12

52、由于 是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它的傅立葉級(jí)數(shù)在任何點(diǎn)都收斂于 )(xf)(xf留意留意1.1.求一個(gè)函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)關(guān)鍵是求傅立葉系數(shù)；求一個(gè)函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)關(guān)鍵是求傅立葉系數(shù)；2.2.求傅立葉系數(shù)要尋找求傅立葉系數(shù)要尋找 的規(guī)律；的規(guī)律；3.3.對(duì)同次冪的系數(shù)要合并。對(duì)同次冪的系數(shù)要合并。nnba ,二、周期為二、周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級(jí)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)數(shù) 對(duì)周期為2l 的周期函數(shù)如何展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)討論周期為 2l 的周期函數(shù)在區(qū)間（l，l上展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的方法設(shè)f(x)是以 2l 為周期的周期函數(shù) tlx令xlt當(dāng)x在l，l上變化時(shí)， ),便在t上變化)()(tFtlfxfF(t)

53、是以 為周期的周期函數(shù),設(shè)在區(qū)間 上滿(mǎn)足收斂定理的條件 2),在連續(xù)點(diǎn)有：)sincos(2)()(10ntbntaatFxfnnn)sincos(210 xlnbxlnaannndttFa)(10dttlf)(1xtl令lldxxfl)(1二、周期為二、周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級(jí)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)數(shù) ), 3 , 2 , 1(cos)(1cos)(nxdxlnxflntdttFalln同理), 3 , 2 , 1(sin)(1sin)(nxdxlnxflntdttFblln討討論論如果fx)在（l，l是奇函數(shù)，那么lnnnxdxlnxflbna0)3 , 2 , 1(sin)(2)3

54、 , 2 , 1 , 0(0其傅立葉級(jí)數(shù)為 xlnbxfnnsin)(1特點(diǎn)：僅含有正弦正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)如果fx)在（l，l是偶函數(shù)，那么), 3 , 2 , 1(0), 3 , 2 , 1 , 0(cos)(20nbnxdxlnxflanln二、周期為二、周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級(jí)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)數(shù) fx)在（l，l是奇函數(shù)，得正弦級(jí)數(shù)xlnbxfnnsin)(1fx)在（l，l是偶函數(shù)，得余弦級(jí)數(shù)xlnaaxfnncos2)(10例若函數(shù)例若函數(shù)f(x)f(x)以為周期，在區(qū)間，上的表達(dá)式為以為周期，在區(qū)間，上的表達(dá)式為 102011)(xxxf試將其展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù) 解解 32

55、)(111001110dxdxdxxfa011011cos2coscos)(11xdxnxdxnxdxnxfan), 3 , 2 , 1(001sin210sin1nxnnxnn周期為周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)習(xí)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)習(xí)題題 例若函數(shù)例若函數(shù)f(x)f(x)以為周期，在區(qū)間，上的表達(dá)式為以為周期，在區(qū)間，上的表達(dá)式為 102011)(xxxf試將其展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù) 0, 30nba011011sin2sinsin)(11xdxnxdxnxdxnxfbn01cos210cos1xnnxnnnnnnnn2) 1(2) 1(16 , 4 , 20, 5 , 3 , 12) 1(11nnnnnxxxxf5sin513sin31sin223)(), 3, 1, 0,(kkxx), 2, 1, 0(kkx級(jí)數(shù)收斂于 23端點(diǎn)周期為周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)習(xí)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)習(xí)題題 例若矩形以例若矩形以T T為周期，且在為周期，且在 上表達(dá)式為上表達(dá)式為 2,2TT24044420)(TtTTtTATtTtf試將其展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù) 解解 f(t)f(t