上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷Word版含解析

1、2021-2021學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上期中數(shù)學(xué)試卷1集合1，2，3，2021，2021的子集個(gè)數(shù)為2全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，那么UAB=3集合A=x|1x2，集合B=x|xa，假設(shè)AB，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是4己知集合U=a，b，c，d，e，f，集合A=a，b，c，d，AB=b，UAB=f，求集合B5a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，記A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，那么按A、B、C從小到大的順序排列是6RtABC的周長為定值2，那么它的面積最大值為7我們將ba稱為集合M=x|axb的“長度，假設(shè)集合M=x|mxm+，N

2、=x|xn，且集合M和集合N都是集合x|0x1的子集，那么集合MN的“長度的最小值是8A=x|x，B=x|xx3x+30，那么AB=9對于任意集合X與Y，定義：XY=x|xX且xY，XY=XYYX，A=y|y=x2，xR，B=y|2y2，那么AB=10常數(shù)a是正整數(shù)，集合A=x|xa|a+，xZ，B=x|x|2a，xZ，那么集合AB中所有元素之和為11非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：1對任意a，bG，都有a+bG；2存在eG使得對于一切aG都有ae=ea=a，那么稱G是關(guān)于運(yùn)算的融洽集，現(xiàn)有以下集合與運(yùn)算：G是非負(fù)整數(shù)集，：實(shí)數(shù)的加法；G是偶數(shù)集，：實(shí)數(shù)的乘法；G是所有二次三項(xiàng)式構(gòu)成的集合，：多項(xiàng)式的

3、乘法；G=x|x=a+b，a，bQ，：實(shí)數(shù)的乘法；其中屬于融洽集的是請?zhí)顚懢幪?hào)12集合A=x，y|y=a|x|，xR，B=x，y|y=x+a，xR，集合AB中有且僅有一個(gè)元素，那么常數(shù)a的取值范圍是13集合A=1，2，3，2105，2021，集合B=x|x=3k+1，kZ，那么AB中的最大元素是A2021B2021C2021D以上答案都不對14全集U=AB中有m個(gè)元素，UAUB中有n個(gè)元素假設(shè)AB非空，那么AB的元素個(gè)數(shù)為AmnBm+nCnmDmn15命題“x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0的逆否命題是Ax，yR，如果x2+y20，那么x0且y0Bx，yR，如果x2+y20，那么

4、x0或y0Cx，yR，如果x0或y0，那么x2+y20Dx，yR，如果x0且y0，那么x2+y2016對任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出以下命題：“a=b是“ac=bc的充要條件；“a+5是無理數(shù)是“a是無理數(shù)的充要條件；“ab是“a2b2的充分條件；“a4是“a3的必要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)是A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)17集合A=1，2，3，B=x|x2a+1x+a=0，xR，假設(shè)AB=A，求實(shí)數(shù)a18a，b，cR+，求證：2a3+b3+c3ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c19設(shè)正有理數(shù)a1是的一個(gè)近似值，令a2=1+，求證：1介于a1與a2之間；2a2比a1更接近于20對任意實(shí)數(shù)x，不

5、等式mx23mx+10成立或不等式mx0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍21關(guān)于x的不等式4kxk212k92x110，其中kR；1試求不等式的解集A；2對于不等式的解集A，記B=AZ其中Z為整數(shù)集，假設(shè)集合B為有限集，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少，并用列舉法表示集合B2021-2021學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析12021秋楊浦區(qū)校級期中集合1，2，3，2021，2021的子集個(gè)數(shù)為22021【考點(diǎn)】子集與真子集【專題】集合思想；集合【分析】對于有限集合，我們有以下結(jié)論：假設(shè)一個(gè)集合中有n個(gè)元素，那么它有2n個(gè)子集【解答】解：集合1，2，3，2021，2

6、021中有2021個(gè)元素，集合M1，2，3，2021，2021的子集的個(gè)數(shù)為22021；故答案為：22021【點(diǎn)評】此題考查了集合的子集個(gè)數(shù)，假設(shè)一個(gè)集合中有n個(gè)元素，那么它有2n個(gè)子集，有2n1個(gè)真子集，屬于根底題22021秋楊浦區(qū)校級期中全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，那么UAB=x|1x2【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】集合思想；定義法；集合【分析】根據(jù)并集與補(bǔ)集的定義，進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，所以AB=x|x1或x2，所以UAB=x|1x2故答案為：x|1x2【點(diǎn)評】此題考查了并集與補(bǔ)集的定義與應(yīng)用問題，是根底題目3

7、2021秋楊浦區(qū)校級期中集合A=x|1x2，集合B=x|xa，假設(shè)AB，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，+【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合【分析】題中條件：“AB，表示兩個(gè)集合的交集的結(jié)果不是空集，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：集合A=x|1x2，集合B=x|xa，因?yàn)锳B，所以a1故答案為：1，+【點(diǎn)評】此題考查集合的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，是根底題42021秋楊浦區(qū)校級期中己知集合U=a，b，c，d，e，f，集合A=a，b，c，d，AB=b，UAB=f，求集合B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】集合思想；綜合法；集合【分析】根據(jù)全集U，以及A

8、與B并集的補(bǔ)集確定出A與B的并集，再根據(jù)A與B的交集及A，確定出B即可【解答】解：U=a，b，c，d，e，f，UAB=f，AB=a，b，c，d，e，AB=b；A=a，b，c，d，bB，eB，bB，cB，dB，B=b，e【點(diǎn)評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解此題的關(guān)鍵52021秋楊浦區(qū)校級期中a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，記A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，那么按A、B、C從小到大的順序排列是BCA【考點(diǎn)】不等式比擬大小【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式【分析】不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，分別求出A，B，比擬即

9、可【解答】解：a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，A=a1b1+a2b2=+=，B=a1b2+a2b1=+=，C=BCA故答案為：BCA【點(diǎn)評】此題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法比擬幾個(gè)式子在限定條件下的大小關(guān)系，是一種簡單有效的方法，屬于根底題62021秋楊浦區(qū)校級期中RtABC的周長為定值2，那么它的面積最大值為32【考點(diǎn)】正弦定理【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；不等式的解法及應(yīng)用【分析】設(shè)直角邊長為a，b，那么斜邊長為，利用直角三角形ABC的三邊之和為2，可得a+b+=2，利用根本不等式，即可求ABC的面積的

10、最大值【解答】解：設(shè)直角邊長為a，b，那么斜邊長為，直角三角形ABC的三邊之和為2，a+b+=2，22+，=2，ab64，S=ba32，ABC的面積的最大值為32故答案為：32【點(diǎn)評】此題考查根本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用根本不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題72021秋楊浦區(qū)校級期中我們將ba稱為集合M=x|axb的“長度，假設(shè)集合M=x|mxm+，N=x|xn，且集合M和集合N都是集合x|0x1的子集，那么集合MN的“長度的最小值是【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；新定義；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合【分析】當(dāng)集合MN的長度的最小值時(shí)，M與N應(yīng)分別在區(qū)間0，1的左右兩端，由此能求出MN的

11、長度的最小值【解答】解：根據(jù)題意，M的長度為，N的長度為，當(dāng)集合MN的長度的最小值時(shí)，M與N應(yīng)分別在區(qū)間0，1的左右兩端，故MN的長度的最小值是=故答案為：【點(diǎn)評】此題考查交集的“長度的最小值的求法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意新定義的合理運(yùn)用82021秋楊浦區(qū)校級期中A=x|x，B=x|xx3x+30，那么AB=x|3x0【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；集合【分析】先利用不等式的性質(zhì)分別求出集合A和B，由此利用交集的性質(zhì)能求出AB【解答】解：A=x|x=x|2x1，或x0，B=x|xx3x+30=x|3x0或x3，AB=x|3x0故答案為：x|3x0【點(diǎn)評】此題考查

12、交集的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意無理不等式和高次不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用92021秋楊浦區(qū)校級期中對于任意集合X與Y，定義：XY=x|xX且xY，XY=XYYX，A=y|y=x2，xR，B=y|2y2，那么AB=3，03，+【考點(diǎn)】子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換【專題】綜合題；方程思想；演繹法；集合【分析】由A=y|y=x2，xR=y|y0，B=y|2y2，先求出AB=y|y2，BA=y|2y0，再求AB的值【解答】解：A=y|y=x2，xR=y|y0，B=y|2y2，AB=y|y2，BA=y|2y0，AB=y|y2y|2y0，故答案為：3，03，+【點(diǎn)評】此題考查集合的交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算

13、，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意正確理解XY=x|xX且xY、XY=XYYX102021秋楊浦區(qū)校級期中常數(shù)a是正整數(shù)，集合A=x|xa|a+，xZ，B=x|x|2a，xZ，那么集合AB中所有元素之和為2a【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算【專題】集合思想；轉(zhuǎn)化法；集合【分析】分別求出集合A、B中的元素，從而求出A、B的并集，求和即可【解答】解：A=x|xa|a+，xZ=0，a，2a，B=x|x|2a，xZ=a，0，a，那么集合AB=a，0，a，2a，故集合AB中所有元素之和是2a，故答案為：2a【點(diǎn)評】此題考查了集合的運(yùn)算，考查解絕對值不等式問題，是一道根底題112021秋楊浦區(qū)校級期中非空集合G關(guān)于運(yùn)

14、算滿足：1對任意a，bG，都有a+bG；2存在eG使得對于一切aG都有ae=ea=a，那么稱G是關(guān)于運(yùn)算的融洽集，現(xiàn)有以下集合與運(yùn)算：G是非負(fù)整數(shù)集，：實(shí)數(shù)的加法；G是偶數(shù)集，：實(shí)數(shù)的乘法；G是所有二次三項(xiàng)式構(gòu)成的集合，：多項(xiàng)式的乘法；G=x|x=a+b，a，bQ，：實(shí)數(shù)的乘法；其中屬于融洽集的是請?zhí)顚懢幪?hào)【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】新定義；集合思想；集合【分析】逐一驗(yàn)證幾個(gè)選項(xiàng)是否分別滿足“融洽集的兩個(gè)條件，假設(shè)兩個(gè)條件都滿足，是“融洽集，有一個(gè)不滿足，那么不是“融洽集【解答】解：對于任意非負(fù)整數(shù)a，b知道：a+b仍為非負(fù)整數(shù)，所以abG；取e=0，及任意非負(fù)整數(shù)a，那么a+0=0+

15、a=a，因此G對于為整數(shù)的加法運(yùn)算來說是“融洽集；對于任意偶數(shù)a，b知道：a+b仍為偶數(shù)，故有a+bG；但是不存在eG，使對一切aG都有ae=ea=a，故的G不是“融洽集對于G=二次三項(xiàng)式，假設(shè)a、bG時(shí)，a，b的兩個(gè)同類項(xiàng)系數(shù)，那么其積不再為二次三項(xiàng)式，故G不是和諧集，故不正確；G=x|x=a+b，a，bQ，設(shè)x1=a+b，x2=c+d，那么設(shè)x1+x2=a+c+b+d，屬于集合G，取e=1，a1=1a=a，因此G對于實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算來說是“融洽集，故中的G是“融洽集故答案為【點(diǎn)評】此題考查了對新定義“融洽集理解能力，及對有關(guān)知識(shí)的掌握情況關(guān)鍵是看所給的數(shù)集是否滿足“融洽集的兩個(gè)條件12202

16、1秋楊浦區(qū)校級期中集合A=x，y|y=a|x|，xR，B=x，y|y=x+a，xR，集合AB中有且僅有一個(gè)元素，那么常數(shù)a的取值范圍是1，1【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合【分析】由得a|x|=x+a有1個(gè)解，由此能求出常數(shù)a的取值范圍【解答】解：集合A=x，y|y=a|x|，xR，B=x，y|y=x+a，xR，集合AB中有且僅有一個(gè)元素，a|x|=x+a有1個(gè)解，假設(shè)x0，ax=x+a，x=，假設(shè)x0，ax=x+a，x=，由得或或或，解得1a1常數(shù)a的取值范圍是1，1故答案為：1，1【點(diǎn)評】此題考查常數(shù)的取值范圍的求法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是根底題，解題時(shí)要

17、認(rèn)真審題，注意交集性質(zhì)的合理運(yùn)用132021秋楊浦區(qū)校級期中集合A=1，2，3，2105，2021，集合B=x|x=3k+1，kZ，那么AB中的最大元素是A2021B2021C2021D以上答案都不對【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合【分析】由題意求出A與B的交集，即可作出判斷【解答】解：A=1，2，3，2105，2021，集合B=x|x=3k+1，kZ那么AB中的最大元素是2021應(yīng)選：A【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解此題的關(guān)鍵142021江西全集U=AB中有m個(gè)元素，UAUB中有n個(gè)元素假設(shè)AB非空，那么AB的元素個(gè)數(shù)為AmnBm+nCnmD

18、mn【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】要求AB的元素個(gè)數(shù)，可以根據(jù)繪制出滿足條件的韋恩圖，根據(jù)圖來分析如解法一，也可以利用德摩根定理解決如解法二【解答】解法一：CUACUB中有n個(gè)元素，如下圖陰影局部，又U=AB中有m個(gè)元素，故AB中有mn個(gè)元素解法二：CUACUB=CUAB有n個(gè)元素，又全集U=AB中有m個(gè)元素，由cardA+cardCUA=cardU得，cardAB+cardCUAB=cardU得，cardAB=mn，應(yīng)選D【點(diǎn)評】解答此類型題目時(shí)，要求對集合的性質(zhì)及運(yùn)算非常熟悉，除教材上的定義，性質(zhì)，運(yùn)算律外，還應(yīng)熟練掌握：CUACUB=CUABCUACUB=

19、CUABcardAB=cardA+cardBcardAB等152021秋楊浦區(qū)校級期中命題“x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0的逆否命題是Ax，yR，如果x2+y20，那么x0且y0Bx，yR，如果x2+y20，那么x0或y0Cx，yR，如果x0或y0，那么x2+y20Dx，yR，如果x0且y0，那么x2+y20【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系【專題】定義法；簡易邏輯【分析】根據(jù)中原命題，寫出逆否命題，可得答案【解答】解：命題“x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0的逆否命題是“x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20應(yīng)選：C【點(diǎn)評】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，

20、屬于根底題162021秋楊浦區(qū)校級期中對任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出以下命題：“a=b是“ac=bc的充要條件；“a+5是無理數(shù)是“a是無理數(shù)的充要條件；“ab是“a2b2的充分條件；“a4是“a3的必要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)是A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】綜合法；簡易邏輯【分析】逐項(xiàng)判斷即可由ac=bc不能推出a=b；由5是有理數(shù)易判斷；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得；根據(jù)充分必要條件的定義易得【解答】解：由“a=b“可得ac=bc，但當(dāng)ac=bc時(shí)，不能得到a=b，故“a=b是“ac=bc的充分不必要條件，故錯(cuò)誤；因?yàn)?是有理數(shù)，所以當(dāng)a

21、+5是無理數(shù)時(shí)，a必為無理數(shù)，反之也成立，故正確；取a=1，b=2，此時(shí)a2b2，故錯(cuò)誤；當(dāng)a4時(shí)，不能推出a3；當(dāng)a3時(shí)，有a4成立，故“a4是“a3的必要不充分條件，故正確綜上可得正確的命題有2個(gè)應(yīng)選：B【點(diǎn)評】此題考查充分必要條件的判斷，掌握充分必要條件的定義是關(guān)鍵屬于根底題172021秋楊浦區(qū)校級期中集合A=1，2，3，B=x|x2a+1x+a=0，xR，假設(shè)AB=A，求實(shí)數(shù)a【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；分類討論；集合【分析】根據(jù)AB=A，得到BA，然后分B為空集和不是空集討論，A為空集時(shí)，只要二次方程的判別式小于0即可，不是空集時(shí)，分別把1和2代入二次方程求解a的范圍，注意求

22、出a后需要驗(yàn)證【解答】解：由AB=A，得BA假設(shè)B=，那么=a+124a0，解得：a；假設(shè)1B，=a+124a=0，此時(shí)a=1，滿足12a1+a=0，此時(shí)B=1，符合題意；假設(shè)2B，那么222a2+a=0，解得：a=2，此時(shí)A=2，1，滿足題意假設(shè)3B，那么323a3+a=0，解得：a=3，此時(shí)A=3，1，滿足題意綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為：1，2，3【點(diǎn)評】此題考查了并集及其運(yùn)算，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出a值后的驗(yàn)證是解答此題的關(guān)鍵，是根底題182021秋楊浦區(qū)校級期中a，b，cR+，求證：2a3+b3+c3ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c【考點(diǎn)】不等式的證明【專題】證明題；

23、轉(zhuǎn)化思想；演繹法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】作差，因式分解，即可得到結(jié)論【解答】證明：a3+b3a2b+ab2=a2ab+b2ba=aba2b2=ab2a+ba0，b0，a3+b3a2b+ab20a3+b3a2b+ab2同理b3+c3bc2+b2c，a3+c3ac2+a2c，三式相加，可得2a3+b3+c3ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c【點(diǎn)評】此題考查不等式的證明，考查作差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題192021秋楊浦區(qū)校級期中設(shè)正有理數(shù)a1是的一個(gè)近似值，令a2=1+，求證：1介于a1與a2之間；2a2比a1更接近于【考點(diǎn)】二分法求方程的近似解【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；作差法；不等式【分析】1利用作差法，再因式分解，確定其符號(hào)，即可得到結(jié)論；2利用作差法，判斷|a2|a1|0，即可得到結(jié)論【解答】證明：1