第6章定積分的應(yīng)用

1、1第六章第六章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用2第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 分析分析 xxfAd)(lim.d)( baxxfxdxx Ad面積元素面積元素回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線)(xfy )0)( xf、x 軸與軸與兩條直線兩條直線ax 、bx 所圍成。所圍成。 若若 用用A 表表示示典典 型型小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則xxfAAd)(d , , 3設(shè)設(shè)U U是可用定積分表達(dá)的量，則計算量是可用定積分表達(dá)的量，則計算量U U

2、的步驟為：的步驟為：定積分的元素法定積分的元素法 選擇函數(shù)選擇函數(shù) f (x) ,并確定自變量并確定自變量 x 的變化區(qū)間的變化區(qū)間a, b; 在在a, b內(nèi)考慮典型小區(qū)間內(nèi)考慮典型小區(qū)間x, x+dx, 求出相應(yīng)于這求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量個小區(qū)間的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx, 記為記為 計算計算.d)( baxxfU應(yīng)用方向：應(yīng)用方向： 平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長；功、水壓力、引力和平均值等弧長；功、水壓力、引力和平均值等.d)(dxxfU 4第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積一

3、、平面圖形的面積,d)(dxxfA 1.1.直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形面積元素面積元素:(1) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y = f (x), 直線直線 x=a, x=b (ab)及及x軸軸所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面積面積5若若f (x)有正有負(fù)有正有負(fù),則曲邊梯形面積為則曲邊梯形面積為.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab6 (2) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x), y=g(x), 直線直線 x=a, x=b (ab)所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積cxxx xyoab)(xfy )(xgy ba

4、xxgxfAd)()(,d)()(dxxgxfA 面積元素面積元素:7特別，特別， 時時,)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(xxx ,d)()(dxxgxfA 面積元素面積元素:8 dcyyAd)( ( (3 3) ) 由由曲曲線線)(yx 、直直線線)(,dcdycy 及及y軸軸 dcxyo)(yx 圍成的平面圖形的面積為圍成的平面圖形的面積為 ,0)(時時若若特特別別， y .d)( dcyyA )(yx xyodc9 dcyyyAd)()( ( (4 4) ) 由由曲曲線線)(yx 、)(yx 直直線線)(,dcdycy 及及y軸軸圍成的平面圖

5、形的面積為圍成的平面圖形的面積為 ,)()(時時若若特特別別，yy .d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 10計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積. 解解先求兩曲線的交點先求兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素，xxxAd)(d2 選選x為積分變量為積分變量,1 , 0 xxxxAd)(210 103)332(23xx .31 2xy 2yx 例例1 1 1122xy 211xy 例例2 2 求求曲曲線線22xy , ,211xy 與與直直線線3 x所所 圍成的平面圖形的面

6、積圍成的平面圖形的面積. . xoy33 1 1解解 由對稱性由對稱性, 1022d)211(2xxxA.3233 交點交點,1 x 3122d)112(2xxx12計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy 20d)2(2xxxA例例3 3 .18 82d)4(2xxx13此題選此題選y為積分變量比較好為積分變量比較好, 422d)24(yyyA.18 20d)2(2xxxA 82d)4(2xxx選擇積分變量的原則：選擇積分變量的原則： (1)(1)積分

7、容易；積分容易；(2)(2)盡量少分塊盡量少分塊. . 14有時需要把邊界函數(shù)有時需要把邊界函數(shù)參數(shù)化參數(shù)化.由由參參數(shù)數(shù)曲曲線線 )()(tyytxx, , t及及直直線線 ax , ,bx 和和x軸軸圍圍成成的的平平面面圖圖形形面面積積為為： ；則則 ttxtyAd)()(，若若0 x.d)()( ttxtyA則則，若若0 x15求求橢橢圓圓12222 byax的的面面積積. 解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍倍, axyA0d4 02)cos(dsin4 tatbttabdsin420

8、2 .ab 例例4 4 16 的奇數(shù)的奇數(shù)為大于為大于為正偶數(shù)為正偶數(shù)1 , 3254231 , 22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 求求星星形形線線 taytax33sincos圍圍成成的的面面積積. . 解解例例5 5 345345頁頁 2/023dsincos3sin4 tttataA 2/0242d)sin1(sin12 ttta)221436522143(122 a.832a 17 設(shè)由曲線設(shè)由曲線 )( r及射及射線線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素， d)

9、(21d2 A曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.d)(212 A2.2.極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形)( r扇形面積公式扇形面積公式 ， 221RA 18求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a第第一一圈圈2 , 0 與與極極軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積. . 解解例例6 6 202d)(21aA.3432 a 求求心心臟臟線線)cos1( ar所所圍圍面面積積. . 解解例例7 7 022d)cos1(212aA.232a 19求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積. ，14AA 2cos22a 1A解解例例8 8 4/02d2cos214 aA.2a 20 旋

10、轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、體積二、體積1. 1. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積21一般地一般地, 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？ abox y)(xfy xxxd 2)()(xfxA 體積元素體積元素:xxfVd)(d2 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為 baxxfVd)(2 22連

11、接坐標(biāo)原點連接坐標(biāo)原點 O 及點及點),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個直角三角形 將它繞軸圍成一個直角三角形 將它繞x軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，的圓錐體，計算圓錐體的體積計算圓錐體的體積 xhry yrhPxo直線直線OP的方程為的方程為解解例例1 1 hxxhrV02d)( .32hr 23求求橢橢圓圓12222 byax繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體( (稱稱旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢球球體體) )體體積積. . 例例2 2 x yOab22xaaby 解解 axaxbV0222d)1(2 .342ab 特特別別, ,ba

12、時時, ,得得到到球球體體的的體體積積為為334R . . 24求求圓圓)0( )(222 ababyx繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積. 例例3 3 解解 aaxxabVd)(222 axxab022d8 .222ba aaxxabd)(222 xy利用圓面積利用圓面積25 類似地類似地, 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 )(yx 、直線直線cy 、dy 及及y軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 xyo)(yx cd bayyVd)(2 26求由拋物線求由拋物線22xy , ,直線直線1 x及及x

13、軸所軸所圍圖形圍圖形, ,繞繞x軸及軸及y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. . 例例4 4 解解 1022d)2(xxVx .54 202d221yyVy . 下面再補充介紹一個方法下面再補充介紹一個方法.27由由平平面面圖圖形形)(0,0 xfybxa 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為 bayxxxfVd)(2 .d22102 xxxVy上例上例:套套筒筒法法28求求由由擺擺線線 )cos1()sin(tayttax一一拱拱)20( t繞繞x軸軸及及y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積. . 解解 axxxyV 202d)(.532a a

14、 2a )(xy例例5 5 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 2022d)cos1()cos1(ttata 2033d)cos1(tta 2063d2sin8tta 2063dsin32 xxa2214365323 a29yyxyyxVaayd)(d)(22022012 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 0222dsin)sin()(ttatta 2023dsin)sin(tttta.633a 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積: :可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差的體積之差. 最最

15、高高點點對對應(yīng)應(yīng) t, , 30oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積: :可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差的體積之差. 或用或用“套筒套筒法法”: ayxxyV 20d2 20d)cos1()cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2xttta.633a 31.d)( baxxAV2. 2. 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積一一個個立立體體, ,夾夾在在平平面面ax 和和bx 之之間間, ,被被垂垂直直于于

16、x軸軸的的平平面面所所截截的的截截面面積積為為)(xA, ,則則該該立立體體的的體體積積為為 xx x+dxA(x)ab32一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底圓中的圓柱體的底圓中心心, 并與底面交成角并與底面交成角 ,計算這平面截圓柱體所計算這平面截圓柱體所得立體的體積得立體的體積. RR xyo解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 所以立體體積所以立體體積xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例6 6 垂直于垂直于 x 軸的截面為直角軸的截面為直角三角形三角形, , 33xoy0MA nMB 1M2M1 n

17、M設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110三、平面曲線弧長三、平面曲線弧長，記記iiniMM11max ，存存在在若若 niiiMM110lim 并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線， 則稱此極限為曲線弧則稱此極限為曲線弧AB的的弧長弧長. 此時稱弧為此時稱弧為可求可求長的長的.34若若曲曲線線段段l的的方方程程是是)(xfy , ,bxa , ,且且)(xf 連連續(xù)續(xù), ,則則弧弧長長為為 設(shè)設(shè)曲曲線線段段l的的方方程程為為)(),(tyytxx , , t, ,并并設(shè)設(shè))(),(tytx 連連續(xù)

18、續(xù), ,則則l是是可可求求長長的的, ,且且弧弧長長為為 定理定理( (弧長公式弧長公式) ) .d)()(22 ttytxs證證在第三章在第三章“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)中弧微分一節(jié)知知, , ，tyxyxsttd)(d)d(d2222 即得證即得證. . 推論推論1 1 .d)(12 baxxfs35若若曲曲線線段段l的的方方程程是是極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式)( , , , ,且且)( 連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則弧弧長長為為 ， ttytxsd)()(22.d)(12 baxxfs推論推論2 2 .d22 s證證， sincosyx， sincosdd x， cossindd y.)

19、dd()dd( 2222 yx36解解例例1 1 計計算算懸懸鏈鏈線線cxcych 介介于于,bb 的的一一段段弧弧的的弧弧長長. . ，cxysh ，cxcxychsh1122 bbxcxsdchbcxc0sh2 .sh2cbc 37例例2 2 求求2xy 在在10 x的的一一段段弧弧長長. . 解解 ， 102d41xxs，令令txtan2 2arctan02dsec21sec ttts則則. )25ln(21 例例3 3 求求星星形形線線)20( sincos33 ttaytax的的周周長長. . 解解 2/022d4 tyxs 2/0dcossin34 ttta 2/0)ind(sin

20、12 tsta.6)(sin62/02ata 38例例4 4 解解 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 a 第第一一圈圈)20( 的弧長的弧長. . 2022ds 20222daa 202d1a.)412ln(412222 a39練習(xí)：練習(xí)：P279 習(xí)題習(xí)題6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.22. 26. 28. 30.40 將彈簧一端固定將彈簧一端固定, ,另一端從平衡位置拉長另一端從平衡位置拉長s, ,問克服彈性需做多少功？問克服彈性需做多少功？ 第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用定積分在物理

21、學(xué)上的應(yīng)用如如果果是是恒恒力力, ,則則sfW ; ; 如果是變力如果是變力, , ，xxfWd)(d .d)( baxxfW例例1 1 解解 彈彈力力kxf , , 拉拉力力kxxg )(, , ，xkxWdd .21d 02 sksxkxW勢能勢能一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功41例例2 2 兩物體之間的萬有引力為兩物體之間的萬有引力為 ，221rmmGF 地球?qū)Φ乇硗馕矬w的引力為地球?qū)Φ乇硗馕矬w的引力為 ，2rMmGf 當(dāng)物體在地球表面時當(dāng)物體在地球表面時, , ，mgRMmG 2，MgRG2 把物體從把物體從A A點提升到點提升到B B點點, ,需克服引力做功需克服引力做

22、功 BARRrrMmGWd2)11(BARRGMm . )11(2BARRmgR 42. )11(2BARRmgRW 如果要求物體飛離地球引力范圍如果要求物體飛離地球引力范圍, , 取取，RRA ， BR，則則mgRW 發(fā)射時物體的動能為發(fā)射時物體的動能為 2021mv，mgR gRv2 . )km/s(2 .11 稱為第二宇宙速度稱為第二宇宙速度. . 43 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為5米米, 底半徑為底半徑為3米米, ,池池內(nèi)盛滿了水內(nèi)盛滿了水. 問要把池內(nèi)的水全部吸出問要把池內(nèi)的水全部吸出, , 需作多需作多少功？少功？ 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,xoxxx d 5解解例例

23、3 3 ，xxWd3d2 . )/(8 . 93mkN 其中其中 50d9xxW 259 .)kJ(3462 功元素功元素注：若水不裝滿注：若水不裝滿, ,如何求？如何求？ 44一個橫放著的圓柱形水桶一個橫放著的圓柱形水桶, 桶內(nèi)盛有半桶水桶內(nèi)盛有半桶水, 設(shè)設(shè)桶的底半徑為桶的底半徑為R，水的比重為，水的比重為 ,計算桶的一端面計算桶的一端面上所受的壓力上所受的壓力 二、水壓力二、水壓力壓壓強強hp , ,壓壓力力pSF . . 例例4 4 解解 在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖,xoxxxd 壓力元素壓力元素xxRxPd2d22 端面上所受的壓力為端面上所受的壓力為 xxRxPRd2

24、220 .323R 45 水庫的閘門是等腰梯形水庫的閘門是等腰梯形, ,上底上底6 6米米, ,下底下底4 4米米, ,高高1010米米, ,水面與上底齊平水面與上底齊平, ,求閘門所承受的壓力求閘門所承受的壓力. . 例例5 5 解解6m4mx01mxx 10建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,細(xì)長條長度細(xì)長條長度壓力元素壓力元素，56x ，xxxFd)56(d 100d)56(xxxF )151000300(8 . 9 . )ton(233.3or )kN(2287 46質(zhì)質(zhì)量量為為21,mm、距距離離為為 r的的兩兩個個質(zhì)質(zhì)點點之之間間的的引引力力大大小小為為 三、引力三、引力，221rmmG

25、F 其其中中 G為為引引力力系系數(shù)數(shù), 引引力力的的方方向向沿沿著著兩兩質(zhì)質(zhì)點點的的連連線線方方向向 設(shè)有一長度為設(shè)有一長度為l、線密度為線密度為的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒, ,在在其中垂直線上距棒其中垂直線上距棒a處有一質(zhì)量為處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點的質(zhì)點M. . 求該求該棒對質(zhì)點的引力棒對質(zhì)點的引力. . 例例6 6 解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,2l2l xyoMaryyyd ,22yar ,d22yaymGF 472l2l xyoMarydyy ，yyaamGFxd)(d2/322 2/2/2/322d)( llxyyaamGF .41222laalGm ,d22yaymGF 水平方向的

26、分力元素水平方向的分力元素由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為.0 yF48練習(xí)：練習(xí)：P287 習(xí)題習(xí)題6-33. 5. 第第n次呢次呢? 6. 8. 9. 11. 12.49習(xí)題課習(xí)題課50為為旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積所圍平面圖形繞直線所圍平面圖形繞直線及及則曲線則曲線為常數(shù)為常數(shù)且且續(xù)續(xù)上連上連在在設(shè)設(shè)mybxaxxgyxfymmxfxgbaxgxf ,),(),(),()()(,)(),( 例例1 1 解解xxfmxxgmVd)(d)(d22 體積元素為體積元素為y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo所以所求旋轉(zhuǎn)體體積為所以所求旋

27、轉(zhuǎn)體體積為 baxxfmxgmVd)()(22 .d)()()()(2 baxxgxfxgxfm 51求求由由622 xy與與xy 32 作作草草圖圖如如下下: : .16d)321()3(2222 yyyA例例2 2 解解所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 關(guān)于關(guān)于y積分較方便，積分較方便，52求求由由xyx222 ,xyx422 和和直直線線xy ,0 y 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 作草圖如下作草圖如下,化為極坐標(biāo)計算化為極坐標(biāo)計算,例例3 3 解解 d)cos2()cos4(212402 A dcos6402 .2343 ,cos2222 rxyx,cos4422 rx

28、yx53求求拋拋物物線線12 xy在在) 1 ,0(內(nèi)內(nèi)的的一一條條切切線線,使使它它與與兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸和和拋拋物物線線12 xy所所圍圍圖圖形形的的面面積積最最小小. 設(shè)設(shè)切切點點為為),(00yx, 由于曲線由于曲線21xy 下的曲邊梯形的面積是一個固定值下的曲邊梯形的面積是一個固定值， 即即 12200 xxxy， 所以所以,)10( ,4)1(00220 xxxAOB 例例4 4 解解則則切切線線方方程程為為 )(2)1 (0020 xxxxy ， 54在在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)內(nèi) , 31 x 為為唯唯一一駐駐點點 . 即即310 x時時, 所求面積最小所求面積最小. 故故所所求

29、求切切線線為為 : 3432 xy . ，令令xxy22)1( ，則則222)1)(13(xxxy 導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，故為極小值點，導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，故為極小值點，又由又由唯一性知是最小值點，唯一性知是最小值點，55a aoyx求星形線求星形線323232ayx )0( a繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. ,323232xay ，332322 xay,aax xxaVaad33232 .105323a 例例5 5 解法解法1 1旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積為為用用直角坐標(biāo)，直角坐標(biāo)，56.105323a ， taytax33sincos 02/2d2 xyV 2/0262dsinco

30、s3sin2 tttata 2/0273d)sin1(sin6 tttaa aoyx求星形線求星形線323232ayx )0( a繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. 例例6 6 解法解法2 2 參數(shù)化，參數(shù)化，57求求由由曲曲線線24xy 及及0 y所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞直直線線3 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為2)43(dyV ,d412yy yyVd41240 .64 3yd例例7 7 解解yyd)43(2 58 求求由由曲曲線線)2)(1( xxy和和x軸軸所所圍圍平平面面圖圖形形繞繞

31、y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積. . 由由平平面面圖圖形形)(0 ,0 xfybxa 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為 若若平平面面圖圖形形為為,0bxa 例例8 8 解解(91(91六六9)9) 用用“套筒套筒法法”： ； bayxxxfVd)(2 .d)(2 bayxxxfV 本題：本題：.2d)2)(1(221 xxxxVy0)( yxf，則則 59.d332的的全全長長求求曲曲線線ttyx ，的的定定義義域域為為33)( xxy解解,3)( 2xxy 332d1xys全長全長ttdcos42302 .334 tt d)2cos1(430 ,4122xy 例例9 9 302d42xx 332d4xx60求心臟線求心臟線 r = a (1+cos ) 的全長的全長.心臟線全長對應(yīng)心臟線全長對應(yīng)222222)cos1(sin aarr d2022 rrs， 20 ，2cos422 a d2cos220 a d2cos40 a.8a 例例1010 解解61 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖栌描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘力與鐵釘進(jìn)入木板