洛倫茲變換的詳細(xì)推導(dǎo)

1、第三節(jié) 洛倫茲變換式教學(xué)內(nèi)容：1. 洛倫茲變換式的推導(dǎo)；2. 狹義相對(duì)論的時(shí)空觀：同時(shí)性的相對(duì)性、長(zhǎng)度的收縮和時(shí)間的延緩; 重點(diǎn)難點(diǎn)：狹義相對(duì)論時(shí)空觀的主要結(jié)論?；疽螅?. 了解洛倫茲坐標(biāo)變換和速度變換的推導(dǎo)；2. 了解狹義相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性以及長(zhǎng)度收縮和時(shí)間延緩概念；3. 理解牛頓力學(xué)中的時(shí)空觀和狹義相對(duì)論中的時(shí)空觀以及兩者的差異。三、洛倫茲坐標(biāo)變換的推導(dǎo)xx vt1 v c 2yyzzttvx c21v c 2或xx vtJ1 v c 2yyzzttvx c2Jv c 2據(jù)狹義相對(duì)論的 兩個(gè)基本假設(shè) 來(lái)推導(dǎo)洛侖茲變換式。1.時(shí)空坐標(biāo)間的變換關(guān)系作為一條公設(shè)，我們認(rèn)為 時(shí)間和空間都是

2、均勻的，因此 時(shí)空坐標(biāo)間的變換必須是線性 的。對(duì)于任意事件P在S系和 S系中的時(shí)空坐標(biāo)(x, y, z, t)、 (x, y，z，t)，因 S相對(duì)于 S 以平行于x軸的速度v作勻速 運(yùn)動(dòng)，顯然有y=y,z=z。在S系中觀察S系的原點(diǎn)，x=0 ；在S系中觀察該點(diǎn)，x= -vt，即 x+vt=O。因此 x=x +vt。在任意的一個(gè)空間點(diǎn)上，可以設(shè)：x=k( x + vt) ， k是一比例常數(shù)。同樣地可得到：x= k ( x-vt)= k (x+ (-v)t)根據(jù)相對(duì)性原理，慣性系S系和S系等價(jià)，上面兩個(gè)等式的形式就應(yīng)該相同(除正、負(fù) 號(hào))，所以k=k。2由光速不變?cè)砜汕蟪龀?shù)k設(shè)光信號(hào)在S系和S

3、系的原點(diǎn)重合的瞬時(shí)從重合點(diǎn)沿x軸前進(jìn)，那么在任一瞬時(shí)t(或t)， 光信號(hào)到達(dá)點(diǎn)在S系和S系中的坐標(biāo)分別是：x=ct, x=ct，貝,k2 x2“xx c tt2 2k tt cvt x vt2k ct vt ct vt由此得到這樣，就得到得到就得到v2x vtx vt由上面二式，消去xt vx c2Jiv c 2t vx c洛侖茲變換， 或若消去x得到洛侖茲反變換vt2t vx c,綜合以上結(jié)果,vtt vx c2v1Jiv/c 2可見(jiàn)洛侖茲變換是兩條基本原理的直接結(jié)果。3. 討論(1) 可以證明，在洛侖茲變換下，麥克斯韋方程組是不變的，而牛頓力學(xué)定律則要改 變。故麥克斯韋方程組能夠用來(lái)描述高

4、速運(yùn)動(dòng)的電磁現(xiàn)象，而牛頓力學(xué)不適用描述高速現(xiàn)象, 故它有一定的適用范圍。(2) 當(dāng)|v/c|1時(shí)，洛侖茲變換就成為伽利略變換，亦即后者是前者在低速下的極限情 形。故牛頓力學(xué)僅是相對(duì)論力學(xué)的特殊情形一低速極限。四、相對(duì)論速度變換公式Ux,Uy,Uz根據(jù)洛侖茲變洛侖茲變換是事件的時(shí)空坐標(biāo)在不同慣性系之間的關(guān)系，根據(jù)洛侖茲變換可以得到狹義 相對(duì)論的速度變換公式。設(shè)物體在S、S系中的的速度分別為Ux,Uy,Uz 換式可得：dxdtdx vdt 1 v c 2dt vdx c2dx dt v dtux v dtdxux v dt/ 2dt 1 vux cdt 1 vux c2dt因此：2,即:UxUx

5、v1 vux c2因 y=y, z=z , 有 dy= dy, dz= dz 貝UUy1 vUx/c。同理:因此得相對(duì)論的速度變換公式：UzdydtUzdyTvUx1 v c 21 v c21 VUx c2Ux v1 vUx c2其逆變換為：UxUyUy1 v c 2Uz 1 v cUxv1 vux c2UxUy1 VUx c221 VUx cUyv c 21 vux c2UzUz 1 v c 22c1 VUx討論(1) 當(dāng)速度u、v遠(yuǎn)小于光速c時(shí)，即在非相對(duì)論極限下，相對(duì)論的速度變換公式即轉(zhuǎn)化為伽利略速度變換式Ux Ux v。(2) 利用速度變換公式，可證明光速在任何慣性系中都是c。證明：設(shè)

6、S系中觀察者測(cè)得沿x方向傳播的一光信號(hào)的光速為c,在S系中的觀察者測(cè)得該光信號(hào)的速度為:Uxc v1 vc c2 c,即光信號(hào)在S系和S系中都相同。第四節(jié)狹義相對(duì)論的時(shí)空觀一、一、同時(shí)的相對(duì)性1.概念狹義相對(duì)論的時(shí)空觀認(rèn)為：同時(shí)是相對(duì)的。即在一個(gè)慣性系中不同地點(diǎn)同時(shí) 發(fā)生的兩個(gè)事件，在另一個(gè)慣性系中不一定是同時(shí)的。例如：在地球上不同地方同時(shí)出生的兩個(gè)嬰兒， 在一個(gè)相對(duì)地球高速飛行的 飛船上來(lái)看，他們不一定是同時(shí)出生的。如圖設(shè)S系為一列長(zhǎng)高速列車(chē)，速度向右，在車(chē)廂正中放置一燈p。當(dāng)燈 發(fā)出閃光時(shí)：A、B兩S系的觀察者認(rèn)為，閃光相對(duì)他以相同速率傳播，因此同時(shí)到達(dá) 端；S系（地面上）的觀察者認(rèn)為，A

7、與光相向運(yùn)動(dòng)（v、c反向），B與光同向運(yùn)動(dòng)，所 以光先到達(dá)A再到達(dá)B，不同時(shí)到達(dá)。P中間）O結(jié)論：同時(shí)性與參考系有關(guān)一這就是同時(shí)的相對(duì)性。假設(shè)兩個(gè)事件Pi和P2,在S系和S 系中測(cè)得其時(shí)空坐標(biāo)為:S：Xi，yi,Zi,tl ， X2，y2,Z2,t2S :Xi, yi,由洛倫茲變換得：乙,ti，X2,y2,t2titivxi c2v c 2t2t2vx2 c2在S系和S系中測(cè)得的時(shí)間間隔為t2tit2tit2ti和（t2-ti）,它們之間的關(guān)系為:x2xic2i v c 2可見(jiàn)，兩個(gè)彼此間作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系中測(cè)得的時(shí)間間隔，一般來(lái)說(shuō)是不相等的。2.討論(1)在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=ti，但在不

8、同地點(diǎn)發(fā)生，X2t t v XiX2 c22 1這就是同時(shí)的相對(duì)性。X1，則有:(2)在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=ti,而且在相同地點(diǎn)發(fā)生,Xl，則有:t1 t2 t1t2tlX2x1 v c20， t2 t1X2x2 x v t2 t1即在S系中同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系中也同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生。(3) 事件的因果關(guān)系不會(huì)顛倒，如人出生的先后X處，則由:假設(shè)在S系中，t時(shí)刻在X處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò) t時(shí)間后到達(dá)Xt xv c2c, uc,所以At與At同號(hào)。即事件的因果關(guān)系，相互順序不會(huì)顛倒。(4) 上述情況是相對(duì)的。同理在S系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在s 系看來(lái)同樣也是不同時(shí)的。二、長(zhǎng)度收縮（洛

9、倫茲收縮）得:假設(shè)一剛性棒AB靜止于S系中1X2xi 。由洛倫茲坐標(biāo)變換式:x1vt1x2X1，在S系中同時(shí)t1t2 t測(cè)量1 vc2，X2x2 vt2X2X1%x1v t2tlX2X1v c 2i.固有長(zhǎng)度觀察者與被測(cè)物體相對(duì)靜止時(shí)，長(zhǎng)度的測(cè)量值最大，稱(chēng)為該物體的固有長(zhǎng)度 （或原長(zhǎng)），用Io表示。即IIoJiv/c2.洛倫茲收縮（長(zhǎng)度縮短）觀察者與被測(cè)物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度的測(cè)量值等于其原長(zhǎng)的1 v c 倍，即物體沿運(yùn)動(dòng)方向縮短了，這就是洛倫茲收縮（長(zhǎng)度縮短）。 討論：（1）長(zhǎng)度縮短效應(yīng)具有相對(duì)性。若在S系中有一靜止物體，那么在S 系中觀察者將 同時(shí)測(cè)量得該物體的長(zhǎng)度沿運(yùn)動(dòng)方向縮短，同理有I

10、 Iv/c2即看人家運(yùn)動(dòng)著的尺子變短了。（2）當(dāng) v c 時(shí)，有 I I三、時(shí)間膨脹（時(shí)間延緩）由洛倫茲變換得t2 t1t2t1v X2X1c2，事件p1、P2在S系如果在S系中兩事件 同地點(diǎn) 發(fā)生，即x2X1，則有:t t2 t1t2t1v/c 21.固有時(shí)間(原時(shí))的概念在某一慣性系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生的兩事件之間的時(shí)間間隔，叫固有時(shí)間(原時(shí))。用0表示，且:2.時(shí)間膨脹在s系看來(lái)： t 0，稱(chēng)為時(shí)間膨脹。3.討論(1)時(shí)間膨脹效應(yīng)具有相對(duì)性。若在S系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生兩事件的時(shí)間間隔為At (稱(chēng)為原時(shí))，則同理有v1 v c 就好象時(shí)鐘變慢了，即看人家運(yùn)動(dòng)著的鐘變慢了。(2) 當(dāng)vv v

11、c時(shí)，有 t(3) 實(shí)驗(yàn)已證實(shí)卩子，n介子等基本粒子的衰變，當(dāng)它們相對(duì)實(shí)驗(yàn)室靜止和高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其壽命完全不 同。1.0問(wèn)由例1： 在慣性系S中，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，在XX 103m處，從另一慣性系s中觀察到這兩個(gè)事件相距 s系測(cè)得此兩事件的時(shí)間間隔為多少？2.0軸上相距103m。隔為由題意知，在 S系中，t2 t1，, 即卩31.010 m。而在S系看來(lái)，時(shí)間間隔為2.0 103mt2t1 0Xit2t1，空間間x2 為由洛倫茲坐標(biāo)變換式得:X2X1X2XV t2 1X2t2 t1Xit t2 tiXiX2x22v由（1）式得X2X2代入（2）式得2Xi2X12 1032c1 12、3c423 1035.77 10 6 s例2:半人馬星座a星是離太陽(yáng)系最近的恒星，它距地球?yàn)?.3 1016n。 設(shè)有一宇宙飛船自地球往返于人馬星座a星之間。若宇宙飛船的速度為 0