第一章線性空間與線性變換4-7ppt課件

1、線性空間和線性變換線性空間和線性變換第一章第一章 線性映射線性映射第四節(jié)第四節(jié) 線線性性映映射射一一、 ，有有，滿滿足足：若若映映射射為為線線性性空空間間，設(shè)設(shè)定定義義：、FVVVTVV : 112121；)()()()1( TTT ).()()2( TT 21的線性映射，的線性映射，到到為為則稱則稱VVT.)( 的的像像稱稱為為稱稱為為原原像像，其其中中 T為線性映射，為線性映射，則則，如下如下定義定義、例例TTVVT )( : 1 .ET 記記為為為為線線性性映映射射，則則，如如下下定定義義、例例TTVVT 0)( : 221 .OT 記為記為換換稱為恒等映射或恒等變稱為恒等映射或恒等變稱

2、為零映射稱為零映射. )( : )( 3的線性映射的線性映射到到為為則則，如下如下定義定義，設(shè)設(shè)、例例mnmnnmijRRTATRRTaA 則則，任任取取證證： RRm AAAT )()()1(；)()( TT )()()()2( AAT ).( T .的的線線性性映映射射到到為為故故mnRRT性性質(zhì)質(zhì)、 2).()( 0)0()1( TTT ；1 0 ，在在線線性性映映射射定定義義中中取取 ；)()()2(11isiisiiiTkkT 線線性性相相關(guān)關(guān)，則則線線性性相相關(guān)關(guān)，設(shè)設(shè))( )( )( )3(2121ssTTT 2121使使，零零的的數(shù)數(shù)線線性性相相關(guān)關(guān)得得存存在在不不全全為為，由

3、由證證：sskkk 0 2211 sskkk 0)( )()()2( )1(2211 ssTkTkTk 得得：，由由性性質(zhì)質(zhì))0() (2211TkkkTss 線性相關(guān)線性相關(guān)，)( )( )(21sTTT 未未必必無無關(guān)關(guān)，線線性性無無關(guān)關(guān)時時，當當注注：)( )( )( 2121ssTTT . )( : 011121 23為為線線性性映映射射則則，如如下下定定義義，設(shè)設(shè)例例、TATRRTA 0111線性無關(guān)，線性無關(guān)，取取 .00111011121)(線線性性相相關(guān)關(guān)但但 T線性映射的矩陣表示線性映射的矩陣表示二、二、 若若的線性映射，的線性映射，到到為為的基，的基，為線性空間為線性空間，

4、的基，的基，為線性空間為線性空間，設(shè)設(shè)矩陣表示：矩陣表示：、 121221121VVTVVmn njaTmiiijj 2 1 )(1， . 2121212222111211下的矩陣下的矩陣，與基與基，在基在基為線性映射為線性映射則稱則稱mnmnmmnnTaaaaaaaaaA )1(ATmn) () ()1( 2121 ，可可記記為為關(guān)關(guān)系系式式注注： . 1 1 )()( : 123234下下的的矩矩陣陣，與與基基，在在基基求求映映射射，為為線線性性則則，如如下下定定義義、例例xxxxxTTxfxfTxRxRT ；解解：200100)1( xxT ；200111)(xxxT ；2202102)

5、(xxxxT .30103)(223xxxxT . 1 1 )()( : 123234下下的的矩矩陣陣，與與基基，在在基基求求映映射射，為為線線性性則則，如如下下定定義義、例例xxxxxTTxfxfTxRxRT ；解解：200100)1( xxT ；200111)(xxxT ；2202102)(xxxxT .30103)(223xxxxT 300002000010 A所求矩陣為所求矩陣為 )( 22121212121221121，下下的的坐坐標標為為，基基在在，下下的的坐坐標標為為，在在基基，下下的的矩矩陣陣為為，與與基基，的的線線性性映映射射且且在在基基到到為為的的基基，為為，的的基基，為為

6、，設(shè)設(shè)原原像像與與像像的的坐坐標標關(guān)關(guān)系系：、YTXAVVTVVmnmnmn AXY 則則，由由已已知知得得：證證：ATmn) () ( 2121 ，Xn) (21 ，YTm) ()(21 XTXTTnn) () ()(2121 ， XAm) (21 ， )( (21AXm ， AXY 故故. 123)()2( 1 1)1( )()( 122032的坐標的坐標，的像在基的像在基求求下的矩陣；下的矩陣；，與基與基，在基在基求求線性映射，線性映射，為為則則，如下如下：定義定義、例例xxxxgxxxTTdttfxfTxRxRTx ；解解：2001101)1( )1( xxxdtTx ；2202101

7、02)(xxxtdtxTx 2/100100 A所求矩陣為所求矩陣為，下下的的坐坐標標為為，在在基基 23 1)( )2(Xxxg下下的的坐坐標標為為，在在基基2 1)( xxxgT 232/100100 130AXY 相相關(guān)關(guān)結(jié)結(jié)論論、 3. )( )1(2121221121ATTaAVVmnnmijmn下的矩陣為下的矩陣為，與基與基，在基在基使使，則存在唯一的線性映射則存在唯一的線性映射的基，的基，為為，的基，的基，為為，設(shè)設(shè) ，且且任任取取證證： nnxxxV21211) ( .)( (22121VxxxAnm ，則，則，令令，如如下下令令 )( :21TVVT.21的的線線性性映映射射

8、到到為為則則VVT， 001) ( 211n 1211121211) ()001)( ()( mmmaaaAT ， mnnnmmmmaaaTaaaT212122212212) ()( ) ()( ，同同理理. 2121ATmn下的矩陣為下的矩陣為，與基與基，在基在基故故 下證唯一性下證唯一性 ) () ( 212112121，使使得得，上上的的線線性性映映射射到到設(shè)設(shè)有有ATTTVVmn ATmn) () (21212 ， ，) () (212211nnTT ，則，則，且且任取任取XVn) (211 XTXTTnn) () ()(2112111 ， ) () (212212XTXTnn ， ，

9、)(2 T .21，故唯一性成立，故唯一性成立TT 則則，下下的的矩矩陣陣為為，與與基基，在在基基，為為下下的的矩矩陣陣，與與基基，在在基基若若的的線線性性變變換換，到到為為，的的基基且且過過渡渡矩矩陣陣為為為為，；，的的基基且且過過渡渡矩矩陣陣為為為為，；，設(shè)設(shè) . )2(21212121212212112121BATVVTQVPVmnmnmmnn .1APQB ，由由已已知知得得：證證：Pnn) () ( 2121 ，Qmm) () (2121 ，BTmn) () (2121 ，ATmn) () (2121 ) ( ) (2121PTTnn ， PTn) (21 ， PAm) ( 21 ，

10、 )( (21APm ， .1APQB BQTmn) ( ) ( 2121 ，又又 ，)( (21QBm APQB 故故等等價價與與即即矩矩陣陣BA線性空間和線性變換線性空間和線性變換第一章第一章 值值域域與與核核第第五五節(jié)節(jié) 值域與秩值域與秩一、一、 .)( 1121值域值域的的為為則稱則稱的線性映射，的線性映射，到到為為設(shè)設(shè)值域：值域：、TVTVVT ).()(1VTTR或或記為記為.)( 22的的子子空空間間為為結(jié)結(jié)論論：、VTR )(dim 3的秩，的秩，稱為稱為秩：秩：、TTR).(Tr記為記為 )( ，任任取取證證：FTR )( )( 11111TTV，使得使得，則存在則存在)()

11、()(1111 TTT)()(11 TT .)(2的的子子空空間間為為故故VTR則則，下的矩陣為下的矩陣為，與基與基，的線性映射且在基的線性映射且在基到到為為的基，的基，為為，的基，的基，為為，設(shè)設(shè)值域與秩的求法：值域與秩的求法：、 4212121221121AVVTVVmnmn ；，)( )( )()()1(21nTTTLTR ).()()2(ArTr ，)(TR ，)(TR ，)( )( )(21nTTTL )()1( ，任任取取證證：TR .)( 1 TV使使得得，則則存存在在，nnkkk 2211 ，)()()()( 2211nnTkTkTkT ).( )( )()(21nTTTLTR

12、 ， ，任取任取)( )( )(21nTTTL ，則則)()()( 2211nnTkTkTk ,)( )()( 為為子子空空間間，TRTRTi ，)(TR ).()( )( )(21TRTTTLn ，).( )( )()(21nTTTLTR ，故故 )( )( )(dim)()2(111 TTTLTr， )( )( )(21nTTTr ， ) (21nTr ， ) (21Arm ， )(Ar ；，)( )( )()()1(21nTTTLTR ).()()2(ArTr 核與零度核與零度二、二、 . 0)( 1121的的核核為為，則則稱稱的的線線性性映映射射，到到為為設(shè)設(shè)核核：、TVTVVT ).

13、0()(1 TTN或或記記為為.)( 21的子空間的子空間為為結(jié)論：結(jié)論：、VTN )(dim 3的零度，的零度，稱為稱為零度：零度：、TTN).(Tnul記為記為 )( ，任任取取證證：FTN . 0)( 0)( TT，則則，000)()()( TTT，00)()( TT.)(1的子空間的子空間為為故故VTN則則，的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為且且，下下的的矩矩陣陣為為，與與基基，的的線線性性映映射射且且在在基基到到為為的的基基，為為，的的基基，為為，設(shè)設(shè)核核與與零零度度的的求求法法：、 0 421212121221121rnmnmnAxAVVTVV ；，其其中中，inirnLTN ) ( )()

14、1(2121 ).()()2(ArnTnul ).(TN ).(TN 下下的的坐坐標標為為，在在基基且且，任任取取證證：nTN )()1( 21 . )( 0)(21 ATTm下下的的坐坐標標為為，在在基基且且，則則 ，任任取取 21rnL ) ()( 21iniTT ， dim)()2(21rnLTnul ， 21rnr ， . rn rnrnkkk 2211則則)( )()()(2211rnrnTkTkTkT inT ) (21， imA ) (21， )( (21imA ， ，00) (21 m ，0)( T).(TN . )( 21rnLTN ，故故.0 0的的解解為為即即， AxA

15、rnrnkkk 2211).( 21TNLrn ，) ( ) () () (212212121121rnnrnnnnkkk ，rnrnkkk 2211， 21rnL . )(21rnLTN ，；，其其中中，inirnLTN ) ( )()1(2121 ).()()2(ArnTnul ).()()2( (1) .0110 1001 0101 0011 101 110 011 )( : 110202211321 1432132144321332143TNTRATRRBTRRTB及及；下的矩陣下的矩陣，與基與基，在基在基求求的基的基為為，的基，的基，為為，如下如下定義定義，設(shè)設(shè)、例例 0111102

16、02211321)( )1( 1 T解解：， 1223， 2235)(2 T， 1434)(3 T)( )( )() ( 321321 TTTT， 121422332453，又又AT) () ( 4321321 )( )( )() ( 321321 TTTT， 121422332453，又又AT) () ( 4321321 ，A 0100101010010111121422332453 12142233245301001010100101111A 211121211121 110000110121 )2(A 000000110301)( )( )()( 321 TTTLTR， 22 43214

17、321 ，L，的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為 1130 Ax3213213 113) ( ，3)(321 LLTN線性空間和線性變換線性空間和線性變換第一章第一章 線線性性變變換換第第六六節(jié)節(jié) 線性變換線性變換一、一、 ，有有，滿滿足足：上上的的變變換換若若為為線線性性空空間間，設(shè)設(shè)線線性性變變換換：、FVTVV 1；)()()()1( TTT ).()()2( TT .上的線性變換上的線性變換為為則稱則稱VT. ) () ( 132133213上上的的線線性性變變換換為為則則，定定義義在在、例例RTaaaaaaTR 則則，任任取取證證： ) ( ) ( 3321321RRbbbaaa ) ( )

18、(321332211aaabababa ， .3上的線性映射上的線性映射為為故故RT，) ()( ) ()(213213bbbTaaaT ) ()()1(221133bababaT ， )()() () (213213 TTbbbaaa ，) ()()2(213aaaT ， ).() (213 Taaa ，. 有有相相同同的的性性質(zhì)質(zhì)線線性性變變換換與與線線性性映映射射具具注注：若若線線性性變變換換，上上的的為為的的基基，為為線線性性空空間間，設(shè)設(shè)矩矩陣陣表表示示：、 221VTVn njaTniiijj 2 1 )(1， 下下的的矩矩陣陣，在在基基為為線線性性變變換換則則稱稱nnnnnnnT

19、aaaaaaaaaA 21212222111211 )1(ATnn) () ()1( 2121 ，可可記記為為關(guān)關(guān)系系式式注注： )( 221212121，下的坐標為下的坐標為，在基在基，下的坐標為下的坐標為，在基在基，下的矩陣為下的矩陣為，線性變換且在基線性變換且在基上的上的為為的基，的基，為為，設(shè)設(shè)原像與像的坐標關(guān)系：原像與像的坐標關(guān)系：、YTXAVTVnnnn AXY 則則，由由已已知知得得：證證：ATnn) () ( 2121 ，Xn) (21 ，YTn) ()(21 XTXTTnn) () ()(2121 ， XAn) (21 ， )( (21AXn ， AXY 故故. )()3(

20、)( )3 2 1()2( )1( 001 011 111100 010 001 13213213213213213下的坐標下的坐標，在在及及求求下的坐標；下的坐標；，在基在基求求，設(shè)設(shè)下的矩陣；下的矩陣；，在基在基求求，變?yōu)榛優(yōu)榛?，將基將基中線性變換中線性變換設(shè)在設(shè)在、例例 TTTTRT )( )1( 32111，解：解： T，2122)( T，133)( T 001011111 321AT下下的的矩矩陣陣為為，在在基基 321 )2(321下下的的坐坐標標為為，在在基基 321001011111 )( 321下下的的坐坐標標為為，在在基基 T 136. )()3( )( )3 2 1()

21、2( )1( 001 011 111100 010 001 13213213213213213下的坐標下的坐標，在在及及求求下的坐標；下的坐標；，在基在基求求，設(shè)設(shè)下的矩陣；下的矩陣；，在基在基求求，變?yōu)榛優(yōu)榛?，將基將基中線性變換中線性變換設(shè)在設(shè)在、例例 TTTTRT 001011111 (1) :321AT下下的的矩矩陣陣為為，在在基基解解 136 )( 2)(321下的坐標為下的坐標為，在基在基 T的的過過渡渡矩矩陣陣，到到基基，為為基基矩矩陣陣321321 )3( A 321 1321A下下的的坐坐標標為為，在在基基 321011110100 113 136 )(1321AT下的坐標為

22、下的坐標為，在基在基 136011110100 321則則，下下的的矩矩陣陣為為，在在基基，下下的的矩矩陣陣為為，在在基基若若的的基基且且過過渡渡矩矩陣陣為為為為，；，設(shè)設(shè)上上的的線線性性變變換換，為為線線性性空空間間設(shè)設(shè)不不同同基基下下的的矩矩陣陣關(guān)關(guān)系系：、 . 321212121BATCVVTnnnn .1ACCB ，由由已已知知得得：證證：Cnn) () ( 2121 ，BTnn) () (2121 ，ATnn) () (2121 ) ( ) (2121CTTnn ， CTn) (21 ， CAn) ( 21 ， )( (21ACn ， .1ACCB BCTnn) ( ) ( 2121

23、 ，又又 ，)( (21CBn ACCB 故故相似相似與與即矩陣即矩陣BA下下的的矩矩陣陣，在在基基求求，且且，下下的的矩矩陣陣為為，的的基基在在線線性性空空間間設(shè)設(shè)線線性性變變換換、例例321132123211321 1 222122 21 1 TAVT 001011111 321321C的的過過渡渡矩矩陣陣為為，到到基基，由由基基解解： 1321321 CD的的過過渡渡矩矩陣陣為為，到到基基，由由基基 011110100ADDBT1321 下的矩陣為下的矩陣為，在基在基故故 011110100122212221001011111 011110100221033111 102030001運算

24、運算二、二、 FVST 1上上的的線線性性變變換換，為為線線性性空空間間、運運算算：設(shè)設(shè)、).()()( )1( STSTST 定定義義為為加加法法：).()( )(2 TTT 定義為定義為數(shù)乘：數(shù)乘：).()( )3( STTSTS 定定義義為為乘乘法法： )4(可可逆逆，則則稱稱，設(shè)設(shè)可可逆逆：TESTTS .1 TSTS的的逆逆變變換換，記記為為稱稱為為且且相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論、 2.)( )1(1上上的的線線性性變變換換都都為為可可逆逆、則則上上的的線線性性變變換換，為為、設(shè)設(shè)VTTTSTSTVST 為線性變換，為線性變換，只證只證證：證：TS 則則，任任取取 FV )()( STTS)(

25、)( SST )()( STST )()( TSTS )()( STTS )( ST )( TS )( ST .為為線線性性變變換換故故TS加加法法滿滿足足的的規(guī)規(guī)律律)2(；TSST ；)()(WSTWST ；TOT .)(OTT 數(shù)數(shù)乘乘滿滿足足的的規(guī)規(guī)律律)3(；TT 1；TT)()( ；TTT )(乘乘法法滿滿足足的的規(guī)規(guī)律律)4(；)()(SWTWTS ；)()()(TSSTST ；TWTSWST )(.)(STST .)(WTSTTWS )5(線線性性空空間間，上上的的所所有有線線性性變變換換構(gòu)構(gòu)成成線線性性空空間間V).(VL記為記為則則，下下的的矩矩陣陣為為，且且在在基基，設(shè)設(shè)

26、 )( )6(21BAVLSTn ；的的矩矩陣陣為為BAST ；的的矩矩陣陣為為 AT ；的矩陣為的矩陣為ABTS. 11 ATT的的矩矩陣陣為為可可逆逆時時，當當).()( TT 負負變變換換定定義義：注注：)()()( OTOT 證證：)(0)( TT .TOT 則則，下下的的矩矩陣陣為為，且且在在基基，設(shè)設(shè) )( )6(21BAVLSTn ；的的矩矩陣陣為為BAST ；的的矩矩陣陣為為 AT ；的的矩矩陣陣為為ABTS. 11 ATT的的矩矩陣陣為為可可逆逆時時，當當只只證證證證： ，由由已已知知得得：ATnn) () ( 2121 ，BSnn) () (2121 ) () )(2121

27、nnSTTS ， ) (21BTn ， BTn) (21 ， BAn) (21 ， )( (21ABn ， .ABTS的矩陣為的矩陣為故故. 2)2( (1) 5231 )( 121121下下的的矩矩陣陣，在在基基求求可可逆逆；證證明明，下下的的矩矩陣陣為為，在在基基且且設(shè)設(shè)、例例 TTTATVLT 01 )1( ，解解： A可逆，可逆，A.可逆可逆T 123552312 2)2(211BTT下下的的矩矩陣陣為為，在在基基 11237線性空間和線性變換線性空間和線性變換第一章第一章 線線性性空空間間同同構(gòu)構(gòu)第第七七節(jié)節(jié) ，有有，滿滿足足：映映射射若若存存在在為為線線性性空空間間，設(shè)設(shè)同同構(gòu)構(gòu)：

28、、FVVVVV :11 112121；)()()()1( ).()()2( . 2121VVVV 記記為為同同構(gòu)構(gòu)，與與則則稱稱.稱為同構(gòu)映射稱為同構(gòu)映射 . dim 1nFVnV 證證明明：，設(shè)設(shè)、例例有有則則的的基基，為為，設(shè)設(shè)證證：VVn 21nnxxx 2211 ) ()( 21，如如下下：令令TnnxxxFV .11映映射射為為則則 nnyyyV 2211且且，任任取取 ) ()(21，則則Tnyyy nnnyxyxyx )( )()(222111 nnxxx )( )()(2211 Tnnyxyxyx) ()(2211 ， TnTnyyyxxx) () (2121， )()( .

29、dim 1nFVnV 證證明明：，設(shè)設(shè)、例例有有則則的的基基，為為，設(shè)設(shè)證證：VVn 21nnxxx 2211 ) ()( 21，如如下下：令令TnnxxxFV .11映映射射為為則則 nnyyyV 2211且且，任任取取 ) ()(21，則則Tnyyy nnnyxyxyx )( )()(222111 nnxxx )( )()(2211 Tnnyxyxyx) ()(2211 ， TnTnyyyxxx) () (2121， )()( Tnxxx) ()(21 ， Tnxxx) (21， )( 為同構(gòu)映射，為同構(gòu)映射，故故 .nFV 性質(zhì)性質(zhì)同構(gòu)映射同構(gòu)映射、 2).()( 0)0()1( ；1

30、0 ，在在同同構(gòu)構(gòu)定定義義中中取取 ；)()()2(11isiisiiikk )()( )( )()( )3(2121無無關(guān)關(guān)相相關(guān)關(guān)，無無關(guān)關(guān)相相關(guān)關(guān)，ss 21線線性性相相關(guān)關(guān)，設(shè)設(shè)證證：s 0 2211 sskkk 0)( )()()2( )1(2211 sskkk 得得：，由由性性質(zhì)質(zhì))0() (2211 sskkk線性相關(guān)線性相關(guān)，)( )( )(21s 線線性性相相關(guān)關(guān)，設(shè)設(shè))( )( )(21s 使使，則則存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù) 21skkk0)( )()(2211 sskkk )0() (2211 sskkk0 2211 sskkk 線線性性相相關(guān)關(guān)，故故s 21使使，則則存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù) 21skk