梁昆淼數(shù)學(xué)物理方法

1、回顧回顧泛定方程的分類(lèi)泛定方程的分類(lèi)數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題：數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題：波動(dòng)方程波動(dòng)方程穩(wěn)定場(chǎng)方程穩(wěn)定場(chǎng)方程輸運(yùn)方程輸運(yùn)方程泛定方程泛定方程定解條件條件定解條件條件02xxtuau02xxttuau02v（本質(zhì)）（本質(zhì)）7.2 7.2 定解條件定解條件定解條件的分類(lèi)定解條件的分類(lèi)定解條件的本質(zhì)：定解條件的本質(zhì)：初始條件初始條件銜接條件銜接條件邊界條件邊界條件 數(shù)學(xué)上，變通解為特解；物理上，反映個(gè)體的特?cái)?shù)學(xué)上，變通解為特解；物理上，反映個(gè)體的特殊性。殊性。（體系的歷史）（體系的歷史）（體系所處環(huán)境）（體系所處環(huán)境）（體系內(nèi)部各部分間的關(guān)系）（體系內(nèi)部各部分間的關(guān)系）對(duì)于輸運(yùn)方程對(duì)于輸運(yùn)方程一、初

2、始條件一、初始條件02uaut初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt對(duì)于波動(dòng)方程對(duì)于波動(dòng)方程02uautt初始條初始條件要求件要求已知已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移位移速度速度7.2 7.2 定解條件定解條件x=l / 2xyx=lhx00)(ttxu0),(0ttttzyxu位移滿(mǎn)足位移滿(mǎn)足速度滿(mǎn)足速度滿(mǎn)足2/, 0)/2(lxlh, 2/)(2llxllh例例二、邊界條件二、邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類(lèi)邊第一類(lèi)邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二

3、類(lèi)邊第二類(lèi)邊界條件界條件第三類(lèi)邊第三類(lèi)邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuhuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如兩端固定弦如兩端固定弦, ,端點(diǎn)位移端點(diǎn)位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu1 1、第一類(lèi)邊界條件、第一類(lèi)邊界條件如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度l0 x00),(utxuxllxutxu),(（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）a）、如細(xì)）、如細(xì)桿的縱振動(dòng)，桿的縱振動(dòng)，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfsyuaxn2 2、第二類(lèi)邊界條件、第二類(lèi)邊界條件)()(tfsyuaxxystfu

4、axx)(如桿端自由如桿端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流出點(diǎn)有熱量流出)(tfaxnkuaxxq如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流入點(diǎn)有熱量流入axaxxxukq)(tfb b）、熱傳導(dǎo)）、熱傳導(dǎo)axxuk0 xa如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，一端自由冷卻一端自由冷卻)(axuh則熱流強(qiáng)度與桿端則熱流強(qiáng)度與桿端 u|x=a 和周?chē)橘|(zhì)溫度和周?chē)橘|(zhì)溫度 差有關(guān)系差有關(guān)系axaxxnukq3 3、第三類(lèi)邊界條件、第三類(lèi)邊界條件axxhuu)(axxuk),()(000000tzyxfhuuzyxn0 xa

5、hkh/x=0 處處0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxhuu0 xxukaxxhuu)(0)(xxuk三、銜接條件三、銜接條件0sinsin)(21tttf)(tfx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tftxtutxtuxx), 0(), 0(00txutxu例例1：半徑為：半徑為a,表面熏黑的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，表面熏黑的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，陽(yáng)光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為陽(yáng)光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為m，寫(xiě)出熱傳導(dǎo)的，寫(xiě)出熱傳導(dǎo)的邊界條件。邊界條件

6、。dsdtmqsin1解：解：xy陽(yáng)光照射，陽(yáng)光照射，流出流出圓柱的熱量為圓柱的熱量為ds由于溫度梯度，由于溫度梯度，流出流出圓柱的熱流為圓柱的熱流為dsdtkuqan2dtdsukadsdtmqsin1xy設(shè)柱面外溫度為設(shè)柱面外溫度為u0dtdsukqa2柱面溫度柱面溫度 u| = a由牛頓冷卻定律由牛頓冷卻定律dsdtuuhqqa)(021dtdsuuhdtdsukdsdtmaa)(sin0令令kmm khh 0sin)(humhuua0)(huhuua02dtdsuuhdtdsukdsdtmaa)(sin0當(dāng)當(dāng)m=0，m=0 xy例例2：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，

7、兩段熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密度分別為度分別為ki, ci, i, kii, cii, ii, 初始溫度為初始溫度為u0, 然后保持兩端然后保持兩端溫度為零，寫(xiě)出熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解方程。溫度為零，寫(xiě)出熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解方程。解：解：第一段第一段0ixxiituckuii00uuti01xxiu第二段第二段0iixxiiiituckuiii00uutii03xxiiu22xxiixxiuu22xxiixiixxixiukuk銜接條件：銜接條件：溫度相等溫度相等熱流相等熱流相等1x3x2xx7.4 7.4 達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題（一）、（一）、 達(dá)朗貝公式達(dá)朗貝公式02

8、xxttuau考慮弦的振動(dòng)方程考慮弦的振動(dòng)方程表示為：表示為：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatxatx02u對(duì)對(duì) 積分積分)(fu)()(2fdfu再積分再積分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a a沿沿x x正負(fù)方向的行波正負(fù)方向的行波函數(shù)函數(shù) f1 和和 f2 的確定的確定)()()(21xxfxf考慮定解問(wèn)題考慮定解問(wèn)題02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfat

9、xfu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()()(21xxfxf積分有積分有2)(21)(21)(01cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafcdaxfxfxx0)(1)()(21)()(0201xfxfc2)(21)(21)(02cdaxxfxx2)(21)(21)(01cdaxxfxx2)(21)(21)(02cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),()cos(),(00ttttxuxtxu例：求定

10、例：求定解問(wèn)題解問(wèn)題atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例：求定解問(wèn)題例：求定解問(wèn)題)(),(0 xtxut12102xxxxu12202xxxxu02211xxxx2212xxxx21,xxxx)()(21),(atxatxtxu1x2x0u)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt例：求一端固定弦的振動(dòng)情況例：求一端固定弦的振動(dòng)情況（反射波定解問(wèn)題）（反射波定解問(wèn)題）)0()(),(0 xxtxut)0

11、(0),(0ttxux2)(21)(21)(01cdaxxfxx2)(21)(21)(02cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始條件代入初始條件o ox（二）、端點(diǎn)反射（二）、端點(diǎn)反射2)(21)(21)(01cdaxxfxx2)(21)(21)(02cdaxxfxx)0( x)0( x代入邊界條件代入邊界條件0)()(21atfatf)0(at令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x2)(21)(21)(01cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02cdaatxatxftaxx（1）、）、x at, 即即 x

12、- at 0taxtaxdaatxatxu)(21)()(212)(21)(21)(01cdaatxatxftaxx2)(21)(210cdaxatxtax（2）、）、x at, 即即 x -at 0taxxtadaxatatxu)(21)()(21)()(22xatfatxf)(1xatf)()(12xfxf)0( xtaxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 物理意義：物理意義：為討論方便計(jì)設(shè)初速為為討論方便計(jì)設(shè)初速為0 00)(xaxt . 1解與達(dá)朗貝爾解一致，說(shuō)明端點(diǎn)的解與達(dá)朗貝爾解一致，說(shuō)明端點(diǎn)的影響未

13、傳到。影響未傳到。axt . 2)(21)(21xatatxu)(21)(21xatatxuo ox)(atx )(xat )(atx )(xat )(21)(210atatux0 x =0處為波節(jié)。處為波節(jié)。x =0處處入射波與反射波位相相反，有半波損失入射波與反射波位相相反，有半波損失。為入射波。為入射波。為反射波。為反射波。（三）、延拓（三）、延拓02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux)()(12xfxf)0( x半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題求解中有求解中有0),(0 xtxu提示無(wú)限長(zhǎng)桿提示無(wú)限長(zhǎng)桿u(x,t)是奇函數(shù)

14、是奇函數(shù)提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是奇函數(shù)是奇函數(shù))0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 稱(chēng)為稱(chēng)為沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdada)(axt 00)(21)(21)()(21xtataxdadaxatatxu00)(21)(21xtataxdadataxxatdaxatat

15、x)(21)()(21taxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxuxx例：求解半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題例：求解半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題桿端點(diǎn)自由，桿端點(diǎn)自由，相對(duì)伸長(zhǎng)量相對(duì)伸長(zhǎng)量為為0 0提示無(wú)限長(zhǎng)桿提示無(wú)限長(zhǎng)桿u(x,t)是偶函數(shù)是偶函數(shù)提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù))0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()

16、(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdadaxtada0)(21)(axt taxdaxatatxu0)(21)()(21xtataxdada00)(21)(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttatxux例：求例：求定解問(wèn)定解問(wèn)題題考慮初始條件與半無(wú)限考慮初始條件與半無(wú)限長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波

17、沿沿x正向正向)(),(atxftxu解：解：由邊界條件由邊界條件taatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azazf)(),(atxftxu其中其中0atx若若axt/)sin()(azazf)sin(aza)sin(aatxa)(sinaxta)0(00tux)(sinaxta),(txu0axt/axt/（四）、達(dá)朗貝解的適定性（四）、達(dá)朗貝解的適定性)(1x0),(ttxu考慮初始條件有兩組，差別微小考慮初始條件有兩組，差別微小 (x)有直到二階導(dǎo)數(shù)，有直到二階導(dǎo)數(shù)， (x)有直到一階導(dǎo)數(shù)，有直到一階導(dǎo)數(shù)，達(dá)朗貝解存在達(dá)朗貝解存在1 1、達(dá)朗貝解的存在性、達(dá)朗貝解的存在

18、性2 2、達(dá)朗貝解的穩(wěn)定性、達(dá)朗貝解的穩(wěn)定性)(2x0),(ttxu)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x)()(21xx)()(21xxtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21)()(212121atxatxuu)()(2121atxatxtaxtaxda)()(2121taxtaxda212121)1 (t達(dá)朗貝解的穩(wěn)定達(dá)朗貝解的穩(wěn)定解：解：或：或：0)32(22222uyyxx例：求定解問(wèn)題例：求定解問(wèn)題),(032yxuuuyyxyxx23)0 ,(xxu0)0 ,(xuy方程變化為方程變化為0)3)(uyxyx令令),(xx ),(yy 令：令：yyxxayx)(yyxxbyx)3(02u0)3)(uyxyx),(xx ),(yy 其中其中a a、b b為常數(shù)為常數(shù)x3y02u0)3)(uyxyx修改為修改為x3y43yx4yxyx3yx02u)()(2fdfu代入邊界條件代入邊界條件)()(21ff)()3(21yxfyxfu02uyx3yx23)0 ,(xxu0)0 ,(xuy2213)()3(