第三章時變電磁場

1、2022-2-11第三章第三章 時變時變電磁場電磁場 時變電磁場時變電磁場:隨時間變化的電場與磁場。隨時間變化的電場與磁場。時變時變電磁場的特點：電磁場的特點：電場和磁場不再獨立電場和磁場不再獨立,而是互相依存、互相而是互相依存、互相轉化。即轉化。即變化的磁場會產生電場變化的磁場會產生電場；變化的電場變化的電場也能產生磁場也能產生磁場。電場和磁場不可分割地成為統。電場和磁場不可分割地成為統一的電磁現象。一的電磁現象。時變電磁場的時變電磁場的核心核心理論是理論是麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組。2022-2-123.1.1 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律一、法拉第電磁感應定律一、法拉第電磁感應

2、定律(實驗實驗):1、數學表示式、數學表示式: 物理意義物理意義:通過任意通過任意閉合閉合導線回路的磁通發(fā)生變化導線回路的磁通發(fā)生變化,回路中就會產生感應電流。感應電流的產生可以回路中就會產生感應電流。感應電流的產生可以認為是產生了感應電動勢認為是產生了感應電動勢 ,其其大小等于回路大小等于回路中磁通對時間的變化率中磁通對時間的變化率,方向方向為感應電流的磁通總為感應電流的磁通總是是阻止阻止與回路相交鏈的原來的磁通的變化與回路相交鏈的原來的磁通的變化.iSiSdBdtddtd3.1 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組2022-2-132、感應電場感應電場 ：iE環(huán)路積分為感應電動勢環(huán)路積分為感應電動

3、勢 .iSCiiSdBdtddtdl dE上式說明上式說明:感應電場的環(huán)路線積分值不恒為感應電場的環(huán)路線積分值不恒為零零.即即感應電場為有旋場感應電場為有旋場。感應電場是由于磁場隨時間改變而產生的。感應電場是由于磁場隨時間改變而產生的。推論推論:閉合回路不是導體回路行不行呢？閉合回路不是導體回路行不行呢？ 任意任意的閉合回路那又行不行呢？的閉合回路那又行不行呢？2022-2-14、法拉第電磁感應定律：、法拉第電磁感應定律：(iiCSBEdldSt 積分形式）據斯托克斯定理據斯托克斯定理: 則則BEt （ 微 分 形 式 ）(3.5)上式說明上式說明:變化的磁場能產生電場變化的磁場能產生電場,且

4、電場不且電場不再是再是無旋無旋場場.那么變化的電場產生磁場嗎？那么變化的電場產生磁場嗎？0tB 當當 時時,則則0E 說明說明:恒定磁場是獨立的恒定磁場是獨立的,若其中存在電場若其中存在電場,也必是也必是庫侖場或恒定電場庫侖場或恒定電場,為無旋場為無旋場。2022-2-153.1. 位移電流位移電流JH1、安培環(huán)路定律：、安培環(huán)路定律：對上式兩邊取散度對上式兩邊取散度,則則:0H右邊右邊電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程時變時變情況下情況下,0t等式兩邊取散度后等式兩邊取散度后,時變情況時變情況,左邊不等于右邊左邊不等于右邊.缺陷缺陷左邊左邊tJ2022-2-162、位移電流位移電流： D 而電流連

5、續(xù)性方程為而電流連續(xù)性方程為0tJ0t)D(J 即即0)(tDJ 定義：定義：位移電流密度位移電流密度tDJd電位移矢量電位移矢量2022-2-173、安培環(huán)路定律的修正安培環(huán)路定律的修正：于是安培環(huán)路定律被修正為于是安培環(huán)路定律被修正為:tDJH安培環(huán)路定律的微分形式安培環(huán)路定律的微分形式JH0) dJJ （tDJJJHd2022-2-18全電流定律（全電流定律（時變場的安培定律）時變場的安培定律）：1、全電流全電流：含傳導電流、運流電流、位移電流。其含傳導電流、運流電流、位移電流。其中中傳導電流、運流電流稱真實電流傳導電流、運流電流稱真實電流。2、全電流定律：、全電流定律：tDJH SSS

6、SdtDSdJSd)H( 由斯托克斯定理：則由斯托克斯定理：則SSCSdtDSdJldH上式說明：上式說明：變化的電場也能產生磁場變化的電場也能產生磁場。對任意曲面對任意曲面S 積分積分2022-2-19例：海水的電導率例：海水的電導率 ，相對介電常數，相對介電常數 ，若設海水中的電場是按余弦變化的，若設海水中的電場是按余弦變化的， 求當求當 和和 時，位移電流同時，位移電流同傳導電流傳導電流幅值幅值的比值。的比值。ms481rMHzf11GHzf11解：解： 位移電流密度為：位移電流密度為：其幅值為：其幅值為：mrdmEJ0 傳導電流密度為：傳導電流密度為：tEEJmccos其幅值為：其幅值

7、為：mcmEJEDr0tE tDJmrDsin0tEEmcos2022-2-110則位移電流與傳導電流幅值之比為：則位移電流與傳導電流幅值之比為：rmmrcmdmEEJJ00MHzf11當當 時，時，3010125. 1rcmdmJJ125. 10rcmdmJJ當當 時，時，GHzf11比較運算結果發(fā)比較運算結果發(fā)現現：當：當頻率越高頻率越高時，位移電流越時，位移電流越大，即變化的電大，即變化的電場產生的磁場也場產生的磁場也越大。越大。這就是為這就是為什么，時變電磁什么，時變電磁場在實際應用中場在實際應用中往往使用往往使用較高較高頻率頻率的緣故。的緣故。2022-2-111某種媒質中某種媒質中

8、傳導電流與位移電流的比傳導電流與位移電流的比值的大小是衡量該媒質導電性的分界線值的大小是衡量該媒質導電性的分界線。當該值遠遠大于時，媒質為良導體，遠當該值遠遠大于時，媒質為良導體，遠遠小于時為良介質。由于該比值與頻率遠小于時為良介質。由于該比值與頻率成反比，則媒質是良導體還是良介質不是成反比，則媒質是良導體還是良介質不是絕對的。絕對的。在低頻下為良導體的媒質在高頻在低頻下為良導體的媒質在高頻時可能為良介質時可能為良介質。1 JJdmcm?2022-2-1123.1.3 麥克斯韋方程麥克斯韋方程一、麥克斯韋方程組一、麥克斯韋方程組 麥克斯韋將電場與磁場的麥克斯韋將電場與磁場的環(huán)量環(huán)量及及通量通量

9、方程，推方程，推廣至時變電磁場中，就成為其廣至時變電磁場中，就成為其方程組方程組。1、微分形式：、微分形式：DBtBEtDJH0有旋有旋有旋有旋無散無散有散有散 時變時變電場電場有散有旋，即有散有旋，即電力線可以是閉合的電力線可以是閉合的（有旋），（有旋），也可以是不閉合的也可以是不閉合的（有散）；時變磁場則是有旋無散的，故（有散）；時變磁場則是有旋無散的，故磁力線永遠是閉合的磁力線永遠是閉合的。346.42022-2-1132、積分形式：、積分形式：qSdDSdBSdtBl dESdtDSdJl dHSSSCSSC0全電流定律全電流定律法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律磁通連續(xù)性原理磁通連

10、續(xù)性原理高斯通量定理高斯通量定理上面兩個方程組適用于上面兩個方程組適用于所有媒質所有媒質，包括，包括各向同性各向同性及及各向異性媒質各向異性媒質。但對于不同的媒質，其但對于不同的媒質，其本構關系本構關系是不同的。是不同的。本構關系即本構關系即 與與 、 與與 及及 與與 之間的關系。之間的關系。E DH BE J152022-2-114若媒質是線性、各向同性的，有若媒質是線性、各向同性的，有 （3.193.19）式（式（3.193.19）稱為媒質的）稱為媒質的本構關系本構關系。 DEBHJE、是常數。是常數。各向異性媒質，則各向異性媒質，則 是張量（矩陣）。是張量（矩陣）。、333231232

11、2211312112022-2-1153.2 邊界條件邊界條件 切向分量的邊界條件切向分量的邊界條件 或或 （3.203.20） 切向分量的邊界條件切向分量的邊界條件 或或 （3.213.21）HsnJHHe)(21sttJHH21E0)(21EEen021ttEE 法向分量的邊界條件法向分量的邊界條件 或或 （3.223.22） 法向分量的邊界條件法向分量的邊界條件 或或 （3.233.23）12nnsDDBD0)2BB(e 1nn1nBB 2s1nDD(e )2173.4(9)3.4(2)3.2.1 邊界條件的一般形式邊界條件的一般形式132022-2-1163.2.2 完純（完純（理想理

12、想）導體）導體表面上的邊界條件：表面上的邊界條件：媒質媒質“1”為理想介質為理想介質媒質媒質“2”為理想導體為理想導體012012在理想導體中在理想導體中:02222E EJ002B tBE 有限有限不考慮對時間不考慮對時間為恒定的分量為恒定的分量02D02H2022-2-117則邊界條件可改寫為則邊界條件可改寫為:01nEe snJHe 1s1nDe 01nBe 上式說明上式說明:對于時變場中的理想導體對于時變場中的理想導體,電場電場總是與導體表面垂直總是與導體表面垂直,磁場總是與導體表面相磁場總是與導體表面相切。切。在在導體內部導體內部,電場、磁場均為零電場、磁場均為零。若理想若理想導體表

13、面有自由電荷及面電流時，面電流的導體表面有自由電荷及面電流時，面電流的方向與磁場方向相垂直方向與磁場方向相垂直。1215介質介質導體導體3.4(6)2022-2-1183.2.3 兩理想介質分界面上的邊界條件：兩理想介質分界面上的邊界條件：則分界面的邊界條件為：則分界面的邊界條件為：212)01tt n (EEEE或1212()0tt nHHHH或212)01nn n (DDDD或212)01nn n (BBBB或不存在面電流不存在面電流 及面電荷及面電荷理想介質理想介質：絕緣介質絕緣介質，其，其0，且分界面上一般，且分界面上一般0sJ0s2022-2-1193.3 坡印廷定理坡印廷定理1、靜

14、態(tài)場中電場、磁場的能量體密度：、靜態(tài)場中電場、磁場的能量體密度：22121EEDew22121HHBmw2、時變電磁場的能量體密度：、時變電磁場的能量體密度：222121HEmewww在線性各向在線性各向同性媒質中同性媒質中2022-2-1203、坡印亭定理：坡印亭定理：無外源的線性各向同性媒質中：無外源的線性各向同性媒質中：EJ利用恒等式：利用恒等式：)()()(HEEHHEtH tBE tE J tDJH HBED將其代入恒等式：有將其代入恒等式：有tEEJEtHHHE)(2022-2-121而而則則將上式對將上式對任意體積任意體積積分，并利用高斯散度定理，則有積分，并利用高斯散度定理，則

15、有()TSdEHdSdP ddtw坡印廷定理坡印廷定理)()21(2mtHttHHw)()21(2etEttEEw2)()(EtHEwT2PEJE 又熱的功率為單位體積中變?yōu)榻苟?PT2022-2-122坡印亭定理的物理意義：坡印亭定理的物理意義： 單位時間里，單位時間里， 體積內體積內時變電磁場儲時變電磁場儲能的增加能的增加與轉換為焦耳熱損耗掉的功率，與轉換為焦耳熱損耗掉的功率，等于等于從從 體積的表面體積的表面S流進來的功率流進來的功率。定義：定義：、坡印亭矢量、坡印亭矢量 ：（能流密度矢量）：（能流密度矢量）SHES()TSdEHdSdP ddtw其大小等于單位時間內穿過與波的傳播方向相

16、垂其大小等于單位時間內穿過與波的傳播方向相垂直的單位面積上的能量直的單位面積上的能量,故故 也叫也叫能流密度矢量能流密度矢量.S電磁場的電磁場的傳播方向傳播方向2022-2-1233.4 波動方程波動方程0EHJtHEtHE 限定形式限定形式的麥克斯韋方程組的麥克斯韋方程組全電流定律全電流定律法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理高斯通量定理高斯通量定理2022-2-124考慮考慮無源區(qū)域無源區(qū)域的情形：的情形：麥克斯韋方程組變?yōu)辂溈怂鬼f方程組變?yōu)?,0,0J00EHtHEtEH2022-2-125HEt 對兩邊取旋度，有對兩邊取旋度，有EHt 以及以及則：則：222

17、0EEt電場的電場的波動波動方程方程同理可得：同理可得：2220HHt磁場的磁場的波動波動方程方程利用矢量恒等式：利用矢量恒等式：EEE2)(tEH0E6.52022-2-1263.5 時諧場的復數表示法時諧場的復數表示法一、時諧變電磁場的復數表示法：一、時諧變電磁場的復數表示法：1、時諧變電磁場：、時諧變電磁場： 隨時間作簡諧變化的電磁場隨時間作簡諧變化的電磁場。即電磁。即電磁場量（場源）是時間場量（場源）是時間 的的正弦正弦或或余弦余弦函數。函數。t2、復數表示法：、復數表示法：()xxyyzzEe Ee Ee E設設 的每個分量均是的每個分量均是 的余弦函數的余弦函數.Et則則2022-

18、2-127tjxmtjjxmxxmxeEeeEtEtrExReRe)cos(),(tjymtjjymyymyeEeeEtEtrEyReRe)cos(),(tjzmtjjzmzzmzeEeeEtEtrEzReRe)cos(),(故故( , )Re ()j txmymzmxyzE r te Ee Ee Ee( ) ()mxmymzmxyzE re Ee Ee E令復振幅矢量復振幅矢量字母上加點表示復數字母上加點表示復數2022-2-128同理同理:tjmerEtrE)(Re),(tjmerHtrH)(Re),(則則瞬時值瞬時值余弦函數取余弦函數取實部實部2022-2-129正弦電場對時間的導數及積

19、分用復數表示為：正弦電場對時間的導數及積分用復數表示為：)(Re),(tjmerEtttrE)(Re)(RetjmtjmerEjerEt)(Re),(222tjmerEttrEdterEdttrEtjm)(Re),()(1RetjmerEj積分積分二階二階導數導數一階一階導數導數2022-2-130正弦電場散度和旋度用復數表示為：正弦電場散度和旋度用復數表示為：)(Re)(Re),()(Re)(Re),(tjmtjmtjmtjmerEerEtrEerEerEtrE2022-2-131例例:將下列場量的將下列場量的復數和瞬時值復數和瞬時值表達式互換表達式互換(設對設對 t 的的變化以變化以余弦余

20、弦為基準為基準).1) 0sin()sin()xHe Hxkzta2) jzyymE yme Ee解解:1) kzttkz )2cos()sin()sin(Re)2(0kztjxexaHeH 2022-2-1322) ( , )ReRej tjzj tymyyymEr tEee Eeecos()yyme Etz()20( )sin()jkzymx Hre Hx ea),(trE yj zymyymEe E e2022-2-1333.5.2復數形式的麥氏方程組和波動方程：復數形式的麥氏方程組和波動方程：1、全電流定律的復數表示法：、全電流定律的復數表示法：tDJH tjmtjmeHeHtrHRe),(tjmeJJtjmeDDmmmDjJH 同理同理時間因子時間因子 消去消去.tje微分符號也消去了微分符號也消去了2022-2-134當用有效值矢量表示時，上式變?yōu)椋寒斢糜行е凳噶勘硎緯r，上式變?yōu)椋篋jJH 2、麥氏方程組用、麥氏方程組用復振幅矢量表示時復振幅矢量表示時，為：，為：mmmDjJH mmBjE 0mB mD m時間因子時間因子 均消去均消去.tje122022-2-1353、麥氏方程組用復數、麥氏方程組用復數有效值矢量表示時有效值矢量表示時，為：，為：DjJH 0B D (3.48)BjE 7