高等數(shù)學(xué)習(xí)題及解答(極限,連續(xù)與導(dǎo)數(shù))

1、高等數(shù)學(xué)習(xí)題庫淮南聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部 2008年10月第一章 映射，極限，連續(xù)習(xí)題一 集合與實數(shù)集基本能力層次：1: 已知：Ax|1x2x|5x63,B=y|2y3 求：在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出 A×B解：如圖所示A×B（x,y）| .2：證明： P為正整數(shù)，p2n或p2n+1，當(dāng)p2n+1時，p24n2+4n+1，不能被2整除，故p2n。即結(jié)論成立。基本理論層次：習(xí)題二 函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)極限基本能力層次1： 解：2：證明：由得即 ，所以 所以命題成立3：（1） （2） （3 （4）解：4：用極限定義證明： (不作要求)證明：因為 有成立,只要取N，則當(dāng)n>N時,就有有定義變知

2、成立5：求下列數(shù)列的極限（1） （2）（3）（4） 解：（1） ,又,所以 , 故：0（2）由于又因為：,所以：（3）因為：所以：（4） 因為：，并且, 故由夾逼原理得 6：解：由于7：解：8：9：習(xí)題三 無窮小與無窮大、極限運算法則及兩個重要極限基本理論層次1：解： 同理：（3），（4）習(xí)題四 無窮小的比較、函數(shù)的連續(xù)及性質(zhì)基本理論層次1：（1）（2）2：第二章 一元微分學(xué)及應(yīng)用習(xí)題一 導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則、反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).基本理論層次習(xí)題二 導(dǎo)數(shù)的運算、高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分略習(xí)題三 中值定理 羅必達(dá)法則 泰勒公式基本理論層次1. 2 345.6.7.習(xí)題

3、四 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基本理論層次1綜合練習(xí)題一、 填空題1、設(shè)在可導(dǎo)，則。2、設(shè)，則。3、設(shè)，則。4、已知，則。5、已知，則當(dāng)經(jīng)1、1時，。6、，則。7、如果是的切線，則。8、若為奇函數(shù)，且，則。9、，則。10、，則。11、設(shè)，則。12、設(shè)，則。13、設(shè)，則。14、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則曲線在點（1，1）處的切線方程是。15、 ，其導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是。16、 知曲線與軸相切，則可以通過表示為。二、 選擇題。17、設(shè)可導(dǎo)，則是在處可導(dǎo)的（）。充分了必要條件，B充分但非必要條件，C必要條件但非充分條件，D既非充分條件又非必要條件。18、函數(shù)在處（）A左右導(dǎo)數(shù)均存在，B左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在，

4、C左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在，D左右導(dǎo)數(shù)均不存在。19、設(shè)周期函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又，則曲線在點處的切線斜率為（）A，B0，C10，D2。20、設(shè)函數(shù) 則實常數(shù)當(dāng)在處可導(dǎo)時必滿足（）A；B；C；D21、已知，且存在，則常數(shù)的值為（）ABCD22、函數(shù)在上處處可導(dǎo)，且有，此外，對任何的實數(shù)恒有，那么（）ABC；D。23、已知函數(shù)具有任何階導(dǎo)數(shù)，且，則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時，的階導(dǎo)數(shù)是（）A；B；C；D24、若函數(shù)有，則當(dāng)時，該函數(shù)在處的微分是的（）A等價無窮??；B同階但不等價的無窮小；C低階無窮小；D高階無窮小。25、設(shè)曲線和在它們交點處兩切線的夾角為，則（）A；BC2；D3。26、設(shè)由方程組確

5、定了是的函數(shù)，則（）A；B；C；D。一、 填空題的答案1、2 2、-1 ； 3、； 4、 5、-16、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、-11、1 12、 13、 14、 15、 16、 二、選擇題答案：17、A 18、B 19、D 20、A21、C 22、C 23、A 24、B25、D 26、B三、綜合題：27、求曲線上與直線垂直的切線方程。剖析：求曲線的切線議程關(guān)鍵有垂點，一是求切點，二是求切線斜線。 解：設(shè)切點為則點處的切線斜度為依題意知所求切線（）坐垂直，從而 利切點為；切線（）為 故所求切線方程為 即： 設(shè) 則9、如果為偶函數(shù)，且存在 證明證明：因為為偶函數(shù)，所以從而:

6、故28、討函數(shù)在處方程連續(xù)性與可得解：，所以函數(shù)在處連續(xù)又故函數(shù)在處可導(dǎo)、值29、已知求解: 故30、已知解： 所以：從而 31、證明：雙曲線上往一點處切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于。證明：設(shè)為雙曲線上的一點，則該點處切線的斜率為從而切線方程為令得軸上的截距為令得軸上的截距為從而 32、設(shè)求解：33、設(shè)在 求解：設(shè) 則： 從而34、設(shè)，討論處連續(xù)性剖析：本題需先求的表達(dá)式，再討論在點處的連續(xù)性解：當(dāng)從而：由于35、（1） （2）解：（1） （2） = =37、設(shè)提示：。答案： 38、求導(dǎo)數(shù) 解: = =39、 解 40、設(shè) 剖析：此類函數(shù)直接求導(dǎo)，很難找出規(guī)律，先對41、求下列函數(shù)的n

7、階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式 44、求曲線上對應(yīng)于點處的法線方程46、求剖析：由于函數(shù)是根式私連乘，所以用對數(shù)示導(dǎo)法47、（相關(guān)變化率問題是）設(shè)氣球以100cm3的速度，浸入氣球（假設(shè)氣球是球體）求在半徑為10cm的氣球半徑增加的速度（假空氣體壓力不變）剖析：解決相關(guān)變化率問題一般分三步：第一步：是建立氣球體積v和半徑r之間的關(guān)系。第二步：根據(jù)等式找出第三步：由己知的變化率求出未知的變化率解：= 由 =10cm 即當(dāng)=10cm 時半徑以 的速率增加。48、已知 求49、設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求解：利用公式將方程兩邊分別對求導(dǎo)，有得 =從而 =50、設(shè)y= (1+3-x). 求解： =-51、求下列函數(shù)

8、的微分解：(1)、 =( =(- -)（2）函數(shù)變形為兩邊取對數(shù)有兩邊對求微分得53、擴音器插頭為圓柱形，截面半徑為0.15cm，長度l為4m，為了提高它的導(dǎo)電性能，要在這個圓柱的側(cè)面鍍上一層厚為0.001cm的錢銅，問每個插頭約要多少克純銅。解： =2×0.15×4×0.0故鍍的銅的重量為0.0037699×8.954、有一立方形的鐵箱，它的邊長為70±0.1cm，求出它的體積，并估計絕對誤差和相對誤差。解：體積：V=703=343000cm3 絕對誤差 = 相對誤差 55、求、的值，使在可導(dǎo)。 解：為使在得可導(dǎo)，必須在連續(xù) 故 即 又因 = = 因此有，從而當(dāng)時 在處可導(dǎo)56、證明可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函