高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題輔導(dǎo)（2）分類討論精品教學(xué)案

1、【專題二】分類討論思想【考情分析】分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它在人的思維發(fā)展中有著重要的作用，因此在近幾年的高考試題中，他都被列為一種重要的思維方法來考察。分類討論是每年高考必考的內(nèi)容，預(yù)測2013年高考對(duì)本專

2、題的考察為：將有一道中檔或中檔偏上的題目，其求解思路直接依賴于分類討論，特別關(guān)注以下方面：涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)底的討論，含參數(shù)的一元二次不等式、等比數(shù)列求和，由求等。【知識(shí)歸納】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。1分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則。有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；如絕對(duì)值|a|的定義分a>0、

3、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。再有：直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類；（2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。再有，圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等；（3）由實(shí)際意義分類。如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用問題也需分類討論；（4）數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題

4、策略來解決的。在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論。2分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏 ，包含各種情況，同時(shí)要有利于問題研究；3分類原則：（1）對(duì)所討論的全域分類要“即不重復(fù)，也不遺漏”（2）在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行（3）對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)；4分類方法：（1）概念和性質(zhì)是分類的依據(jù)（2）按區(qū)域（定義域或值域）進(jìn)行分類是基本方法（3）不定因素（條件或結(jié)論不唯一，數(shù)值大小的不確定，圖形位置的不確定）是分類的

5、突破口（4）二分發(fā)是分類討論的利器（4）層次分明是分類討論的基本要求；5討論的基本步驟：(1)明確討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論；(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類(分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一、分層不越級(jí))；(3)逐類討論：即對(duì)各類問題詳細(xì)討論，逐步解決。(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納；6簡化和避免分類討論的優(yōu)化策略：（1）直接回避。如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等方法有時(shí)可以避開煩瑣討論；（2）變更主元。如分離參數(shù)、變參置換，構(gòu)造以討論對(duì)象為變量的函數(shù)得便感形式解題時(shí)可避開討論；（3）合理運(yùn)算。如利用函數(shù)奇偶性、變量的對(duì)稱輪換以及公式的合理選用等有時(shí)可以簡化甚至避開討論；（4）

6、數(shù)形結(jié)合。利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對(duì)稱特點(diǎn)有時(shí)可以簡化甚至避開討論?！究键c(diǎn)例析】題型1：集合中分類討論問題例1（2012高考真題全國卷理2）已知集合A1.3. ，B1，m ,ABA, 則m=（ ）A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 解析：B；因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.點(diǎn)評(píng)：該題結(jié)合集合的運(yùn)算考查了分類討論思想，分類的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合集合的性質(zhì)：無序性、互異性、確定性。例2（2012高考真題新課標(biāo)理1）已知集合；則中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ） 解析：D；要使,當(dāng)時(shí)，可是1，2，3，4.當(dāng)時(shí)，可是1，2，3.當(dāng)時(shí)，可是1，2.當(dāng)時(shí)

7、，可是1，綜上共有10個(gè)，選D.點(diǎn)評(píng)：把握含參數(shù)問題參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)最為關(guān)鍵，像三角形的分類帶來的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的分類是解題的關(guān)鍵。題型2：函數(shù)、方程中分類討論問題例3（2012高考真題四川理5）函數(shù)的圖象可能是（ ）解析：D；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故A不正確；因?yàn)楹悴贿^點(diǎn)，所以B不正確；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，故C不正確 ；D正確.點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的函數(shù)的綜合問題（本例是函數(shù)圖像）歷來就是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。求解此類問題的關(guān)鍵一點(diǎn)就是緊扣對(duì)稱軸，依此來展開有條理性的分類討論。例4（2012高考真題安徽理19）設(shè)。（I）求在上的最小值；（II）設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為；求的值。解析：（I）設(shè)；則，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

8、得：當(dāng)時(shí)，的最小值為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。（II），由題意得：。點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基本方法，考查分類討論思想，代數(shù)恒等變形能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力。題型3：解析幾何中的分類討論問題例5（2011山東理22）（山東理22） 已知?jiǎng)又本€與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以因?yàn)樵跈E圓上，因此

9、又因?yàn)樗杂伞⒌么藭r(shí) （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（I）知因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因?yàn)?所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過

10、原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G。點(diǎn)評(píng)：處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，待定直線方程需要考慮斜率不存在這種情況，分類討論。例6已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（0）。求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線。 解析：如圖，設(shè)直線MN切圓O于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|(其中>0) ，圓半徑|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，整理得：，經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P，故這個(gè)方程為所求的軌跡方程。當(dāng)=1時(shí)，

11、方程化為 ，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)；當(dāng)1時(shí)，方程化為，它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為 ，半徑為。點(diǎn)評(píng)：本題在求出軌跡方程之后，在判定為何曲線時(shí)，因參數(shù)引起了分類討論：一些問題中的數(shù)學(xué)表達(dá)式中因含有會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)論的參數(shù)，從而需對(duì)參數(shù)分情況討論，求得問題的結(jié)果。題型4：不等式中分類討論問題例7解不等式>0 (a為常數(shù)，a)分析：含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a>0、a0、<a<0、a<分別加以討論。解析：2a1>0時(shí)，a>； 4a<6a時(shí)，a>0 。所以分以下四種情況討論：

12、當(dāng)a>0時(shí)，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6a；當(dāng)a0時(shí)，x>0，解得：x0；當(dāng)<a<0時(shí)，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；當(dāng)a>時(shí)，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<4a或x>6a；當(dāng)a0時(shí)，x0；當(dāng)<a<0時(shí)，x<6a或x>4a；當(dāng)a>時(shí)，6a<x<4a 。點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的

13、意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。例8 解析： ， ， ，； ， ； ； ； 綜上所述，得原不等式的解集為：；。點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對(duì)于（2），不等式易解；對(duì)于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后，又會(huì)遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時(shí)，需要作三級(jí)分類。題型5：數(shù)列中分類討論問題例9（2012高考真題湖北理18）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（

14、）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或。（）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上， 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的含參問題是一個(gè)需要牢記的分類推理過程，書寫格式相對(duì)嚴(yán)格、規(guī)范。例10（2010四川理數(shù)）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對(duì)任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)qn1(

15、q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn。解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)當(dāng)nN *時(shí)，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差為8的等差數(shù)列(3)由(1)(2)解答可知bn是首項(xiàng)為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.當(dāng)q1時(shí)，Sn2462nn(n1)當(dāng)q1時(shí)，Sn2·q04&#

16、183;q16·q22n·qn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2·q14·q26·q32n·qn.上述兩式相減得:(1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn2·2nqn2·，所以Sn2·綜上所述，Sn。點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列的求和公式只適合于，特別公比中含參數(shù)時(shí)，需要分類討論。題型6：三角函數(shù)與三角形中分類討論問題例11解析：， ； ；這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。， ，因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時(shí)，是一解還是兩解？這一點(diǎn)需經(jīng)過討論才能確

17、定，故解本題時(shí)要分類討論。對(duì)角A進(jìn)行分類。例12（2012高考真題新課標(biāo)理9）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（ ） 解析：A；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有恒成立；則，即，所以，當(dāng)時(shí)，又，所以有，解得，即，選A.點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)的三角函數(shù)問題，也需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。題型7：實(shí)際問題中分類討論問題例13某城市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+排污費(fèi)，若每月水量不超過最低限量am3時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每定額排污費(fèi)c元；若用水量超過am3時(shí)，除了付給同上的基本費(fèi)和排污費(fèi)外，超過部分每方米付b元的超額費(fèi)已知每戶每月的排污費(fèi)不超過4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如

18、下表所示：月份用水量（m3）水費(fèi)（元）1892151931315解析：設(shè)每月用水量為xm3，支付費(fèi)用為y元， 則 由題意知0c4，8+c12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，將 分別代入 中，得  再分析1月份用水量是否超過最低限量am3 。不妨設(shè)8a，將中得9=8+2（8a）+c，得2a=c+15 ，顯然、矛盾，1月份用水量不超過最低限量。 又y=8+c ，9=8+c,c=1，a=10,b=2,c=1。點(diǎn)評(píng)：本題為實(shí)際應(yīng)用問題，在解題過程中，隱含著分類討論：a>8,a=8,a<8，根據(jù)條件，逐一討論，使問題得以解

19、決【方法技巧】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題策略，它可以將整體化為局部，將復(fù)雜問題化為單一問題，以便于“各個(gè)擊破”。但由于分類討論一般過程較為冗長，敘述較為煩瑣，且極易在完備上造成失誤，因此它并非一定是解決問題的上策或良策，我們提倡在熟悉和掌握分類思想的同時(shí)，要注意克服思維定勢(shì)，處理好“分”與“合”，“局部”與“整體”之間的辨證統(tǒng)一關(guān)系，充分挖掘求解問題中潛在的特殊性與簡單性，盡可能地簡化或避免分類討論。下面結(jié)合一些實(shí)例，談?wù)労喕诸愑懻摰某Ｓ貌呗?。消去參?shù)、整體換元、反客為主、補(bǔ)集分析、整體變形、借助圖解。 1對(duì)于分類討論題不要急于直接進(jìn)行分類討論，首先應(yīng)認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)

20、，考慮是否可以你用合適的公式、法則，能否進(jìn)行某中變形，可否改變常規(guī)的思維方式和解題策略，即能否消除或掩蓋“討論基因”，若能，則可以避免進(jìn)行繁雜的分類討論；若不能，可否先作某些等價(jià)變換，使討論推遲得來，這種延遲討論有時(shí)也是一種簡化和一種進(jìn)步。當(dāng)然，有些問題，你通過了一番試驗(yàn)，仍無法作到完全回避討論或延遲討論，這可能是“不可避免的直接討論型”問題，這是我們就應(yīng)遵循分類討論的原則去攻克它。2實(shí)際應(yīng)用題（排列組合）中分類討論往往帶有隱蔽性，理解題意，抓住限制條件，準(zhǔn)確把握分類對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)是解決問題的關(guān)鍵。如果發(fā)現(xiàn)多種分類途徑，則應(yīng)加強(qiáng)比較，從中選擇最為合理的分類途徑。3分類的原則是不重復(fù)不遺漏，即將討論

21、的對(duì)象分為若干類時(shí)，其并集為全集，兩兩的交集為空集。4分類對(duì)象，即使問題變換不定的變動(dòng)因素；分類的標(biāo)準(zhǔn)，即使變換不定的問題轉(zhuǎn)化為相對(duì)穩(wěn)定問題的分類界值，分類對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，應(yīng)通過識(shí)別問題情景來完成。5應(yīng)該注意的是，在運(yùn)用時(shí)，不要盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論，有的題目雖然含有分類因素，但不要急于分類討論，要首先對(duì)問題作深入的研究，充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關(guān)系，尋求正確的解題策略，則可以簡化分類討論的步驟或避免不必要的分類討論，使解題更簡單?！緦ｎ}訓(xùn)練】一、填空題1不等式(a2)x22(a2)x4<0對(duì)于xR恒成立，那么a的取值范圍是_2過雙曲線2x2y22的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若AB4，則這樣的直線有_條3設(shè)集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，則由實(shí)數(shù)k組成的集合中所有元素的和與積分別為_4在ABC中，已知A30°，a8，b8，則SABC_.5設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2xy0,2xy0，則雙曲線的離心率是_6正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為_7設(shè)常數(shù)a>0，橢圓x2a2a2y20的長軸長是短軸長的2倍，則a_.8已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3，S3，則a1的值為_9若函數(shù)ymx2x5在2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_10函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)