旋轉(zhuǎn)幾何證明

1、巧用旋轉(zhuǎn)解題溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 周利明傳統(tǒng)幾何中，有許多旋轉(zhuǎn)的例子， 尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋轉(zhuǎn)的方法是幾何學(xué)習(xí)中必備的技巧，本文將介紹旋轉(zhuǎn)方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學(xué)習(xí)、交流。1利用旋轉(zhuǎn)求角度的大小例 1 在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 ,AC=BC, P是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足PA=j6、PB=2、PC=1求/ BPC的度數(shù).分析：本題借助常規(guī)方法的入手是比較困難的，雖然三條線段的長(zhǎng)度是已知的，但是這三條線段不是三角形的三條邊長(zhǎng)，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助旋轉(zhuǎn)來(lái)分析問(wèn)題，因?yàn)?AC=BC這就給我們利用旋轉(zhuǎn)A .創(chuàng)造了條件，因此可以考慮將APC繞點(diǎn)

2、C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900,得BPC,連接PP，通過(guò)三角形的邊與角的關(guān)系分別求得CPP和 P PB，就可得到BPC的大小。解：由已知AC=BC將 APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得BPC,連接 PP ;由旋轉(zhuǎn)可知:P CB ACP ,CP CP , APBP ;P CBPCB ACB900,PCP是等腰直角三角形CPPCP P450 且 PP 2 ,在 P PB 中， PB2 PP 222（、.2）2 66）2AP2 BP 2P PB是直角三角形，且P PB 900,BPC CPPP PB 45900135.例2:如圖所示，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為1, P、Q分別為邊AB AD上的點(diǎn)，APQ的周長(zhǎng)為2,求

3、 PCQ的大小.分析：本題在已知三角形的周長(zhǎng)和正方形的邊長(zhǎng)的條件下求角度的大小是比較困難的，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng) BC=DC所以可以考慮將PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ，易證E、D、Q三點(diǎn)共線，通過(guò)證明 ECQ和 PCQ全等即可求得 PCQ的大小.解： BC=DC,將PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)EDCCBP90,CE CP ;ECDDCQPCQ且 EDCCDA180,E、D Q三點(diǎn)共線,90 得 EDC ;ECD PCB,PCB DCQED PB ,PCQAPQ的周長(zhǎng)為2，即AQ AP PQ又 AQ AP PB QD AB AD 2 ,PQ PB DQ ED DQ EQ ,CECP在ECQ和PCQ中：EQ

4、PQ , ECQPCQ ;CQCQ PCQ ECQ 45 .練習(xí)1: P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1,BP=2,PC=3,求/ APB的大小.2 利用旋轉(zhuǎn)求線段的長(zhǎng)度 例3:如圖，P是等邊 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2 PB 2J3 , PC=4求BC的長(zhǎng)。分析：本題BC雖然和CP BP同處一個(gè)三角形， 但是要求其長(zhǎng)還缺角度，因此直接從已BA知條件入手是比較困難的，但是我們只要適當(dāng)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，就可以是問(wèn)題簡(jiǎn)單化；因?yàn)楸绢}的 ABC是等邊三 角形，所以其三邊是相等的，因此聯(lián)想到將厶 ABC內(nèi)部的 某個(gè)三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較容易的；解： ABC是等邊三角形，將厶BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60,貝U BA

5、與BC重合,ABPEBC 且BP=BE,PA=EC 連接 EP;ABPCBPEBCCBP600 ,EBP是等邊三角形，EP PB 2.3在 ECP 中：EP2EC2(2 3)222 16CP2 ；CEP 900,1EC -PC , 2EPC300 ,BPC 900,BCPC2 PB242(2 3)2一 282一7 .例 4:如圖，在梯形 ABCD中, AD/BC (BCAD, / D=90, BC=CD=12 / ABE=45 ,若 AE=1(。求CE的長(zhǎng)度。CB分析：仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)本題所給的條件不易 直接求得CE的長(zhǎng)度，還需要做一些變化，經(jīng)觀察 容易發(fā)現(xiàn)把把 BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,

6、可構(gòu)成一個(gè)正方形，然后通過(guò)三角形全等，就找出 邊之間的關(guān)系。解：把 BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得 BGF，連接AG，易證A G F三點(diǎn)一線,且易知四邊形BCDG為正方形.由旋轉(zhuǎn)可得：CBEGBF, BE BF ,0ABE 45 , ABFABG GBF ABG CBE 45BE BF在 ABE 和 ABF 中： ABE ABF ,AB AB在ABEABF , AEAF10,設(shè)CEx,則 AG 10x, ADDGAG 12(10 x) 2 x,2在 Rt ADE , AEDE DC CE 12 x ；2 2 2 2 2AD DE ，即 10 (x 2)(12 x)；x2 10x 24 0 ,解之

7、得：xi 4,X2 6; CE的長(zhǎng)為4或6.A練習(xí)2:如圖四邊形 ABCD中, AB=AD / A=Z C=90,其面積為16,求A到BC的距離.分析：由本題的結(jié)論不難想到在直角三角形中應(yīng)用 勾股定理可以證得含有平方關(guān)系的線段之間的關(guān)系，因此 我們就需要將結(jié)論中的這三條線段放到同一個(gè)直角三角形中， 由于AD=DC所以可以考慮將 ADB繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 使AD和DC重合，這樣就可以得到 Rt BCE，然后通過(guò)證明DBE解：是等邊三角形就可以得到結(jié)論中線段之間的關(guān)系.將 ADB繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60E，使AD和 DC重合，得 DCE并連接EB ,3利用旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系例 5:如圖，在

8、凸四邊形 ABCD中, Z ABC=30，/ ADC=60 , AD=DC求證：BD 2 AB2 BC2 .由旋轉(zhuǎn)可得： ADB CDE , DCE DAB, DB DE ;BDE BDC CDE BDC ADE ADC 60, DBE是等邊三角形， DB BE ,DCB DCE DCB DAB 270BCE 900, 2 2 2Rt BCE 中：BE2 CE2 BC2 ,2 2 BD2 BE2 CE2 22 BC2.例6 :如圖，在 ABC中,Z BAC=90 , AB=AC D、E 在 BC 上，Z DAE=45，求證:CD2 BE2DE2AB=AC,90, FED分析：由本題的結(jié)論我們可

9、以聯(lián)想到直角三角形中勾股定理的結(jié)論，因此我們就需要將 結(jié)論中的三條線段放在同一個(gè)直角三角形中，再由我們不難想到將ADC繞點(diǎn)A延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)這樣我們就將DC、BE放到了同一個(gè)三角形中,同時(shí)我們也不難證明FBE 90,然后我們只要設(shè)法證明AFEAED ,則結(jié)論可得.解： AB=AC,ADC繞點(diǎn)A延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90得 AFB，連接EF ,由旋轉(zhuǎn)可得：FABCAD , FBAACD45 ,FB DC,AFAD ；EAD 45,BAECADBAEFABFAE45 ,AF AD在 AFE 和 AED 中:EADFAEAFE AEDAE AE EF ED ,FBE FBAABC ACDABC 9FBE

10、 是 Rt ,BE2 EF2ED2.練習(xí)3:如圖、 ABC是正三角形, BDC是頂角/ BDC= 120o的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60o角，角的兩邊分別交 ABAC邊于M N兩點(diǎn)，連接MN探究：線段BM MN NC之間的關(guān)系，并加以證明.4.利用旋轉(zhuǎn)求面積的大小例 7：如圖正方形 ABCD中, AB ,3，點(diǎn) E、F分別在 BGCD上，且/ BAE=3C，/ DAF=15 ,求厶AEF的面積.分析：本題由已知條件直接去求結(jié)論是比較困難的,由于該題中含15 , 30等特殊角度，因此通過(guò)旋轉(zhuǎn)厶可構(gòu)作出45角，構(gòu)造三角形全等，通過(guò)等積變形來(lái)解決問(wèn)題是比較容易的。解：將 ADF繞A點(diǎn)延順時(shí)針?lè)较?/p>

11、旋轉(zhuǎn) 90得厶ABGADF由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知:AG AF , BAG FAD 15,ABG FDA 90,ABG ABC 1800 ,點(diǎn)G B、E三點(diǎn)共線,又GAE GAB BAE 45,EAF 90(1530)45,AG AF在 AFE 和 AGE 中： GAE FAE，二 AFE AGE ;AE AE EF EG，又AEF AEG 6 ,Rt ABE 中：AB3，/ BAE=3 , BE 1 ,在 Rt EFC中，F(xiàn)EC 18 (6 6) 6, EC BC BE , 3 1 , EF 2EC 2( .3 1), EF EG 2(、31),S AEG1 EG AB 1 2(、3 1) . 333

12、 ,2 2S AEFS AEG 33例&如圖A、B、C D是圓周上的四個(gè)點(diǎn),Ab Cd Ac ?d .且弦 ab=8,弦 cd=6則圖中兩個(gè)弓形（陰影）的面積和是多少?分析：從已知條件直接求兩個(gè)弓形面積難度較大， 抓住已知條件Ab Cd Ac Bd , 容易發(fā)現(xiàn)Ab Cd正好是整個(gè)圓弧的一半，因此通過(guò)將弓形 cmD繞圓心旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)d與點(diǎn)b 重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會(huì)很容易.解:由于Ab CdAc Bd ,知Ab Cd的長(zhǎng)正好是整個(gè)圓弧的一半， 將弓形CmD繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) D與點(diǎn)B重合（如圖2）:則ABC恰好為半圓弧, ac為e o的直徑,由勾股定理可求得AC1,S陰影

13、S半圓SRt ABC521 6 8 12.524.2練習(xí)4:如圖 ABC是等腰直角三角形，D為AB的中點(diǎn)，AB=2扇形ADG和BDH分別是以AD1BD為半徑的圓的丄，求陰影部分面積.4參考答案： 練習(xí)1： 135，提示：如圖將 BPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900得 AEB，連接PE，分別求得 APE和 BPE 練習(xí)3練習(xí)4CDM ，易證練習(xí)3: MN NC BM，把 BDM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 得到DMN CDM 1練習(xí)4:(1)，將扇形BDHD BDC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180 2觀察巧旋轉(zhuǎn)妙解題沈岳夫旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的重要變換，隨著課程改革的進(jìn)一步深入，利用旋轉(zhuǎn)知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明的題目很多，尤

14、其是題目中沒(méi)有涉及到旋轉(zhuǎn)等文字，使不少學(xué)生在解答時(shí)無(wú)從著手，找不到解題的途徑，但如果能根據(jù)題目特征加以觀察，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，找到解題的突破口，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單化了，現(xiàn)采擷部分試題加以歸納，供參考。一.通過(guò)旋轉(zhuǎn)，解答角度問(wèn)題例1.如圖1, P是正三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且 PA=6 PB=8 PC=10求/ APB的度數(shù)。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個(gè)三角形中，再研究這個(gè)三角形與所求的關(guān)系。將厶PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后，得到 FAB連接P（如圖2）,則BF=PC=10FA=PA=6 / FAP=60o FAP是等邊三角形，F(xiàn)P=PA=6 在厶 pbf中，PB 2 +PF2 + (57 =10a

15、 / BPF=90/ APB=/ APF+Z FPB=60 +90 =150圖2二.通過(guò)旋轉(zhuǎn)，計(jì)算線段長(zhǎng)度問(wèn)題例2.如圖3,求BC的長(zhǎng)。解析：此題乍一看似乎無(wú)從著手，但只要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)解題，就顯得十分容易。將厶BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 ，貝U BA與 BC重合（如圖4） , BP=BM PA=MC連接MP則厶MBP是正三角形，即-,由MP： 4麗（筠八譏護(hù)三PC3故Z CMP=90 ,MC= - PC因?yàn)?,所以Z MPC=30 ,又因?yàn)閆 MPB=60 ,故Z CPB=90 ,得P 山 &-例 3.如圖 5，在梯形 ABCD中, AD/BC (BCAD,/ D=90, BC=CD=1

16、2 / ABE=45 , 若AE=10。求CE的長(zhǎng)度。圖5解析：經(jīng)觀察，把 BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,可構(gòu)成一個(gè)正方形，然后通過(guò)三角 形全等，找出邊之間的關(guān)系。延長(zhǎng)0A把厶BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ，與DA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) G,點(diǎn)M （如圖 6），易知四邊形 BCDG正方形。 BC=BG又/ =CBE=/ GBM Rt BEC Rt BMG BM=BEZ ABE玄 ABM=45 ABEA ABM AM=AE=10設(shè) CE=x則在 Rt ADE中，一丄I即1 - 一十一4 一所以CE的長(zhǎng)為4或6。圖6通過(guò)旋轉(zhuǎn)，巧算面積問(wèn)題例4.如圖7,正方形ABCD中，AE= ，點(diǎn)e F分別在BG CD上

17、，且/ BAE=30，/ DAF=15，求 AEF的面積。AB圖7解析：由于該題中含15，30等特殊角度，通過(guò)旋轉(zhuǎn) ADF可構(gòu)作出45角，構(gòu)造 三角形全等，通過(guò)等積變形而獲解。將厶ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 到厶ABG的位置（如圖8）,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知： AG=AF / BAGM FAD=15 ,故/ GAE=15 +30 =45 。/ EAF=90 -1/ GAEM FAE又 AE=AE AEGA AEF ( SAS EF=EG M AEF=/ AEG=60在 Rt ABE 中，盤(pán) =歷，/ BAE=30，貝U BE=1, 在 Rt EFC中，/ FEC=,.J-. -L 二.訃廠 即_卜一.

18、：廠 JSiAEa = lx EG x AB =1x3(75-1)73 = 3- 75 = iJiEG 壬弓 1 羽D圖8例5.如圖9, A、B、C D是圓周上的四個(gè)點(diǎn)，。且弦AB=8,弦CD=4則圖中兩個(gè)弓形（陰影）的面積和是多少？（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）B圖9解析：要直接求兩個(gè)弓形面積難度較大，抓住已知條件，運(yùn)用整體思維可簡(jiǎn)易求得。廣CCCec由于_.L - JL 一1 1：_，知L_長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半， 將弓形CmD繞圓心旋轉(zhuǎn), 使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合（如圖10），則二丄一恰好為半圓弧，此時(shí) AC為圓0的直徑，從而/ ABC=9C ,由勾股定理可求得丄匚,-呂閃鑫=宰盡-= XX Q右x X

19、 4 R； 15一4故其面積和為15.4。圖10四.通過(guò)分割、旋轉(zhuǎn)、拼接平行四邊形例6.如圖11,已知四邊形紙片 ABCD現(xiàn)需將該紙片剪成一個(gè)與它面積相等的平行四邊形 紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到： （用“能”或“不能”填空），若填“能”，請(qǐng)確定裁剪線的位置，并說(shuō)明拼接方法；若填“不能”，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理 由。解析：解此題的關(guān)鍵是把大四邊形分割成四個(gè)小四邊形，然后通過(guò)分割旋轉(zhuǎn)達(dá)到目的， 簡(jiǎn)答如下：能，如圖12,取四邊形 ABCD各邊的中點(diǎn)E、GF、H,連接EF、GH,貝UEF、GH為裁剪線，EF、GH將四邊形ABCD分成 1、2、3、4四個(gè)部分，拼接時(shí)，圖中的 1不動(dòng)，將2、4分 別繞

20、點(diǎn)H、F各旋轉(zhuǎn)180 , 3平移，拼成的四邊形滿(mǎn)足條件（如圖 13）。圖12圖13五通過(guò)旋轉(zhuǎn)巧證三點(diǎn)一直線例7.已知，點(diǎn)P是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA PB PCo（1）將厶PAB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到厶的位置（如圖14） 設(shè)AB的長(zhǎng)為a, PB的長(zhǎng)為b （ba）。求厶PAB旋轉(zhuǎn)到二匚匕的過(guò)程中邊PA所掃過(guò) 區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。 若 PA=2, PB=4, / APB=135，求 PC的長(zhǎng)。圖14（2）如圖15,若一丄九 - ,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P必在對(duì)角線AC上。解析：要說(shuō)明點(diǎn) P必在對(duì)角線 AC上（即點(diǎn)A、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)成一直線）關(guān)鍵是弄懂 第（1）小題的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)第（1）小題

21、的解答過(guò)程為第（2）問(wèn)埋下伏筆，讓學(xué)生從中受到 啟發(fā)，運(yùn)用類(lèi)比方法就易解答該題，簡(jiǎn)答如下：(1)圖15如圖16，連接P二，將 PAB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 到二衛(wèi) 的位置，貝歸二二弓二oAP=，/ APB=Z, GF口為等腰直角三角形，.PP PC=6圖16(2)將厶PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至仏的位置(如圖17) 則，/ APB二:,連接*，則卜0PA3 + PC2 =2PB:PC2 + PC3 =2PBa.PC3 + PC2 =PP:.ZPCP- SO0ZBPCZBPC-1800.ZAPB +ZBPC =1SO即點(diǎn)P必在對(duì)角線AC上。圖17六通過(guò)旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系例8.如圖18, E是正方形 ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，AF平分/ EAD交CD于點(diǎn)F。求證:AE=BE+DF圖18解析：解此題的關(guān)鍵是如何把分散的三條線段集中到一個(gè)三角形中，經(jīng)觀察可通過(guò)旋 轉(zhuǎn)三角形達(dá)到目的。將厶ADF繞