題型訓(xùn)練14 函數(shù)與方程

1、要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)（1 1）函數(shù)零點(diǎn)的定義）函數(shù)零點(diǎn)的定義 對于函數(shù)對于函數(shù)y y= =f f( (x x)()(x xD D),),把使把使_成立的實(shí)數(shù)成立的實(shí)數(shù)x x叫叫 做函數(shù)做函數(shù)y y= =f f( (x x)()(x xD D) )的零點(diǎn)的零點(diǎn). .題型訓(xùn)練題型訓(xùn)練14 14 函數(shù)與方程函數(shù)與方程f f( (x x)=0)=0基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)（2 2）幾個(gè)等價(jià)關(guān)系）幾個(gè)等價(jià)關(guān)系 方程方程f f( (x x)=0)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象與的圖象與_有有 交點(diǎn)交點(diǎn) 函數(shù)函數(shù)y y= =f f(

2、 (x x) )有有_._.(3)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在性定理）函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在性定理） 如果函數(shù)如果函數(shù)y y= =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間a a，b b上的圖象是連續(xù)不上的圖象是連續(xù)不 斷的一條曲線，并且有斷的一條曲線，并且有_,_,那么函那么函 數(shù)數(shù)y y= =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間_內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn), ,即存在即存在c c(a a, ,b b),), 使得使得_，這個(gè)，這個(gè)_也就是也就是f f( (x x)=0)=0的根的根. . f f（a a）f f（b b）00)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系00=0=000)0)的圖象的圖象與

3、與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)_無交點(diǎn)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)_( (x x1 1,0),0),( (x x2 2,0),0)( (x x1 1,0),0)無無一個(gè)一個(gè)兩個(gè)兩個(gè)3.3.二分法二分法 （1 1）二分法的定義）二分法的定義 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a a，b b上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且_的的 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )，通過不斷地把函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)f f( (x x) )的零點(diǎn)所在的區(qū)的零點(diǎn)所在的區(qū) 間間_,_,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近_,_,進(jìn)進(jìn) 而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. .（2 2）用二分法求函數(shù)）用

4、二分法求函數(shù)f f( (x x) )零點(diǎn)近似值的步驟零點(diǎn)近似值的步驟 第一步，確定區(qū)間第一步，確定區(qū)間a a，b b，驗(yàn)證，驗(yàn)證_,_, 給定精確度給定精確度 ； 第二步，求區(qū)間（第二步，求區(qū)間（a a，b b）的中點(diǎn)）的中點(diǎn)x x1 1； f f( (a a)f f( (b b)0)0一分為二一分為二零點(diǎn)零點(diǎn)f f( (a a)f f( (b b)0)0第三步，計(jì)算第三步，計(jì)算_：若若_，則，則x x1 1就是函數(shù)的零點(diǎn)；就是函數(shù)的零點(diǎn)；若若_，則令，則令b b= =x x1 1( (此時(shí)零點(diǎn)此時(shí)零點(diǎn)x x0 0(a a, ,x x1 1););若若_，則令，則令a a= =x x1 1(

5、(此時(shí)零點(diǎn)此時(shí)零點(diǎn)x x0 0(x x1 1, ,b b););第四步，判斷是否達(dá)到精確度第四步，判斷是否達(dá)到精確度 ：即若：即若| |a a- -b b| ,| ,則則得到零點(diǎn)近似值得到零點(diǎn)近似值a a（或（或b b）; ;否則重復(fù)第二、三、四步否則重復(fù)第二、三、四步. . f f( (x x1 1) )f f( (a a)f f( (x x1 1)0)0f f( (x x1 1)f f( (b b)0)0f f( (x x1 1)=0)=0溫馨提示溫馨提示: :對函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中對函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中, ,必須強(qiáng)調(diào)必須強(qiáng)調(diào): :(1)(1)f f( (x x) )在在a a, ,b b

6、上連續(xù)上連續(xù); ;(2)(2)f f( (a a)f f( (b b)0;)0;(3)(3)在（在（a a, ,b b）內(nèi)存在零點(diǎn)）內(nèi)存在零點(diǎn). .事實(shí)上事實(shí)上, ,這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件, ,但不必要但不必要. . 題型一題型一 零點(diǎn)的判斷零點(diǎn)的判斷1、判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn). . (1) (1)f f（x x）= =x x2 2-3-3x x-18-18，x x1 1，8 8； (2)(2)f f（x x）=log=log2 2( (x x+2)-+2)-x x，x x1 1，3 3. . 第（第（1 1）問利

7、用零點(diǎn)的存在性定理或）問利用零點(diǎn)的存在性定理或 直接求出零點(diǎn)，第（直接求出零點(diǎn)，第（2 2）問利用零點(diǎn)的存在性定理）問利用零點(diǎn)的存在性定理 或利用兩圖象的交點(diǎn)來求解或利用兩圖象的交點(diǎn)來求解. . 思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 （1 1）方法一方法一f f（1 1）=1=12 2-3-31-18=-2001-18=-2008-18=220，f f(1) (1) f f(8)0(8)log3-1log2 22-1=0,2-1=0, f f(3)=log(3)=log2 25-3log5-3log2 28-3=0,8-3=0,f f（1 1） f f（3 3）00=10，

8、f f（-1-1）f f（0 0）00),0), 則則y y= =f f( (x x) ) （ ） A.A.在區(qū)間在區(qū)間 (1,e)(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)內(nèi)均有零點(diǎn) B.B.在區(qū)間在區(qū)間 (1,e)(1,e)內(nèi)均無零點(diǎn)內(nèi)均無零點(diǎn) C.C.在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,e)(1,e)內(nèi)無零點(diǎn)內(nèi)無零點(diǎn) D.D.在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)無零點(diǎn)內(nèi)無零點(diǎn), ,在區(qū)間在區(qū)間(1,e)(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn) xxxfln31)(),1 ,e1(),1 ,e1() 1 ,e1() 1 ,e1(解析解析 因?yàn)橐驗(yàn)橐虼艘虼薴 f( (x x) )在在 內(nèi)無零點(diǎn)內(nèi)無零點(diǎn). .因此因此f f( (x

9、x) )在在(1(1，e)e)內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn). .答案答案 D D ) 1 ,e1(, 0) 1e31(31) 1ln31()e1lne131() 1 ()e1(ff. 093ee)lne31() 1ln131(e) 1 ( ff又題型三題型三 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷4.4.函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=3)=3axax-2-2a a+1+1在在-1-1，1 1上存在一個(gè)零點(diǎn)，上存在一個(gè)零點(diǎn)， 則則a a的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A. B.A. B.a a11 C. D. C. D. 解析解析 f f( (x x)=3)=3axax-2-2a a+1+1在在-1-1，1

10、1上存在一個(gè)零點(diǎn)，上存在一個(gè)零點(diǎn)， 則則f f(-1)(-1)f f(1)0,(1)0,即即51a511a151aa或. 151aa或D5、求函數(shù)求函數(shù)y y=ln=ln x x+2+2x x-6-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). . 該問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)該問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y y=ln=ln x x與與y y=6-2=6-2x x的的 圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù), ,因此只需畫出圖因此只需畫出圖, ,數(shù)形結(jié)合即可數(shù)形結(jié)合即可. . 思維啟迪思維啟迪解解 在同一坐標(biāo)系畫出在同一坐標(biāo)系畫出y y=ln=ln x x與與y y=6-2=6-2x x的圖象，由的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)圖可知兩圖象只有

11、一個(gè)交點(diǎn), ,故函數(shù)故函數(shù)y y=ln=ln x x+2+2x x-6-6只有一個(gè)只有一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn). . 若采用基本作圖法，畫出函數(shù)若采用基本作圖法，畫出函數(shù)y y=ln=ln x x+ + 2 2x x-6-6的圖象求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象求零點(diǎn)個(gè)數(shù), ,則太冗長則太冗長. .構(gòu)造新函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)y y=ln=ln x x 與與y y=6-2=6-2x x, ,用數(shù)形結(jié)合法求交點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合法求交點(diǎn), ,則簡潔明快則簡潔明快. .探究提高探究提高6.方程方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的個(gè)數(shù)是的解的個(gè)數(shù)是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 aR+，a2+11. 而而y=|x2

12、-2x|的圖象如圖，的圖象如圖，y=|x2-2x|的圖象與的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).方程有兩解方程有兩解. 解析解析 ff（x x）=x=x3 3+bx+c +bx+c （b0b0），），f(xf(x)=3x)=3x2 2+b0,f+b0,f（x x）在）在-1,1-1,1上為增函數(shù)上為增函數(shù), , 又又 ff（x x）在）在 內(nèi)存在唯一零點(diǎn)內(nèi)存在唯一零點(diǎn). . , 0)21()21(ff)21,21(, 0)21()21(ff7.設(shè)設(shè)f(x)=x3+bx+c (b0)(-1x1),則方程則方程f(x)=0在在-1,1內(nèi)內(nèi)( ) A.可能有可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根個(gè)實(shí)數(shù)

13、根 B.可能有可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根個(gè)實(shí)數(shù)根 C.有唯一的實(shí)數(shù)根有唯一的實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根8.已知已知y=x(x-1)(x+1)的圖象如圖所示的圖象如圖所示,今考慮今考慮f(x)= x(x-1)(x+1)+0.01,則方程則方程f(x)=0 有三個(gè)實(shí)根；有三個(gè)實(shí)根； 當(dāng)當(dāng)x-1時(shí)時(shí),恰有一實(shí)根恰有一實(shí)根(有一有一 實(shí)根且僅有一實(shí)根實(shí)根且僅有一實(shí)根); 當(dāng)當(dāng)-1x0時(shí)，恰有一實(shí)根；時(shí)，恰有一實(shí)根； 當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)，恰有一實(shí)根時(shí)，恰有一實(shí)根. 則正確結(jié)論的編號為則正確結(jié)論的編號為_. 題型四題型四 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)應(yīng)用9.9.若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x)=)=x x2

14、2- -axax- -b b的兩個(gè)零點(diǎn)是的兩個(gè)零點(diǎn)是2 2和和3 3，則函數(shù)，則函數(shù) g g( (x x)=)=bxbx2 2- -axax-1-1的零點(diǎn)是的零點(diǎn)是_._. 解析解析 g g（x x）=-6=-6x x2 2-5-5x x-1-1的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為 .65, 033, 02222bababa得由.31,2131,2110.10.若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +b b的兩個(gè)零點(diǎn)是的兩個(gè)零點(diǎn)是-2-2和和3,3,則不等式則不等式 af af(-2(-2x x)0)0的解集是的解集是_._. 解析解析 f f（x x）= =x x2 2+ +axa

15、x+ +b b的兩個(gè)零點(diǎn)是的兩個(gè)零點(diǎn)是-2-2，3. 3. -2 -2，3 3是方程是方程x x2 2+ +axax+ +b b=0=0的兩根，的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系知由根與系數(shù)的關(guān)系知 f f( (x x)=)=x x2 2- -x x-6.-6.不等式不等式af af(-2(-2x x)0)0， 即即-(4-(4x x2 2+2+2x x-6)0-6)0 2 2x x2 2+ +x x-30,-30,=10,則應(yīng)有則應(yīng)有f f(2)0,(2)0, 又又f f（2 2）=2=22 2+ +（m m-1-1）2+1,2+1, m m .23若若f f( (x x)=0)=0在區(qū)間在區(qū)間0,

16、20,2上有兩解上有兩解, ,則則由由可知可知m m-1. -1. , 123,231313.012) 1(41304) 1(,0)2(221002mmmmmmmmfm或12.12.已知已知a a是實(shí)數(shù)，函數(shù)是實(shí)數(shù)，函數(shù)f f( (x x)=2)=2axax2 2+2+2x x-3-3-a a. .如果函數(shù)如果函數(shù) y y= =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間-1-1，1 1上有唯一的零點(diǎn)上有唯一的零點(diǎn), ,求求a a的取值范圍的取值范圍. . 解解 （1 1）當(dāng)）當(dāng)a a=0=0時(shí)，時(shí)，f f( (x x)=2)=2x x-3.-3. 令令2 2x x-3=0,-3=0,得得x x= =

17、 -1-1，1 1 f f（x x）在）在-1-1，1 1上無零點(diǎn)，故上無零點(diǎn)，故a a0. 0. （2 2）當(dāng)）當(dāng)a a00時(shí)，時(shí)，f f( (x x)=2)=2axax2 2+2+2x x- - 3- 3-a a的對稱軸為的對稱軸為 23.21ax 當(dāng)當(dāng) -1,-1,即即00a a 時(shí)，時(shí)，須使須使a a的解集為的解集為 . .當(dāng)當(dāng)-1 0,-1 時(shí)，時(shí)，須使須使解得解得a a1,1,a a的取值范圍是的取值范圍是1 1，+). +). a2121a2121.150) 1 (0) 1( aaff即即.103210) 1 (0)21( aaafaf即即當(dāng)當(dāng) 1,1,即即 a a00時(shí)，時(shí)，須

18、有須有a a的解集為的解集為 . .綜上所述，綜上所述，a a的取值范圍是的取值范圍是a212115,0) 1 (0) 1(aaff即)., 1 273,(題型六題型六 函數(shù)零點(diǎn)的近似問題及二分法函數(shù)零點(diǎn)的近似問題及二分法13.13.函數(shù)圖象與函數(shù)圖象與x x軸均有公共點(diǎn)，但不能用二分法求公軸均有公共點(diǎn)，但不能用二分法求公 共點(diǎn)橫坐標(biāo)的是共點(diǎn)橫坐標(biāo)的是 （ ） 解析解析 圖圖B B不存在包含公共點(diǎn)的閉區(qū)間不存在包含公共點(diǎn)的閉區(qū)間a a，b b使函使函 數(shù)數(shù)f f（a a）f f（b b）0. 0).0). (1) (1)若若g g( (x x)=)=m m有零點(diǎn)，求有零點(diǎn)，求m m的取值范圍；

19、的取值范圍； (2)(2)確定確定m m的取值范圍，使得的取值范圍，使得g g( (x x)-)-f f( (x x)=0)=0有兩個(gè)有兩個(gè) 相異實(shí)根相異實(shí)根. . （1 1）可結(jié)合圖象也可解方程求之）可結(jié)合圖象也可解方程求之. .（2 2）利用圖象求解）利用圖象求解. .思維啟迪思維啟迪x2e解解 （1 1）方法一方法一 等號成立的條件是等號成立的條件是x x=e.=e.故故g g( (x x) )的值域是的值域是2e2e，+)+)， 4 4分分因而只需因而只需m m2e2e，則，則 g g( (x x)=)=m m就就有零點(diǎn)有零點(diǎn). 6. 6分分方法二方法二 作出作出 的圖象如圖：的圖象如圖： 4 4分分 可知若使可知若使g g( (x x)=)=m m有零點(diǎn)，則只需有零點(diǎn)，則只需m m2e. 62e. 6分分e,2e2e)(22xxxgxxxg2e)(方法三方法三 解方程由解方程由g g（x x）= =m m，得，得x x2 2- -mxmx+e+e2 2=0. =0. 此方程有大于零的根，此方程有大于零的