第一換元積分法ppt課件

1、第二講第二講 第一換元積分法第一換元積分法 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.第一類換元積分法的分析；第一類換元積分法的分析； 2.第一類換元積分法的運算和熟悉；第一類換元積分法的運算和熟悉； 3.基本積分表。基本積分表。 教學(xué)要求教學(xué)要求 掌握并能熟練運用第一類換元積分法。掌握并能熟練運用第一類換元積分法。 一、第一類換元法一、第一類換元法22cos2)(sinxxx dxxx2cos2Cx 2sin我們知道我們知道所以所以dxxx)(cos22 22cosdxx Cx 2sin定理定理1 ,)()(CuFduuf設(shè)設(shè)具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(xu .)()()(CxFxdxf 則則 duuco

2、sCu sin2xu 這里這里 dxxx2cos2證明：證明： )(uF)()()(xuFxF )()(xuf )()(xxf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，是是即即)()()(xxfxF dxxxf)()( 從從而而.)()()(CxFxdxf 即即 ,)()(CuFduuf設(shè)設(shè)具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(xu .)()()(CxFxdxf 則則定理定理1由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,)(uf，CxF )( ,)()(CuFduuf設(shè)設(shè)具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(xu .)()()(CxFxdxf 則則指出：指出：.,1公公式式仍仍然然成成立立換換成成中中間間變變量量變變

3、量量把把基基本本積積分分公公式式中中的的自自可可知知由由定定理理ux )3(3xdex例例,3Cex )(ln)cos(lnxdx0102應(yīng)用定理應(yīng)用定理1的思路如下：的思路如下：)()(xdxf dxxg )(恒等變形恒等變形.)(CxF )(xu 代代換換duuf )(CuF )()(xu 回回代代熟練之后，虛框部分可省略熟練之后，虛框部分可省略.定理定理1Cx )sin(ln? dxx7)32(例例1 1 求求解解 dxx7)32()32()32(7 xdx31 duu731Cu 8241Cx 8)32(241)()(xdxf dxxg )(恒等變形恒等變形.)(CxF )(xu 代代換

4、換duuf )(CuF )()(xu 回回代代21 dxex212 求求例例解解 dxex21)21(21 xdexCex 2121.121dxx 求求解解dxx 121)12(12121 xdxduu 121Cu ln21.12ln21Cx 練習(xí)練習(xí)例例3 3 求求dxxx sincos 解解dxxx sincos )(sin)(sin21xdx Cx 23)(sin32dxxx ln1求求例例4 4解解dxxx ln1)(lnln1xdx Cx lnln例例5 5 xdxtan求求解解 xdxtandxxx cossin)(coscos1xdx Cx |cos|ln類似地，得類似地，得Cx

5、xdx |sin|lncot.)ln21(1. 1dxxx 求求解解dxxx )ln21(1)ln21(ln21121xdx .|ln21|ln21Cx 練習(xí)練習(xí).ln41dxxx 求求例例6 6 解解dxxx ln41)ln41()ln41(21xdx 41 Cx 23)ln41(61.2sin. 2 xdx求求解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 解二）解二）解三）解三）a1 dxaxa 22

6、)(111)()(1112axdaxa dxxa 221例例7 7 求求解解dxxa 221dxxa 221求求解解dxxa 221dxaxa 2)(11)()(112axdax Cax arcsin)0( a)0( a練習(xí)練習(xí)Caxarctg 例例8 8 求求.122dxxa 解解dxxa 221221xa axaxaxaxa21)()()( a21 dxxaxaa)11(21 )(1)(121xadxaxadxaa xaa (ln21Cxaxaa ln21類似可推出：類似可推出：dxax 221Caxaxa ln21)11(xaxa )lnxa C 例例9 9 求求解解xdx 2cosxd

7、x 2cosdxx 22cos1)2cos(21 xdxdx dx(21x(21 )2sin21x C )22cos21 xxd例例10 10 求求xdxx 32cossin解解xdxx 32cossinxdxxxcoscossin22 )(sin)sin1(sin22xdxx )(sin)sin(sin42xdxx )(sinsin)(sinsin42xxdxxd x3sin31 x5sin51 C .cossin52 xdxx求求 xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.s

8、in71sin52sin31753Cxxx 說明說明:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項解解練習(xí)練習(xí)去湊微分去湊微分. xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxCxx cos1cos1ln21.|tansec|lnsec Cxxxdx例例11 11 求求 xdxcsc解解dxxa 221Cxaxaa ln21Cxx cotcscln類似可推出：類似可推出： xdxcscCxx cotcscln.2cos3cos xdxx例例12 12 求求),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos21

9、2cos3cos.5sin101sin21Cxx 解解例例13 13 求求dxexx121 解解dxexx121 xdex11Cex 1例例14 14 求求解解dxxx )1(12dxxx )1(12dxxxxx )1(1222dxxxx 211 dxx1|ln x dxxxdxx 211Cx )1ln(212)1(1122xdx 21 ;|cos|lntan)14( Cxxdx;|sin|lncot)15( Cxxdx;|tansec|lnsec)16( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)17( Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa 我們把它作為公式使用：我們把

10、它作為公式使用：;arcsin1)20(22Caxdxxa 在上面的例題中有些函數(shù)的不定積分今后經(jīng)常用到，在上面的例題中有些函數(shù)的不定積分今后經(jīng)常用到，;ln211)19(22Cxaxaadxxa 例例15 15 求求解解.12dxxx dxx 221411 21214112xdxCx )12arcsin(Cx 2121arcsin原式原式;arcsin122Caxdxxa 例例16 求求.3212dxxx 解解dxxx 3212dxx 4)1(12)1(4)1(12 xdxCxx 31ln41;ln21122Caxaxadxax Cxx 2)1(2)1(ln41 求求.25812dxxx 解

11、解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx 49)4(12 xdxCaxadxxa arctan1122練習(xí)練習(xí)dxxxx 2212172求求例例解解dxxxx 223222dxxxx 22222dxxx 22132)22(22122 xxdxx 2)1(113x)22ln(2 xxCx )1arctan(3dxxxx 22122)1( xd練習(xí)練習(xí)小結(jié)：小結(jié)：用湊微分法求不定積分，用湊微分法求不定積分，第一換元積分法第一換元積分法.11dxex 求求解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 的恒等變換的恒等變換.（湊微分法）（湊微分法）有時也要結(jié)合代數(shù)或三角有時也要結(jié)合代數(shù)或三角).(cos)(sin. 12xfxxf，求求已已知知 解解xxf2cos)(sin 因因為為xxdxdxfsincossin)(sin2 所所以以xxdxdxfsincossin)(sin2 xdxxf sin)sin1()(si