線性系統(tǒng)理論

1、第五章 線性系統(tǒng)理論 數(shù)學(xué)模型是由描述系統(tǒng)的變量和常量構(gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型后，首先要區(qū)分系統(tǒng)是線性還是非線性的。 以前的科學(xué)研究主要對(duì)象是線性系統(tǒng)，而今正轉(zhuǎn)向非線性系統(tǒng)，并且未來(lái)科學(xué)的本質(zhì)上是非線性科學(xué) 線性與非線性原本就是一對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系，用以區(qū)分不同變量之間的兩種基本的相互關(guān)系。常量之間并沒(méi)有線性和非線性的區(qū)分。一對(duì)多多對(duì)多一對(duì)一 變量之間最簡(jiǎn)單最基本的對(duì)應(yīng)關(guān)系多對(duì)一變量之間的關(guān)系因變量和自變量成比例的變化，即變化過(guò)程中二者的比值不變，稱為線性函數(shù)函數(shù)函數(shù)線性函數(shù)非線性函數(shù)因變量和自變量之間的變化過(guò)程中二者的比值變化最簡(jiǎn)單的一元線性函數(shù)的一般形式為:y=ax+ba:代表因變量與自變量

2、的不同比率b: 線性函數(shù)的截距截距有實(shí)際意義，函數(shù)形式為y=ax+b沒(méi)有實(shí)際意義，則x1=x+ b/ay=ax1線性靜態(tài)系統(tǒng)簡(jiǎn)單的變量關(guān)系用一元函數(shù)表示較為復(fù)雜的變量關(guān)系須用多元函數(shù)表示如，z=ax+by，函數(shù)所表示的圖形就是3維空間中的一張平面。 函數(shù)僅僅是描述一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依存關(guān)系，如果要表示多個(gè)變量之間的相互依存關(guān)系，則應(yīng)該用以下的數(shù)學(xué)形式：a11x1+a12x2+a13x3b1a21x1+a22x2+a23x3b2它表示變量x1，x2，x3只能在給定的若干個(gè)代數(shù)關(guān)系內(nèi)變化，并且每個(gè)變量的變化都影響另外兩個(gè)變量的變化。以上所講的變量之間的關(guān)系都是靜態(tài)相互關(guān)系，都是用函數(shù)和代數(shù)方程

3、進(jìn)行描述。實(shí)際上的動(dòng)態(tài)過(guò)程中的諸變量的相互依存關(guān)系要豐富的多。其數(shù)學(xué)表達(dá)式中將出現(xiàn)微分、差分、積分等描述動(dòng)態(tài)特性的項(xiàng)，反映這些動(dòng)態(tài)量對(duì)各個(gè)變量的依存關(guān)系。例如某動(dòng)態(tài)過(guò)程有兩個(gè)變量x和y，均為時(shí)間的可 微函數(shù)，導(dǎo)數(shù)代表它們的變化速率，dx/dt=ax+bydy/dt=px+qy從公式可以看出兩個(gè)導(dǎo)數(shù)同時(shí)取決與x和y，反映了x和y相互的動(dòng)態(tài)作用。線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)若f(x)滿足一下條件，（1）加和性，f(x1 +x2)=f(x1)+f(x2)（2）齊次性，f(k x)=kf(x) 即f(a x1 +b x2)=af(x1)+bf(x2)就稱f為線性的。其中f代表某種數(shù)學(xué)操作，x為數(shù)學(xué)操作對(duì)象，f(x)表

4、示對(duì)x施行操作f。這種數(shù)學(xué)操作具有線性的基本要求，稱為疊加原理。線性和非線性可以區(qū)分不同的序關(guān)系序關(guān)系線性序非線性序一個(gè)序列中的事物前后順序銜接，一個(gè)接著一個(gè)排成一條長(zhǎng)鏈。序列中存在分支、閉合環(huán)路或者其他復(fù)雜情形。當(dāng)實(shí)際問(wèn)題被表示為數(shù)學(xué)形式，特別是解析形式時(shí)，線性與非線性的區(qū)別顯而易見(jiàn)，只包含變量的一次項(xiàng)是線性特性，企業(yè)的均為非線性特性。而沒(méi)有給出數(shù)學(xué)表達(dá)式的實(shí)際現(xiàn)象往往可以通過(guò)直觀的判斷。 能夠用線性數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 所具有線性基本特性：1、輸出響應(yīng)特性、2、狀態(tài)響應(yīng)特性、3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性等，它們均滿足疊加原理。這些特性即對(duì)線性系統(tǒng)的基本限制稱為線性假設(shè)，是一種理論假設(shè)。一個(gè)

5、系統(tǒng)能否使用線性模型，它取決于1、系統(tǒng)本身非線性特性的強(qiáng)弱；2、實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合對(duì)允許誤差的要求；sssu1u2y1y2u1+u2y1+y2如圖所示，以系統(tǒng)為對(duì)象揭示了疊加原理的內(nèi)涵：加和性的意義是現(xiàn)行系統(tǒng)表示互不相干的獨(dú)立作用；齊次性不是加和性的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，它意味著如果在系統(tǒng)中將輸入倍化，那么輸出也將同樣倍化，不會(huì)發(fā)生定性的、結(jié)構(gòu)性的變化。例如三角函數(shù)， y=cost 和 y=acost,注意點(diǎn)：滿足疊加原理是線性系統(tǒng)的基本判斷依據(jù)。有了數(shù)學(xué)模型，就可以直接按模型判別；如果沒(méi)有數(shù)學(xué)模型可以采用實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行判別。但是如果未加假設(shè)的話，疊加原理只適用于有限項(xiàng)之和。1 線性系統(tǒng)是一種數(shù)學(xué)抽象，是忽略了系

6、統(tǒng)固有的非線性因素的結(jié)果，系統(tǒng)的非線性效應(yīng)就是整體涌現(xiàn)性。2 即使是線性系統(tǒng)，其整體功能也不能歸結(jié)為部分功能之和，二者一般沒(méi)有可比性，部分或部分簡(jiǎn)單相加不 具備與整體可作數(shù)量比較的功能。3 不同系統(tǒng)的整體涌現(xiàn)性一般在質(zhì)和量都有表現(xiàn)，線性模型僅描述那些只有平庸的、低水平的涌現(xiàn)性的系統(tǒng)，部分之間相互作用的相干效應(yīng)在定量方面的表現(xiàn)微弱，因而可以忽略。但是系統(tǒng)功能等定性性質(zhì)的涌現(xiàn)性不能忽略。疊加原理和整體涌現(xiàn)性的區(qū)別： 連續(xù)線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：對(duì)于變系統(tǒng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的系數(shù)為t的函數(shù)因此，對(duì)于最簡(jiǎn)單的一維系統(tǒng)就有：對(duì)于二維系統(tǒng)，有：矩陣式描述對(duì)象整體特性的數(shù)學(xué)工具之一，方程給定后，借助代數(shù)方法，通過(guò)分析

7、系數(shù)矩陣，可以全面的了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。以此類推至多維線性系統(tǒng)。系統(tǒng)到達(dá)后若沒(méi)有外部作用將保持不變或可以回歸的狀態(tài)稱為定態(tài)，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有不同類型的定態(tài)。最簡(jiǎn)單的一類定態(tài)用數(shù)學(xué)中的奇點(diǎn)或不動(dòng)點(diǎn)表示。線性系統(tǒng)定態(tài)點(diǎn)的主要類型為鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)，如下圖所示二維空間二維空間鞍點(diǎn)在三維空間中定義（圖中的坐標(biāo)原點(diǎn)），經(jīng)過(guò)鞍點(diǎn)平行于z軸的平面束代表無(wú)窮多個(gè)發(fā)展方向，每個(gè)平面與曲面相交得到對(duì)應(yīng)的曲線，代表該方向的發(fā)展軌跡。不同的方向有的上升，有的下降。影射汽車市場(chǎng)，諸如二手車置換的興旺、汽車金融的產(chǎn)生、弱者被淘汰出局、汽車出口呈上升態(tài)勢(shì)、自主品牌的崛起、技術(shù)創(chuàng)新成企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)王牌不同的方面將有不同的發(fā)展。yxxt不

8、穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，如組織潰散、文化感弱的團(tuán)隊(duì)會(huì)越來(lái)越難以形成一個(gè)有機(jī)的有力整體。yxxt穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，如團(tuán)隊(duì)的建立，起初建立起來(lái)的團(tuán)隊(duì)是動(dòng)蕩不穩(wěn)定的，但是最后有一個(gè)趨于穩(wěn)定有效的過(guò)程。yxyx兩張圖分別表示穩(wěn)定焦點(diǎn)和不穩(wěn)定焦點(diǎn)，舉例來(lái)說(shuō)就如企業(yè)團(tuán)隊(duì)在合作的過(guò)程中團(tuán)隊(duì)成員向團(tuán)隊(duì)核心人物靠攏或著遠(yuǎn)離團(tuán)隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)人。線性系統(tǒng)的劃一性：線性系統(tǒng)的劃一性：1、線性系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性完全取決于控制參量或特征值，與系統(tǒng)初態(tài)無(wú)關(guān)。（如音量調(diào)節(jié)器，不論初始音量事多少，我們旋轉(zhuǎn)音量按鈕，則音量固定為幾分貝而不是當(dāng)前初始值的多少倍。）2、只要判明一條軌道穩(wěn)定或不穩(wěn)定，既可斷定所有軌道是否穩(wěn)定。唯一例外的是存在鞍點(diǎn)的情況，有一個(gè)特征方向上存在穩(wěn)定軌道，但是其他所有軌道并不是穩(wěn)定的。3、與布滿相空間的無(wú)窮多條不穩(wěn)定軌道相比，個(gè)別穩(wěn)定軌道的存在不能改變整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)論。總結(jié)： 一個(gè)線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定不能只看某條軌道是否穩(wěn)定，而應(yīng)整體看待。因?yàn)榫€性系統(tǒng)只可能存在不動(dòng)點(diǎn)型的定態(tài)，這一單純性決定了系統(tǒng)行為的單純性和平庸性。所以線性系統(tǒng)不存在極限環(huán)，即表明它不可能自發(fā)的產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)，只有外部輸入周期性強(qiáng)迫作用