第一章電子光學(xué)中的電場與磁場

1、電子光學(xué)中的電場與磁場電子光學(xué)中的電場與磁場西安交通大學(xué)西安交通大學(xué) 康永鋒康永鋒 電子光學(xué) 第一章 (Kang) P.2提綱提綱n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n直軸多極場直軸多極場 n預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識 電子光學(xué)第一章(Kang) P.3預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn為什么需要電磁場為什么需要電磁場n電子光學(xué)是一門研究真空中帶電粒子在電場和磁場中運動規(guī)律的電子光學(xué)是一門研究真空中帶電粒子在電場和磁場中運動規(guī)律的科學(xué)?？茖W(xué)。n研究帶電粒子的運動規(guī)律則首先研究的對象就是電場和磁場。研究帶電粒子的運動規(guī)律則首先研究的對象就是電場和磁場。n首

2、先應(yīng)該確定電場和磁場的分布規(guī)律和特性。只有知首先應(yīng)該確定電場和磁場的分布規(guī)律和特性。只有知道了電、磁道了電、磁場的分布規(guī)律后，才可以進一步確定電子在電、磁場中的運動規(guī)場的分布規(guī)律后，才可以進一步確定電子在電、磁場中的運動規(guī)律和狀態(tài)。律和狀態(tài)。 電子光學(xué)第一章(Kang) P.4預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律n求解電磁場問題可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上求解偏微分方程邊值問題。求解電磁場問題可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上求解偏微分方程邊值問題。n在電子光學(xué)中，所遇到的場一般須滿足以下條件：在電子光學(xué)中，所遇到的場一般須滿足以下條件： 1.1.場與時間無關(guān)，只是空間坐標的函數(shù)，既靜電

3、場和恒定磁場；場與時間無關(guān)，只是空間坐標的函數(shù)，既靜電場和恒定磁場； 2.2.介質(zhì)為真空中；介質(zhì)為真空中； 3.3.忽略電子束本身的空間電荷作用（弱流電子光學(xué)）。忽略電子束本身的空間電荷作用（弱流電子光學(xué)）。 電子光學(xué)第一章(Kang) P.5預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律n根據(jù)電磁場中的麥克斯韋爾方程，真空中的靜電場和靜磁場可以根據(jù)電磁場中的麥克斯韋爾方程，真空中的靜電場和靜磁場可以表示為：表示為：0E DjH 0 B （11） （12）說明靜電場和靜磁場可以分別獨立地討論 電子光學(xué)第一章(Kang) P.6預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(

4、ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律n如果考慮電磁場中不存在空間電荷和空間電流時，麥克斯韋爾方如果考慮電磁場中不存在空間電荷和空間電流時，麥克斯韋爾方程組可以寫為：程組可以寫為：0E0E0B0 B （13） （14） 電子光學(xué)第一章(Kang) P.7預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律l從（從（1 11 1）式可以看知，靜電場為有源無旋場，因此可以用電位）式可以看知，靜電場為有源無旋場，因此可以用電位函數(shù)的梯度描述電場強度，即函數(shù)的梯度描述電場強度，即 （15） （16）UE結(jié)合（結(jié)合（1 11 1）第二式，有）第二式，有()()EU 電子光學(xué)第一章

5、(Kang) P.8預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律 電勢應(yīng)滿足泊松方程電勢應(yīng)滿足泊松方程 （17） （18）無自由空間電荷區(qū)域，滿足拉普拉斯方程無自由空間電荷區(qū)域，滿足拉普拉斯方程20U 02 Un方程（方程（1-71-7）表示的是一個位函數(shù)）表示的是一個位函數(shù)U U在空間的分布規(guī)律，是靜在空間的分布規(guī)律，是靜態(tài)的，和時間沒有關(guān)系；態(tài)的，和時間沒有關(guān)系；n磁場也可以做相應(yīng)的分析磁場也可以做相應(yīng)的分析 電子光學(xué)第一章(Kang) P.9預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律l從（從（1 12 2）式可以看知，恒定

6、磁場為有旋無源場，因此可以用磁）式可以看知，恒定磁場為有旋無源場，因此可以用磁矢位函數(shù)矢位函數(shù)A A描述恒定磁場，即描述恒定磁場，即 （19） （110）對于線性介質(zhì)，對于線性介質(zhì)，為常數(shù)，有為常數(shù)，有AB20()AAAJ 電子光學(xué)第一章(Kang) P.10預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識),(ifrrn電磁場分布規(guī)律電磁場分布規(guī)律l磁矢位的確定可選取不同規(guī)范，電子光學(xué)中一般取磁矢位的確定可選取不同規(guī)范，電子光學(xué)中一般取 （111）有有0 A20AJ 恒定磁場在無自由電流區(qū)域磁矢位滿足恒定磁場在無自由電流區(qū)域磁矢位滿足02 A 電子光學(xué) 第一章 (Kang) P.11提綱提綱n預(yù)備的電磁場知

7、識預(yù)備的電磁場知識n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n直軸多極場直軸多極場 n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場 電子光學(xué)第一章(Kang) P.12旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場l是由具有公共對稱軸的，若干個旋轉(zhuǎn)對稱電極構(gòu)成的，既，旋轉(zhuǎn)是由具有公共對稱軸的，若干個旋轉(zhuǎn)對稱電極構(gòu)成的，既，旋轉(zhuǎn)對稱電極形成的電場分布稱為旋轉(zhuǎn)對稱靜電場。對稱電極形成的電場分布稱為旋轉(zhuǎn)對稱靜電場。l旋轉(zhuǎn)對稱靜電場的電場和電位分布具有旋轉(zhuǎn)對稱性。旋轉(zhuǎn)對稱軸旋轉(zhuǎn)對稱靜電場的電場和電位分布具有旋轉(zhuǎn)對稱性。旋轉(zhuǎn)對稱軸為為z z軸。軸。l一般情況下，帶電粒子運動圍繞該軸進行，當采用圓柱坐標系時，一

8、般情況下，帶電粒子運動圍繞該軸進行，當采用圓柱坐標系時，旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)滿足下列關(guān)系：旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)滿足下列關(guān)系： （112）0EU即電位即電位U U 電場強度電場強度 E E只是只是 r, zr, z函數(shù)函數(shù) 與方位角與方位角 無關(guān)無關(guān) 電子光學(xué)第一章(Kang) P.13旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場不考慮空間電荷效應(yīng)，圓柱坐標下的拉普拉斯方程表示如下不考慮空間電荷效應(yīng)，圓柱坐標下的拉普拉斯方程表示如下 （113）012222rUrzUrU當研究軸附近區(qū)域場時，當研究軸附近區(qū)域場時， 電勢常用冪級數(shù)表示，設(shè)電勢常用冪級數(shù)表示，設(shè)0( , )( )nnnU

9、 z rA z r （114） 電子光學(xué)第一章(Kang) P.14旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場把（把（1-141-14）代入拉普拉斯方程（）代入拉普拉斯方程（1-131-13），可得），可得 （115）撇號表示對撇號表示對z z求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)場的旋轉(zhuǎn)對稱性求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)場的旋轉(zhuǎn)對稱性 （116）220( )( )0nnnnnA z rn A z r),(),(rzUrzU所有奇次項均為零，只有偶次項所有奇次項均為零，只有偶次項 電子光學(xué)第一章(Kang) P.15旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場由（由（1-151

10、-15）和（）和（1-161-16），有），有2021( )( )2A zA z 4221( )( )4A zA z （117）（118）221( )( )nnA zAzn （119） 電子光學(xué)第一章(Kang) P.16旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場當當n=0n=0，A A0 0（z z）應(yīng)表示軸上電位）應(yīng)表示軸上電位（z）,利用上面遞推公式有利用上面遞推公式有2021( )( )2A zz (4)421( )( )(2 4)A zz 2( )221( 1)( )( )( )2 ( !)2nnnnnA zAzznn （122）（121）（120） 電

11、子光學(xué)第一章(Kang) P.17旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場故的靜電場的電勢空間分布為故的靜電場的電勢空間分布為（124）電場強度空間分布為電場強度空間分布為（123） 4)4(2)(641)(41)(),(rzrzzrzU 12)2(1) 6(5) 4(3)2)(!)!1() 1()(384)(16)(2),(kkkrrzkkzrzrzrrzE12(5)4(21)2211( 1)( , )( )( )( )( )( )464( )!2kkkzrE z rzz rz rzk（125） 電子光學(xué)第一章(Kang) P.18旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場

12、),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場 電位分布的級數(shù)表達形式稱為謝爾赤公式，它建立了軸上電位與電位分布的級數(shù)表達形式稱為謝爾赤公式，它建立了軸上電位與空間電位的關(guān)系；空間電位的關(guān)系； 因此，在旋轉(zhuǎn)對稱場中只要知道軸上電位分布就可以完全唯一地因此，在旋轉(zhuǎn)對稱場中只要知道軸上電位分布就可以完全唯一地確定空間電位分布。確定空間電位分布。 一般來說，對于遠軸區(qū)，冪級數(shù)需要較多的項才有足夠的精度。一般來說，對于遠軸區(qū)，冪級數(shù)需要較多的項才有足夠的精度。只有離軸距離只有離軸距離r r不是很大的情況下，級數(shù)收斂于電勢不是很大的情況下，級數(shù)收斂于電勢U U。一般收斂。一般收斂半徑不超過對應(yīng)的電極半徑。

13、半徑不超過對應(yīng)的電極半徑。 電子光學(xué)第一章(Kang) P.19旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸旁軸） 近軸情況指離軸距離遠遠小于電極半徑區(qū)域，可以忽略的近軸情況指離軸距離遠遠小于電極半徑區(qū)域，可以忽略的3 3次以上次以上高階項，可得到電位和電場強度的表示式為：高階項，可得到電位和電場強度的表示式為： 2)(41)(),(rzzrzU )(),(zrzEz)(2),(zrrzEr （126） （127） （128） 電子光學(xué)第一章(Kang) P.20旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)）

14、1.旋轉(zhuǎn)對稱性 2.電場基本上是軸向 3.軸附件等位面形狀 電子光學(xué)第一章(Kang) P.21旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)） 1.旋轉(zhuǎn)對稱性 任一子午面上電位關(guān)于任一子午面上電位關(guān)于Z Z軸對稱軸對稱),(),(zruzru（129） 0r軸上軸上0rE其中軸為電力線，其與等位線垂直其中軸為電力線，其與等位線垂直軸上軸上r r方向的電場強度為零，可以作為求解二維拉斯方程的邊界條件方向的電場強度為零，可以作為求解二維拉斯方程的邊界條件 電子光學(xué)第一章(Kang) P.22旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場

15、（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)）徑向場徑向場rE正比于坐標正比于坐標 r r, ,2.電場主要表現(xiàn)為軸向場，等于軸上電場zErE)(zEEz方向取決于方向取決于 - - 旋轉(zhuǎn)對稱場中電子的運動方向主要是軸向，且軸上的場強最大，旋轉(zhuǎn)對稱場中電子的運動方向主要是軸向，且軸上的場強最大，電子的軸向速度最大電子的軸向速度最大 電子光學(xué) 第一章(Kang) P.23旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)）n電場主要表現(xiàn)為軸向場，等于軸上電場因此徑向的作用力可以寫成因此徑向的作用力可以寫成 rzeFr)(21 (1-30) ( )0z0rF 電子電子e0e0e0區(qū)域區(qū)域力離開軸

16、，為發(fā)散力；力離開軸，為發(fā)散力；( )0z0rF 區(qū)域區(qū)域力指向軸，為匯聚力；力指向軸，為匯聚力； 電子光學(xué) 第一章(Kang) P.24旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場2000001( )()()()()()2zzzzzzzz n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)）在旁軸區(qū)，電勢在旁軸區(qū)，電勢n軸附件等位面形狀對于一個給定的電位值，等位面方程為：對于一個給定的電位值，等位面方程為：在軸上一點在軸上一點z=zz=z0 0附近，可將軸上電位展為附近，可將軸上電位展為2)(41)(),(rzzrzU 021)(21)(220000 rzzzzzz該曲線為以z為對稱軸的旋轉(zhuǎn)雙曲面。 (1-

17、31) (1-32) 電子光學(xué) 第一章(Kang) P.25旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場2232211 () d zdrRdzdrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)）n等位面的曲率經(jīng)過化簡后，軸上某點的曲率為經(jīng)過化簡后，軸上某點的曲率為從等位線方程（從等位線方程（1 13232）中可以求得等位面在軸上的曲率。子午面）中可以求得等位面在軸上的曲率。子午面上等位線看做上等位線看做z(rz(r) )函數(shù)的圖像。曲率為函數(shù)的圖像。曲率為00()2()zRz上式表明等位面軸上曲率取決于軸上電位分布。 電子光學(xué) 第一章(Kang) P.25旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場0)(2202zzrn

18、旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旋轉(zhuǎn)對稱靜電場（旁軸性質(zhì)旁軸性質(zhì)）n鞍點附近的等位面即子午面上的等位線為通過即子午面上的等位線為通過z0z0點的兩條直線，其傾角點的兩條直線，其傾角在軸上某點在軸上某點z=zz=z0 0處電場為零，而附近電場不為零，等位面方程為處電場為零，而附近電場不為零，等位面方程為 (1-33)(20zzr1254.74tg 0z點稱為鞍點。 電子光學(xué)(Kang) P.26旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場 下面為一個有三個圓筒電極組成的旋轉(zhuǎn)對稱場系統(tǒng)的例子。下面為一個有三個圓筒電極組成的旋轉(zhuǎn)對稱場系統(tǒng)的例子。 圖1-1 三圓筒靜電透鏡示意圖 電子光學(xué)

19、 第一章 (Kang)提綱提綱n預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場n直軸多極場直軸多極場 n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場 電子光學(xué)(Kang) P.27旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場是具有公共對稱軸的通電電流導(dǎo)線和鐵磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁場構(gòu)旋轉(zhuǎn)對稱磁場是具有公共對稱軸的通電電流導(dǎo)線和鐵磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁場構(gòu)成的。成的。n在圓柱坐標系中，所有磁場量與方位角無關(guān)在圓柱坐標系中，所有磁場量與方位角無關(guān)(,)0rzB BB 電子光學(xué)(Kang) P.28旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n激磁電流是向量

20、，與電荷不一樣；旋轉(zhuǎn)對稱磁場可由兩種條件形成：激磁電流是向量，與電荷不一樣；旋轉(zhuǎn)對稱磁場可由兩種條件形成：0Bz0zrBB（1）勵磁電流只有方向，磁感應(yīng)強度在子午面上（2）勵磁電流有和方向，磁感應(yīng)強度在旋轉(zhuǎn)方向r圖1-2 兩類旋轉(zhuǎn)對稱場 電子光學(xué)(Kang) P.29旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場),(ifrrn旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n顯然，第一類旋轉(zhuǎn)對稱場的旁軸區(qū)有磁場而無激磁電流導(dǎo)線，方便應(yīng)用于顯然，第一類旋轉(zhuǎn)對稱場的旁軸區(qū)有磁場而無激磁電流導(dǎo)線，方便應(yīng)用于電子光學(xué)系統(tǒng)中；即激磁電流密度為電子光學(xué)系統(tǒng)中；即激磁電流密度為0zrjjjj 方位角方向的磁感應(yīng)強度為零，磁場有r,z兩個方向構(gòu)成，

21、即根據(jù)比奧定理，dB應(yīng)該和ds垂直，垂直， dB沒有方向分量，整個B也沒有方向分量034ststIdsrBr0B00zBrBBzr（134） 電子光學(xué)(Kang) P.30旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n磁標位（自由空間）磁標位（自由空間）由于（第一類系統(tǒng)）磁感應(yīng)強度由于（第一類系統(tǒng)）磁感應(yīng)強度B B與旋轉(zhuǎn)對稱電場的場強與旋轉(zhuǎn)對稱電場的場強E E一樣都只有子午面一樣都只有子午面分量，且在電子經(jīng)過區(qū)域都是無源場，磁標位可以和電位同樣處理，滿足分量，且在電子經(jīng)過區(qū)域都是無源場，磁標位可以和電位同樣處理，滿足磁標位沒有明確物理意義，不便直接測量。muB0（135）012222

22、zururrummm 電子光學(xué)(Kang) P.31旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n磁矢位磁矢位磁場求解中采用更多的是磁矢位，因為矢量位的物理意義清楚，而標磁場求解中采用更多的是磁矢位，因為矢量位的物理意義清楚，而標量位無物理意義，且磁矢位可以用于傳導(dǎo)電流區(qū)域，其定義為：量位無物理意義，且磁矢位可以用于傳導(dǎo)電流區(qū)域，其定義為：ABjB0jjAAAB020 A20Aj 由麥克斯韋方程得由麥克斯韋方程得其中其中因此有因此有為傳導(dǎo)電流，根據(jù)矢量運算可得為傳導(dǎo)電流，根據(jù)矢量運算可得（138） 電子光學(xué)(Kang) P.32旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n

23、磁矢位磁矢位( (只存在于方位角方向只存在于方位角方向) )0A 對（對（1-381-38）積分可得（無窮遠處）積分可得（無窮遠處 ）r rstst為電流元與場的觀測點之間的距離，為電流元與場的觀測點之間的距離，N N為獨立電流的回路數(shù)。為獨立電流的回路數(shù)。（139）stNiistrsdIrdvjA10044 電子光學(xué)(Kang) P.33旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n磁矢位磁矢位( (只存在于方位角方向只存在于方位角方向) )不難看出，不難看出，dAdAl l和和dAdAr r數(shù)值相等，數(shù)值相等，dAdA在方位角方向。有在方位角方向。有圖1-3圓環(huán)電流產(chǎn)生的向量磁矢

24、位0zrAAAA 電子光學(xué)(Kang) P.34旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n磁矢位磁矢位有有001000rAzrzrrrAB圓柱坐標系旋度的表示式為圓柱坐標系旋度的表示式為（1-40）zAzrArBr)(1rrArBz)(10B （1-41） 電子光學(xué)(Kang) P.35旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n磁矢位磁矢位即即既然只有方位角方向存在電流，有既然只有方位角方向存在電流，有（1-42）22022()1()()rArArArjzrrr 2222()1()()0rArArAzrrr2222210AAAAzrrrr （1-44）01 ()1

25、()()()()rzBBrArABjzrzrzr rr （1-43）在無傳導(dǎo)電流區(qū)域在無傳導(dǎo)電流區(qū)域或或 電子光學(xué)(Kang) P.36旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n磁通量函數(shù)磁通量函數(shù)取磁感應(yīng)強度在一個以取磁感應(yīng)強度在一個以z z軸為中心的圓面積上的通量軸為中心的圓面積上的通量rArA具有獨特的物理意義，被稱為具有獨特的物理意義，被稱為磁通量磁通量函數(shù)；函數(shù)；()B dsAds根據(jù)斯托克斯定理根據(jù)斯托克斯定理2A dlrA所以所以rArA正比于圓周正比于圓周C C內(nèi)的磁通量，沿內(nèi)的磁通量，沿rArA為常數(shù)的面，磁通量相等，形成磁力線流管。為常數(shù)的面，磁通量相等，形成

26、磁力線流管。在子午面上，在子午面上，rArA的等值線即為磁力線。的等值線即為磁力線。 電子光學(xué)(Kang) P.37旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開則則A A應(yīng)為奇函數(shù)，故應(yīng)為奇函數(shù)，故A A可展為函數(shù)可展為函數(shù)把把A A按照按照r r展開為冪級數(shù)，由旋轉(zhuǎn)對稱性可知，展開為冪級數(shù)，由旋轉(zhuǎn)對稱性可知，BzBz應(yīng)為偶對稱，應(yīng)為偶對稱，BrBr應(yīng)為奇對稱應(yīng)為奇對稱將（將（1-451-45）代入（）代入（1-441-44），模仿靜電場的情形，可得），模仿靜電場的情形，可得3211321( )( )( )kkArf zr f zrfz （1-45）(4)351

27、112( )( )( )2 42 46f zfzArf zrr 電子光學(xué)(Kang) P.37旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開為確定為確定f f1 1(z),(z),利用利用當當r=0r=0時，時，2f2f1 1(z)(z)應(yīng)為軸上磁感應(yīng)強度應(yīng)為軸上磁感應(yīng)強度B(zB(z),),故可得故可得B(zB(z) )為軸上磁感應(yīng)強度為軸上磁感應(yīng)強度(4)241112( )( )1 ()2( )22 4zf zfzrABf zrrrr 12)2(422)()!1( !) 1(42)()(21),(kkkrzBkkrrzBrzBzrrA （1-46） 電子光學(xué)(

28、Kang) P.38旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開已知已知rArA, ,可得軸外磁感應(yīng)強度可得軸外磁感應(yīng)強度和電場一樣，已知軸上磁感應(yīng)強度和電場一樣，已知軸上磁感應(yīng)強度B(zB(z) )，便可確定空間的磁場。，便可確定空間的磁場。 12)12(12)2)()!1( !) 1()(161)(21),(kkkrrzBkkrzBrzBzrB kkkzrzBkrzBzBzrB2)2(2)2)(!) 1()(41)(),( 電子光學(xué)(Kang) P.39旋轉(zhuǎn)對稱電磁場旋轉(zhuǎn)對稱電磁場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n旁軸區(qū)域磁場（忽略高階項）旁軸區(qū)域磁場（忽略高階項

29、）和電場一樣，旁軸區(qū)的性質(zhì)為和電場一樣，旁軸區(qū)的性質(zhì)為1.1.軸本身為磁力線軸本身為磁力線; ;2.2.旁軸區(qū)基本為軸向，且大致均勻，等于軸上磁場旁軸區(qū)基本為軸向，且大致均勻，等于軸上磁場; ;3.3.徑向場正比于離軸距離徑向場正比于離軸距離r r即軸上場即軸上場 B(zB(z) )的變化率的變化率. .2)(21rzBrA)(),(zBzrBz1( , )( )2rB r zB z r 電子光學(xué) 第一章 (Kang)提綱提綱n預(yù)備的電磁場知識預(yù)備的電磁場知識n旋轉(zhuǎn)對稱靜電場旋轉(zhuǎn)對稱靜電場n旋轉(zhuǎn)對稱磁場旋轉(zhuǎn)對稱磁場n直軸多極場直軸多極場 電子光學(xué)(Kang) P.41直軸多極場直軸多極場n直軸

30、多極場直軸多極場n為什么引入多極場為什么引入多極場1.1.旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)由于橫向作用力小，不能應(yīng)用于高能粒子聚焦；旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)由于橫向作用力小，不能應(yīng)用于高能粒子聚焦；2.2.多極場可用于旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的像差校正。多極場可用于旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)的像差校正。直軸多極場在圓柱坐標下，仍然滿足拉普拉斯方程直軸多極場在圓柱坐標下，仍然滿足拉普拉斯方程2222222110uuuurrrzr（148） 與旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)不同，電勢也是方位角的函數(shù)。與旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)不同，電勢也是方位角的函數(shù)。 電子光學(xué)(Kang) P.42直軸多極場直軸多極場n直軸多極場直軸多極場n降維降維 對電位在方位角方向做傅立葉級數(shù)展開對電位在方位

31、角方向做傅立葉級數(shù)展開（149） 顯然顯然, ,上式中右邊為上式中右邊為m m次諧波電位，當次諧波電位，當m=0m=0時，時，0 0次諧波電位為旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)。次諧波電位為旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)。第一項關(guān)于第一項關(guān)于=0=0子午面左右對稱；第二項相對于子午面左右對稱；第二項相對于=0=0子午面左右反對稱，相當子午面左右反對稱，相當于第一項的對稱面移動了于第一項的對稱面移動了 ；可以認為是斜的；可以認為是斜的m m系諧波電位。系諧波電位。sin),(cos),(),(0mzrmzrzrummm/2m 電子光學(xué)(Kang) P.43直軸多極場直軸多極場n直軸多極場直軸多極場n求解求解 將（將（1-491-49

32、）代入（）代入（1-481-48）可以得出）可以得出0122222mmmmrmzrrr0122222mmmmrmzrrr（150） （151） 電子光學(xué)(Kang) P.44直軸多極場直軸多極場n直軸多極場直軸多極場n求解求解 分離變量法分離變量法（152） )()(),(0krIzzrmkmkm)(krImmr其中其中為為m m階變態(tài)貝塞爾函數(shù)，一般可展開為階變態(tài)貝塞爾函數(shù)，一般可展開為的乘積，即的乘積，即r r的偶次項級數(shù)與的偶次項級數(shù)與20)(),(rzArzrkmmm（153） 電子光學(xué)(Kang) P.45直軸多極場直軸多極場n直軸多極場直軸多極場n求解求解代入解的形式中，得到系數(shù)滿

33、足的遞推公式：代入解的形式中，得到系數(shù)滿足的遞推公式：01) 1)(1(4 mmAmA（154） 令令)(0zAmm，可以得到系數(shù)為，可以得到系數(shù)為 )()()2)(1( !4) 1(2zmmmAmm（155） 電子光學(xué)(Kang) P.46直軸多極場直軸多極場n直軸多極場直軸多極場n求解求解 代入式（代入式（1 15353）即得到了解形式）即得到了解形式202)()() 2)(1( !4) 1(),(rzmmmrzrkmmm同理可得到同理可得到),(zrm代入到方程解中得到解為：代入到方程解中得到解為：220( 1)( , )( )4!(1)(2)()mmmkr zrzrmmm 電子光學(xué)(Kang) P.47直軸多極場直軸多極場n直軸多極場直軸多極場n電勢電勢 一般對任意非旋轉(zhuǎn)對稱場，總是可以用各次諧波函數(shù)一般對任意非旋轉(zhuǎn)對稱場，總是可以用各次諧波函數(shù)(z), 1(z), 2(z), 1(z), 2(z)來描述，如果忽略來描述，如果忽略r5以上項以上項 442644),(rrzr