上海大學(xué)數(shù)學(xué)分析歷年考研真題

1、上海大學(xué)2000年度研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析1、 設(shè)，若，證明：（1）當(dāng)為有限數(shù)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，.2、設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)（端點(diǎn)分別指左、右導(dǎo)數(shù)），且證明：3、 證明：黎曼函數(shù).4、 證明：其中在上連續(xù).5、 設(shè)，討論級(jí)數(shù)的收斂性.6、 設(shè)收斂且在上單調(diào)，證明：.7、 計(jì)算曲面包含在曲面內(nèi)的那部分的面積.8、 將函數(shù)在上展成級(jí)數(shù),并計(jì)算級(jí)數(shù)的值.上海大學(xué)2001年度研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析1、 計(jì)算下列極限、導(dǎo)數(shù)和積分:(1) 計(jì)算極限(2) 計(jì)算的導(dǎo)數(shù),其中(3) 已知,求積分.(4) 計(jì)算的導(dǎo)數(shù)(只需寫出的積分表達(dá)式).2、 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，若且，試證明必存在使得.3、 令(1)、

2、證明:(2)、證明:對(duì)任意的,方程在中存在唯一的解.(3)、計(jì)算和.4、一致連續(xù)和一致收斂性 (1)、函數(shù)在上是一致連續(xù)的,對(duì),試確定,使得當(dāng),且時(shí)有. (2)、設(shè)證明: 在上是內(nèi)閉一致收斂的, 但不是一致收斂的.5、曲線積分、格林公式和原函數(shù). (1)計(jì)算第二型曲線積分其中L是逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線,原點(diǎn)屬于L圍成的內(nèi)部區(qū)域,(L)的定向是逆時(shí)針方向. (2) 設(shè),除原點(diǎn)外是連續(xù)的,且有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若<a><b>其中(L)的參數(shù)方程證明：存在連續(xù)可微函數(shù)，使得 .上海大學(xué)2002年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析1、 求和使得當(dāng)時(shí)，無窮小量等價(jià)于無窮小量.2、 求橢圓所圍成

3、的面積,其中均為常數(shù).3、 試給出三角級(jí)數(shù)中系數(shù)的計(jì)算公式(不必求出具體值),使得該級(jí)數(shù)在上一致收斂到,并說明理論依據(jù)。4、 證明：函數(shù)在上一致連續(xù)5、 設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：.6、 證明:當(dāng)時(shí),有不等式7、 設(shè)在上連續(xù),并且一對(duì)一,(即當(dāng)且時(shí)有),證明: 在上嚴(yán)格單調(diào).上海大學(xué)2003年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析1、 證明與計(jì)算：（1）對(duì)于任意的，證明：存在，并求之. （2）設(shè),證明: 存在并求之.2、 判斷下列結(jié)論是否正確,正確的請(qǐng)證明,錯(cuò)誤的請(qǐng)舉出反例. （3）存在級(jí)數(shù),使得當(dāng)時(shí), 不趨于0,但收斂. （4）是收斂的. (5) (此題只需指明理論依據(jù))3、 計(jì)算(6) 其中S為曲面

4、: 的上側(cè). (7)將把在上展成級(jí)數(shù),并由此計(jì)算.4、 證明:(8)設(shè)函數(shù)證明:它在上連續(xù)且有偏導(dǎo)數(shù)但是在不可微.(9)設(shè)函數(shù)在上黎曼可積,證明: 在上也是黎曼可積.(10)當(dāng)時(shí),證明: .(11)設(shè)在上連續(xù),其中,證明: (12)設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),證明:曲面上各點(diǎn)的切平面都交于一點(diǎn),并求出交點(diǎn)坐標(biāo)(13)設(shè)閉曲線L: ,其中均為常數(shù).記和分別表示曲線的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),證明: .(14)如果函數(shù)列在上一致收斂,證明: 在上一致有界,即:存在使得對(duì)成立.(此題好象缺少條件)進(jìn)一步問,如果函數(shù)列在上點(diǎn)點(diǎn)收斂,結(jié)論是否成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論.(15) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 絕對(duì)收斂,證明:上海大學(xué)20

5、04年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析1、 判斷數(shù)列是否收斂,其中證明你的結(jié)論.2、 在區(qū)間上隨機(jī)地選取無窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,請(qǐng)運(yùn)用區(qū)間套定理或有限覆蓋定理證明該數(shù)列必有收斂子列.3、 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), ,證明方程在上一定有根.4、 證明:達(dá)布定理:設(shè)在上可微, ,如果則在之間存在一點(diǎn),使得.5、 給出有界函數(shù)在閉區(qū)間上黎曼可積的定義,并舉出一個(gè)有界但是不可積的函數(shù)的例子,并證明你給的函數(shù)不是黎曼可積的. 6、 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),如果積分對(duì)于所有具有連續(xù)一 階導(dǎo)數(shù)并且的函數(shù)都成立，證明：. 7、判別廣義積分的收斂性和絕對(duì)收斂性，證明你的結(jié)論. 8、證明： 9、計(jì)算：. 10、試將函數(shù)在上展開成余

6、弦級(jí)數(shù)，并由此計(jì)算: 11、函數(shù)列，在上連續(xù)，且對(duì)任意的，問是否也在上連續(xù)，證明你的結(jié)論. 12、設(shè)函數(shù)請(qǐng)?jiān)谄矫嫔厦恳稽c(diǎn)指出函數(shù)增加最快的方向，并計(jì)算出函數(shù)在該方向的方向?qū)?shù). 13、求解問題，計(jì)算球體被柱面所截出的那部分體積. 14、曲線積分是否與路徑無關(guān)，其中曲線不過原點(diǎn)，證明你的結(jié)論. 15、設(shè)函數(shù)可微，若，證明：.上海大學(xué)2005年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析1、 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求2、 設(shè)函數(shù)在有二階導(dǎo)數(shù)，在上求證：.3、 若收斂，一定成立嗎？舉例并說明理由.4、 求證：.5、 證明：在上一致收斂，但上不一致收斂.6、 給出在I上一直連續(xù)的定義，并證明在上一致連續(xù).7、 求的值.8、

7、把展成級(jí)數(shù)，并證明：9、 求外側(cè).10、 是橢圓方程，求證：橢圓的長(zhǎng)半軸.其中是方程的最小根.11、 證明:存在，并求之.12、 問在什么范圍內(nèi)，在可導(dǎo)：在什么范圍內(nèi)在 連續(xù).13、 求14、 已知，在上連續(xù)，不變號(hào)，求15、 在I上連續(xù)，求證：在I上一致連續(xù).上海大學(xué)2006年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析計(jì)算1、 求極限2、 求級(jí)數(shù)的和。3、 設(shè)y=y(x)是由方程確定的隱函數(shù)，求y=y(x)的圖形在點(diǎn)（0，1）處的切線方程。4、 求定積分5、 將展開為周期的Fourier級(jí)數(shù)，并由此計(jì)算6、 設(shè)a,b,c是已知的三個(gè)正常數(shù)，求三元函數(shù)f(x,y,z)=ax+by+cz在約束條件下的最大值和最

8、小值。一、 計(jì)算和證明7、 設(shè)8、 設(shè)f(x)在a,b上有定義，且在a,b的每一點(diǎn)都有有限極限（在區(qū)間端點(diǎn)處指單側(cè)極限）。證明f(x)在a,b上有界。9、若f(x)和g(x)在上都一致連續(xù)，能否推斷出f(x)+g(x)和f(x)g(x)在上也一致連續(xù)？請(qǐng)給出根據(jù)。，其中 ，b>a>0二、 證明13設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在（0，1）上可導(dǎo)，且f(1)=0，證明存在 ，使14，并確定此極限值。15、設(shè)點(diǎn)點(diǎn)收斂于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，證明：也必點(diǎn)點(diǎn)收斂于一個(gè)連續(xù)函數(shù).上海大學(xué)2007年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析1、 已知有界函數(shù)且，證明：是否存在，若存在，說明理由，若不存在，舉例說明.2、

9、已知在連續(xù)，且問是否存在使，若存在說明理由.3、 試證明導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)定理：在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)有兩點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值反號(hào)，試證明：使.4、 已知求：且問在零點(diǎn)的的某鄰域內(nèi)是否單調(diào)？證明你的結(jié)論.5、 敘述一致連續(xù)的定義，并問在上是否一致連續(xù)？證明你的結(jié)論.6、 敘述在上黎曼可積的定義，并問某在上可積，是否成立.7、 已知雙曲線，在雙曲線上任取一點(diǎn)，向雙曲線的兩條漸近線做垂線，使求這兩條垂線與漸近線所圍成圖形的面積.8、 計(jì)算：（可以用分?jǐn)?shù)表示），結(jié)果精確到.9、 若收斂，.問是否收斂，若收斂證明你的結(jié)論，若發(fā)散，舉出例子.10、 試敘述一致收斂的定義，并證明：在上不一致收斂，但在一致收斂.11、 （內(nèi)道積分

10、等于外道積分）內(nèi)容不詳12、 不詳13、 已知若存在；且等于.求及的值.14、 若曲面及平面：?jiǎn)柷嫔鲜欠翊嬖谝稽c(diǎn)，使得曲面過此點(diǎn)的法線與平面垂直，若存在求出此法線及此點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.15、 試問是否收斂，若收斂，求其值.上海大學(xué)2009年度研究生入學(xué)考試題數(shù)學(xué)分析1. 2.敘述一致連續(xù)定義。問是否是周期函數(shù)？證之3. 在可導(dǎo)，證存在且極限小于45.6. 在可積. ，為恒正或者恒負(fù)。證之7. 8. 在單減連續(xù)可微，9. 證明： 在非一致收斂，但上一致收斂，其中在上連續(xù)且10證明：11a<b, , 在上連續(xù)，若，任意成立，讓恒為常數(shù)12. 任取一點(diǎn)做切平面，求該切平面截三坐標(biāo)軸所得三線段長(zhǎng)度之和13.中心在原點(diǎn)的的長(zhǎng)半軸是下行列式的最大實(shí)根14.L是從經(jīng)過到的線段， 求：15. 求在上展開成余弦級(jí)數(shù)，并證明2010年上海大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生招生復(fù)試之泛函分析初步試題1、 證明：設(shè)是距離空間，令證明：也是距離空間.2、 敘述距離空間中集合有界、全有界、準(zhǔn)緊、緊的定義，并給出它們之間的關(guān)系.3、 設(shè)，有積分方程運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，證明解的存在唯一性.2010年上海大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生招生復(fù)試之近世代數(shù)試題1、 （