可逆矩陣判定典型例題

1、典型例題(二)方陣可逆的判定例1設(shè)A是n階方陣，試證下列各式：(1)若1A|0,則()1(A1)T；*(2)若A、B者B是n階可逆矩陣,則(AB)BA;(3)(AT)(A)T；11、*(4)若1A|0,則(A)(A;(5)(A)*(八；l11l(6)若1A|0,則(A)(A)(l為自然數(shù))；n1(kA)kn1A.證(1)因?yàn)?A|0,故A是可逆矩陣，且AA1E兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置可得(AA1)T(A1)TAT(E)TE故由可逆矩陣的定義可知(AbT是AT的逆矩陣.即(A1)T(AT)1(2)利用方陣與其對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣的關(guān)系有*(2-7)(AB)(AB)|AB|E另一方面(B*A*)(AB)B*(A*

2、A)BB*(|A|I)B*(2-8)|A|BB|A|B|E|AB|E比較式(2-7)、(2-8)可知*(AB)(AB)(BA)(AB)1又因?yàn)锳、B均可逆，所以(AB)也可逆，對(duì)上式兩端右乘(AB)可得*(AB)BA(3)設(shè)n階方陣A為a11a2a1na21a22a2nAan1an2ann*于是可得A的伴隨矩陣A為A11A21An1*A12A22AAn2A1nA2n注意到A的轉(zhuǎn)置矩陣為aiia2ian1ATai2a22an2a1na2nann可推出AT的伴隨矩陣為AlA12A1nT *A21A22(AT)A2nAn1An2AnnT、*比較A與(A)可知*TT*-* -A ,并且由A AmIE可

3、知(A)T(AT)(4)因?yàn)?A|0,故A可逆，A的逆矩陣為1A|A|A11._1.*._1.由于1A|0,A可逆且A(A)IAIE可得1*1(A1)A|A|另一方面，由由矩陣可逆的定義知(5)對(duì)于(3)*1*A(A)|A|AIA|_*,A可逆,*1(A)給出的矩陣并且1(A)A,有a11a12a1na21a22a2n即aj的代數(shù)余子式為a11jai11(1)iai11an1an1(1)n1Aj(i,j1,an2anna1j1a1j1a1nai1j1ai1j1ai1nai1j1ai1j1ai1n2,anj1,n)anj1ann(1)n1Aii*(A)(1)n1Ai2(1)n1Aln因?yàn)閨A|0

4、,故A可逆，并且(Al)1(AAA)1,-Yl個(gè)(7)對(duì)于(3)給出的矩陣A,有kaikaikAka21ka22(1)n1A21(1)n1A22(PA2nA1A1A1kamka2n(1)n1Am(1)n1An2(1)n1Ann(A1)1(1)n1A*kan1kan2kannn1類(lèi)似于(5)可知kaj的代數(shù)余子式為kAj,故證明A是可逆矩陣T例2設(shè)A是n階非零矩陣，并且A的伴隨矩陣A滿(mǎn)足AA證根據(jù)矩陣A與其對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣的關(guān)系式，有*AAAA|A|E反證，假設(shè)A不可逆，故有1A10,由上式及條件A*AT,有*T(2-6)AAAA1O設(shè)矩陣A為a11a12a1na21a22a2nAan1an2an

5、n由式(2-6)可知a11a12a1na11a21Ta21a22a2na12a22AA1an1an2an1an2anna1na2nnnn2a1ia1ia2ia1ianii1i1i1nnna2ia1i2a2ia2ianii1i1i1n2aniannnnania1iania2ii1i1比較上式兩邊矩陣對(duì)角線(xiàn)上的兀素有na20(j1,2,n)i1故aj1aj2ajn0(j1,2,因此有A=O,與A是n階非零矩陣矛盾,故A是可逆矩陣.例3設(shè)A、B都是n階可逆矩陣,證明：111(AB)AB的充要條件是ABBA證必要性：因?yàn)?AB)1A1B1(BA)1_1_1_因此(AB)(AB)(BA)(AB)(BA)

6、(BA)即ABBA充分性：因?yàn)锳BBA,故(AB)1(BA)1A1B1.例4設(shè)A是一個(gè)n階方陣，n為奇數(shù)，且1A|1,ATA1,證明(IA)不可逆.證因?yàn)锳TA1,故AATAA1E因此有|EA|AATA|A(ATE)|IA|(AE)T|AE|(1)n|EA|EA|所以|EAI0故EA是不可逆矩陣.A是可逆矩陣，并例5設(shè)A是n階方陣且對(duì)某個(gè)正整數(shù)k滿(mǎn)足Ak0,證明E求任A)1.證由于1xk(1x)(1xx2xk1)故對(duì)于方陣A的多項(xiàng)式，仍有k2k1EA(EA)(EAAA)k注息到A0,故有2k1(EA)(EAAA)E因此(EA)可逆，并且12k1(EA)EAAA例6設(shè)A是n(n2)階方陣，(A)

7、是A的伴隨矩陣A*的伴隨矩陣，證明:n2(1)(A)|A|n2A.2*(n1)|(A)11A|().證(1)利用矩陣A與矩陣A的伴隨矩陣的關(guān)系，有*AA|A|E*即A(A)|A|E從而有*AA(A)|A|(A)AA(A)|A|A*對(duì)AA|A|E兩邊取行列式,有*_n|AA|A|A|A|E|A|n1若A可逆，1A|°,故1A|A|,于是有*,(A*)*LA-iA|A|n2AA若A不可逆，則1A10,A*的秩小于或等于*n2(A)IA|A(2)對(duì)A(A)|A|E兩邊取行列式|A(A)|A|(A)|n1若A可逆，所以1A10,從而有|AI|A|1,故(A)0,仍有11A |E| | A |

8、,于是可知I(A*)*|A*1n1(|A|n1)n1|A|(n1)2若A不可逆，則I(A)10IA|(n1)A22證因?yàn)锳2 AB A(A B) I A(A B)| |A|AB2B|,由于B2|(1)n |B|2例7設(shè)A、B是同階方陣，已知B是可逆矩陣，且滿(mǎn)足AABBO,證明A和AB都是可逆矩陣，并求它們的逆矩陣.所以1AI0,IABI因而有A, A B可逆._21_(B ) A(A B)_ 21A(A B)(B )可知可知(AA 1B) 1(A(B2) 1 A_21B)(B )A、B均是n階方陣,且E證(E 一 1 一(E BA) E考察兩個(gè)矩陣的乘積BA)(E B(EAB)B(EAB可逆，

9、則_1AB) AE BA也可逆,并且因此(EBA)可逆，并且_1(E BA)設(shè)n階矩陣A、(1)1也可逆，(2) 證(A B)(1)因?yàn)?A1A)EB(EBABABABA B(E AB) 1A BAB(EB(E B(E BAAB) 1 A AB(E AB) AB)(E AB) 1 AEAB) 1A 1AAB)A B均可逆，證明:且(A1A 1(A 1_ 11B )B 1) 1AA(A B)1 _1B B(AB 1(AB) 1 AB 1) 1 B1 1A(A11B )BB1(AB 1B)兩邊取行列式有IA11IIA|A因?yàn)锳、B、IA1故AB(A1IB可逆，故I0B|B|A1|1I0IB|AB|0所以有11是可逆矩陣._1_1_B)A(AB)B(E(E1_1_A)(AB)B1_1_A)B(AB)(EB1A)(EB1A)1E故