蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)41向量的概念及表示ppt課件

1、1了解向量的實(shí)際背景了解向量的實(shí)際背景2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義3理解向量的幾何表示理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義第四知識塊第四知識塊 平面向量平面向量第第1 1課時(shí)課時(shí) 向量的概念及表示、向量的線性運(yùn)算向量的概念及表示、向量的線性運(yùn)算本部分知識是平面向量的基礎(chǔ)知識，考查的知識點(diǎn)主要有

2、向量的有關(guān)概念、本部分知識是平面向量的基礎(chǔ)知識，考查的知識點(diǎn)主要有向量的有關(guān)概念、運(yùn)算法則，向量共線的條件和基本定理，多以填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡單題型運(yùn)算法則，向量共線的條件和基本定理，多以填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡單題型【命題預(yù)測】【命題預(yù)測】【應(yīng)試對策】【應(yīng)試對策】1平面向量內(nèi)容豐富，用途廣泛，可以與高中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識點(diǎn)相結(jié)合，平面向量內(nèi)容豐富，用途廣泛，可以與高中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識點(diǎn)相結(jié)合，高考命題時(shí)非常重視向量的知識與其他知識的綜合應(yīng)用，而且常出常高考命題時(shí)非常重視向量的知識與其他知識的綜合應(yīng)用，而且常出常新由于零向量的方向是任意的，而且規(guī)定零向量平行于任何向量，因新由于零向量的方向是任意

3、的，而且規(guī)定零向量平行于任何向量，因此在向量的共線中，一定要看清是否是此在向量的共線中，一定要看清是否是“非零向量非零向量”與向量與向量a同向的同向的單位向量為單位向量為 ，與向量，與向量a平行的單位向量為平行的單位向量為 .2由向量相等的定義可知，對于一個(gè)向量，只要不改變它的大小與方向，它是由向量相等的定義可知，對于一個(gè)向量，只要不改變它的大小與方向，它是可以任意平移的，因而，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的可以任意平移的，因而，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)運(yùn)用向量加法平行四邊形法則時(shí)，兩向量的起點(diǎn)必須相同，向量加法起點(diǎn)運(yùn)用向量加法平行四邊形法則時(shí)，兩向量的起

4、點(diǎn)必須相同，向量加法的三角形法則要首尾相接，可以推廣到多個(gè)向量相加的情形向量的化簡計(jì)的三角形法則要首尾相接，可以推廣到多個(gè)向量相加的情形向量的化簡計(jì)算中，要充分利用向量的首尾字母算中，要充分利用向量的首尾字母3注意向量共線與直線共線的區(qū)別：平行向量不一定都共線，但是所有的平行注意向量共線與直線共線的區(qū)別：平行向量不一定都共線，但是所有的平行向量都可以平移到同一條直線上；所有共線的向量，方向要么相同要么相反，向量都可以平移到同一條直線上；所有共線的向量，方向要么相同要么相反，所以共線的向量都是平行向量而兩直線共線是指兩直線重合所以共線的向量都是平行向量而兩直線共線是指兩直線重合 判斷或證明判斷或

5、證明A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，只需判斷或證明以三點(diǎn)共線時(shí)，只需判斷或證明以A、B、C三點(diǎn)為起點(diǎn)或三點(diǎn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量終點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量a，b滿足滿足ba即可即可(其中其中為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)) 數(shù)乘向量是刻畫平行向量性質(zhì)的運(yùn)算，通過向量共線的條件可證向量共線以數(shù)乘向量是刻畫平行向量性質(zhì)的運(yùn)算，通過向量共線的條件可證向量共線以及多點(diǎn)共線問題，這是十分重要的技能，要注意兩向量平行與直線平行的區(qū)及多點(diǎn)共線問題，這是十分重要的技能，要注意兩向量平行與直線平行的區(qū)別別,兩向量平行包括兩向量所在直線重合的情況兩向量平行包括兩向量所在直線重合的情況1用向量共線定理可以證明幾何中的三點(diǎn)共線和直線平行問題

6、，但是向量用向量共線定理可以證明幾何中的三點(diǎn)共線和直線平行問題，但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況也就是說，平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況也就是說，要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式ba，再結(jié)合條件或圖形有無公共點(diǎn)證明幾何位置再結(jié)合條件或圖形有無公共點(diǎn)證明幾何位置2用基本向量表示某一向量的技巧用基本向量表示某一向量的技巧觀察各向量的位置；觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果化簡結(jié)果【知識拓展】【知識拓

7、展】1向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念(1)向量：既有向量：既有 又有又有 的量叫做向量，向量的量叫做向量，向量 的大小叫做向量的大小叫做向量的的 (或?；蚰?，記作，記作 .(2)零向量：零向量： 的向量叫做零向量，其方向是的向量叫做零向量，其方向是 的的(3)單位向量：長度等于單位向量：長度等于 的向量叫做單位向量的向量叫做單位向量大小大小方向方向長度長度長度為長度為0任意任意1個(gè)單位長度個(gè)單位長度(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量叫做平行向量平行向量又稱向量叫做平行向量平行向量又稱為為 ，任一組平行向量都可以移到同一直線上，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：規(guī)定：0與

8、任一向量與任一向量 (5)相等向量：長度相等向量：長度 且方向且方向 的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量(6)相反向量：與向量相反向量：與向量a長度長度 且方向且方向 的向量叫做的向量叫做a的相反向量的相反向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量共線向量共線向量一樣一樣相反相反非零非零平行平行相等相等一樣一樣相等相等相反相反2向量的加法和減法向量的加法和減法(1)加法：加法：法則：服從三角形法則，平行四邊形法則法則：服從三角形法則，平行四邊形法則運(yùn)算性質(zhì)：運(yùn)算性質(zhì)：ab (交換律交換律)；(ab)c (結(jié)合律結(jié)合律)；a0 .(2)減法：減法：減法與加法互為逆運(yùn)算；減

9、法與加法互為逆運(yùn)算；法則：服從三角形法則法則：服從三角形法則baa(bc)0aa3實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積(1)長度與方向規(guī)定如下：長度與方向規(guī)定如下：|a| ；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，a與與a的方向相同；當(dāng)?shù)姆较蛳嗤划?dāng) 時(shí)，時(shí)，a與與a的方向相反；的方向相反；當(dāng)當(dāng)0時(shí)，時(shí)，a ，方向任意，方向任意(2)運(yùn)算律：設(shè)運(yùn)算律：設(shè)、R，那么：，那么：(a) ；()a ；(ab) .|a|000()aaaab4向量共線定理向量共線定理向量向量b與與a(a0)共線的充要條件是共線的充要條件是 .有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，使得ba1如下圖，在等腰梯形如下圖，在等腰梯形ABCD中，中，ABCD，E

10、、F分別為分別為AD、BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則圖中與則圖中與 共線的向量有共線的向量有_個(gè)個(gè) 解析：方向相同和方向相反的向量就是共線向量，解析：方向相同和方向相反的向量就是共線向量， 所以所以 均與向量均與向量 共線共線 答案：答案：52如下圖，如下圖，ABC和和ABC是在各邊的是在各邊的 處相交的處相交的兩個(gè)全等的正三角形設(shè)正兩個(gè)全等的正三角形設(shè)正ABC的邊長為的邊長為a，圖中列出了，圖中列出了長度均為長度均為 的若干個(gè)向量，那么的若干個(gè)向量，那么(1)與向量與向量 相等的相等的向量是向量是_；(2)與向量與向量 共線的向量有共線的向量有_ 答案：答案：(1) (2) 已知正方形已知正方形AB

11、CD邊長為邊長為1， 則則abc的模等于的模等于_解析：解析：|abc|cc|2|c|2 2 .答案：答案：234已知一點(diǎn)已知一點(diǎn)O到平行四邊形到平行四邊形ABCD的的3個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別為的向量分別為a、b、c，則向量則向量 等于等于_ 解析：如圖，點(diǎn)解析：如圖，點(diǎn)O到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別為的向量分別為a，b，c.綜合圖形有綜合圖形有 =a+c-b. 答案：答案：a+c-b在在 ABCD中，中， ，M為為BC中點(diǎn)，中點(diǎn)，那么那么 _(用用a、b表示表示)解析：解法一：如圖，解析：解法一：如圖， =解法二：設(shè)解法二：設(shè)AC交交BD于于O，

12、由于，由于N為為AC的的 處分點(diǎn)，則有處分點(diǎn)，則有N為為OC中點(diǎn)，中點(diǎn)， 答案：答案： 5我們把具有大小和方向的量叫做向量，更具體一些，向量可以理解為我們把具有大小和方向的量叫做向量，更具體一些，向量可以理解為“一個(gè)位一個(gè)位移或表達(dá)移或表達(dá)“一個(gè)點(diǎn)相對于另一點(diǎn)的位置的量有些向量不僅有大小和方向，一個(gè)點(diǎn)相對于另一點(diǎn)的位置的量有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點(diǎn)例如，力就是既有大小，又有方向，并且還有作用點(diǎn)的向而且還有作用點(diǎn)例如，力就是既有大小，又有方向，并且還有作用點(diǎn)的向量有些向量只有大小與方向，而無特定的位置例如：位移、速度等通常量有些向量只有大小與方向，而無特定的位置例如：位移、速度等通

13、常將后一種向量叫做自由向量以后無特殊說明，我們所提到的向量，都是自由將后一種向量叫做自由向量以后無特殊說明，我們所提到的向量，都是自由向量，即我們高中階段所研究的向量只有大小、方向兩個(gè)要素，如果兩個(gè)向量向量，即我們高中階段所研究的向量只有大小、方向兩個(gè)要素，如果兩個(gè)向量的大小、方向都相同，則說這兩個(gè)向量相等的大小、方向都相同，則說這兩個(gè)向量相等【例【例1】 給出下列六個(gè)命題：給出下列六個(gè)命題：兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；假設(shè)假設(shè)|a|b|，則，則ab；假設(shè)假設(shè) ，則，則ABCD為平行四邊形為平行四邊形;在在 ABCD中，一定有中，一定有若

14、若mn，np，則，則mp；若若ab，bc，則，則ac.其中不正確的個(gè)數(shù)是其中不正確的個(gè)數(shù)是_思路點(diǎn)撥：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵注意到特殊情況，思路點(diǎn)撥：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可 解析：解析： 兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；不一定有相同的兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，所以起點(diǎn)和終點(diǎn)，所以不正確；不正確； |a|b|，但，但a，b方向不確定，所以方向不確定，所以a，b不一不一定相等，故定相等，故不正確；因?yàn)椴徽_；因?yàn)?可能有可能有A、B、C

15、、D在同一直線上，在同一直線上，所以所以不正確；零向量與任一非零向量都平行，當(dāng)不正確；零向量與任一非零向量都平行，當(dāng)b0時(shí)，時(shí)，a與與c不一定平不一定平 行，故行，故不正確不正確 答案：答案：4變式變式1：下面命題：下面命題：平行向量的方向一定相同；平行向量的方向一定相同；共線向量一定相等；共線向量一定相等；相等向相等向量一定共線，不相等的向量一定不共線；量一定共線，不相等的向量一定不共線； 是兩平行向量；是兩平行向量；兩向量兩向量相 等 的 充 要 條 件 是 它 們 的 起 點(diǎn) 相 同 ， 終 點(diǎn) 也 相 同 其 中 正 確 命 題 為相 等 的 充 要 條 件 是 它 們 的 起 點(diǎn) 相

16、 同 ， 終 點(diǎn) 也 相 同 其 中 正 確 命 題 為_(只寫上正確命題的序號即可只寫上正確命題的序號即可) 解析：解析：平行向量的方向不一定相同平行向量是以方向這一要素定義的，平行向量的方向不一定相同平行向量是以方向這一要素定義的，它有方向相同和方向相反兩種不同情況它有方向相同和方向相反兩種不同情況不一定共線向量就是平行向不一定共線向量就是平行向量，只要保證方向相同或相反，它們就共線，與模的大小無關(guān)量，只要保證方向相同或相反，它們就共線，與模的大小無關(guān)相等必相等必共線，共線未必相等，不相等的可以是不共線的，也可以是共線的，故不共線，共線未必相等，不相等的可以是不共線的，也可以是共線的，故不

17、正確正確 是相反向量，故為平行向量，正確是相反向量，故為平行向量，正確由平移概念由平移概念知，向量可自由平移到任一位置，而方向大小不變，故不正確知，向量可自由平移到任一位置，而方向大小不變，故不正確答案：答案：1用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理法、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理2在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形

18、中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解【例【例2】 如右圖所示，如右圖所示， 若若ABCD是一個(gè)等腰梯形，是一個(gè)等腰梯形，ABDC，M、N分別是分別是DC、AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，知知 ，試用，試用a、b、c表示表示 思路點(diǎn)撥：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則是向量思路點(diǎn)撥：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運(yùn)算的關(guān)鍵加減運(yùn)算的關(guān)鍵解：解： = =a-2b-c.變式變式2：在：

19、在OAB中，延長中，延長BA到到C，使，使ACBA，在，在OB上取點(diǎn)上取點(diǎn)D，使，使DB OB.DC與與OA交于交于E，設(shè)，設(shè) ，用，用a，b表示向量表示向量 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)锳是是BC的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以 2ab. 2ab； 向量共線定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問題提供了一種方法，向量共線定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問題提供了一種方法，要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，主要是看能否找到唯一的實(shí)數(shù)要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，主要是看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使兩使兩向量相等把向量平行的問題轉(zhuǎn)化為尋求實(shí)數(shù)向量相等把向量平行的問題轉(zhuǎn)化為尋求實(shí)數(shù)使向量相等的問使向量相等的問題題【例【例3】 已知非零向量已知非

20、零向量e1和和e2不共線不共線假如假如 ，求證：求證：A、B、D三點(diǎn)共線；三點(diǎn)共線；(2)欲使欲使ke1e2和和e1ke2共線，試確定實(shí)數(shù)共線，試確定實(shí)數(shù)k的值的值思路點(diǎn)撥：（思路點(diǎn)撥：（1）（2）證明：證明： （1） e1e2， 2e18e23e13e25(e1e2)5 ， 、 共線，又共線，又 與與 有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)B.A、B、D三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(2)解：解：ke1e2與與e1ke2共線，共線，存在存在使使ke1e2(e1ke2)，那么，那么(k)e1(k1)e2.由于由于e1與與e2不共線，不共線，只能有只能有 解得解得k1.變式變式3：設(shè)兩個(gè)非零向量：設(shè)兩個(gè)非零向量e1和和e2不共線不

21、共線(1)假如假如 e1e2， 3e12e2， 8e12e2，求證：求證：A、C、D三點(diǎn)共線；三點(diǎn)共線；(2)假如假如 e1e2， 2e13e2， 2e1ke2，且且A、C、D三點(diǎn)共線，求三點(diǎn)共線，求k的值的值(1)證明：證明： e1e2， 3e12e2， 8e12e2， 4e1e2 (8e12e2) ， 與與 共線，又共線，又 與與 公共點(diǎn)公共點(diǎn)C.A、C、D三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(2)解：解： (e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線， 與與 共線，從而存在實(shí)數(shù)共線，從而存在實(shí)數(shù)使得使得 ，即，即3e12e2(2e1ke2)，由平面向量的基本定理，得由平面向量的基本

22、定理，得 ，解之得，解之得 【規(guī)律方法總結(jié)】【規(guī)律方法總結(jié)】1向量不同于數(shù)量向量既有大小，又有方向向量的?？梢员容^大小，但向量向量不同于數(shù)量向量既有大小，又有方向向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小不能比較大小2向量的加減法實(shí)質(zhì)上是向量的平移，實(shí)數(shù)乘向量實(shí)質(zhì)是向量的伸縮向量的加減法實(shí)質(zhì)上是向量的平移，實(shí)數(shù)乘向量實(shí)質(zhì)是向量的伸縮3數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形形的量，因此在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這的量，因此在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向