多面體外接球、內(nèi)切球的半徑求法

1、多面體外接球、內(nèi)切球得半徑得求法第一部分外接球方法一、公式法例1 個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同9個(gè)球面上，且該六棱柱的體和為二，底面周長為了，則這個(gè)球的休積為8設(shè)正六棱柱的底面邊長為X ,高為k ,則有、g8二正六棱柱的底面圓的半徑F =丄7球心到底面的距離巾二二外接球的半徑R J廠亠二 1. :.V .3小結(jié)-軋題是運(yùn)円公式尺二十用術(shù)球的半徑的，該公式是求球的半徑的獸円公式.方法二、多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4體積為16,則這個(gè)球的表面 和是扎 16龍B. 20tC. 24/rD. 32疔解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為匚

2、 外接球的半徑為尺，則有4,? =16,解得v = 2.A 2R - VFZFTF = ls/6t二R二離*二這個(gè)球的表面積是4療7? =2".選C.小結(jié)本題是運(yùn)用正四陵柱的體苦角線的長茅于其外接球的宜徑粹這一性質(zhì)來求錢的.方法三、補(bǔ)行法例3若三稜錐的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為4i則其外接球的表面積是解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，二把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為 的正方體.于是正方體的外接球就是三棱錐的肺接球.設(shè)其外接球的半徑為R，則有（2町=（同十阿+ （旬=9慶斗故其外接球的表面積S = 曲 =9小結(jié)一般地，若一個(gè)三祓惟的三條便檢兩兩垂宜，且共悅度分別為z b、

3、ct則就 可以將這個(gè)三按維社成一個(gè)長方農(nóng) 于是戔方體釣本對(duì)角線的戈就是該三擁錐的外接球的車 徑.設(shè)其外接球的半衽為R,則有2R二十方：十/ .方法四、尋求軸截面半徑法例4正四棱錐5 - ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為JT ,點(diǎn)5. A.及 6 D都在同一球面上，則此球的體和為解 設(shè)正四棱錐的福面中心為外接球的球心為O,如圖3所示由球的截面的性質(zhì)，可得O0:丄平面月QCQ又S3丄平面乩?CQ,二球心O必在S6所在的直線上的外接圖就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圜的半徑就 是外接球的半徑.在&LSC 中.由 S£ = SC = JI AC =2 , SA: +SC2 =AC

4、9;AJSC是以JC為斜邊的RtA .ACIfT- = 1呈外接圓的半徑，也是外接球的半徑-故F = .23小結(jié)框拇題意，我們可以選擇壷佳角覽找出舍肓正唆鏈蚌爼元畫的外接球的一個(gè)抽截 Sr圓、于是該圜的半徑就是所求的外接球的半徑本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球 半桎的逸塀逸法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截笛園，從而把蟲體幾何問題 特化為平石幾何問題來研究.這釋等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方去位得我們等乳方法五、確定球心位置法例5 在矩ABCD中，= 沿衛(wèi)C將矩ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D ,貝I四面ABCD的外接球的體積為129125C圧解設(shè)拒形對(duì)角線的交點(diǎn)2則由矩形對(duì)角線互相平

5、分，可知 OA = OB = OC = ODr 點(diǎn)0到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)4 B, C. D的 距離相等，即點(diǎn)O為四面體的外接球的掠心，如圖2所示二外接球的 半徑 R OA =二.故 V T J?'丄二才.選 CL236方法六、出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量只就是求解【洌題】：己知在三棱錐A-BCD中，且。丄面ZBC=120 ,C役球心坐怖為0（""）則AOBO CODO .由空間兩點(diǎn)間距離公式知兀：+ y2+z2 =（x-2）2 +t2 + z2+尸十云=十+）:十（z-2）2x: +32 +疋 =（X-1）2 +-石）'+/鋰得V33所Tm平

6、【結(jié)論L空間兩點(diǎn)間距黒公式已PQ - J（H - E）： + Gi J J + （可一可）'方法七、四面體就是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn),根據(jù)勾股定理知，眉設(shè)正四面體的邊長為Q時(shí)+它的外養(yǎng)球半徑為二第二部分內(nèi)切球正方體的內(nèi)切球：設(shè)正方休的棱長為日.求（1）內(nèi)切球半徑.（2）外接球半徑i （3）弓棱相切的球半 徑。（1）截面團(tuán)為正方形EFGH的內(nèi)切圓*得7?=-;2（2）正方體各棱相切的球e球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓O為正方形的外極圓，易得J? a <2（3）正方體的外接球正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如團(tuán)了以對(duì)角面蟲吐作截面圖

7、寫 圓O為矩形AApC的外接圓，易得寫 構(gòu)適直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底 面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的宜角三角形便可得 球半徑.例題.已知底面邊悵為。正三tABC-A的六個(gè)頂點(diǎn)在球2上，又知球Q與此 三棱柱的5個(gè)面都相切，求球Q與球6的體積之比與表面積之比。分析；先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。M：如圖乳由題意得兩球心Q是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱丿赴和它們的A得 R=3raS:S? =5； := 5:b 玖：冬二S/5:l、圓錐得內(nèi)切、外接球問題分析運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì).作岀截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系 解之。解.如圖L所示,設(shè)點(diǎn)0是內(nèi)切球的球心.正四面休疲長為G由圖形的 對(duì)稱性知、點(diǎn)0也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為八外接球半徑為R +在 J&ABrO 中，BO1 = BE +EO1，即 R2 =【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是 重合的，為正四面體高的四等分