§4對(duì)面積的曲面積分ppt課件

1、10.4 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分 前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分, 對(duì)第一類曲線積對(duì)第一類曲線積分分: niiiiLsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量, 在此質(zhì)量問(wèn)題在此質(zhì)量問(wèn)題中若把曲線改為曲面中若把曲線改為曲面, 線密度改為面密度線密度改為面密度, 小段曲線的小段曲線的弧長(zhǎng)改為小塊曲面的面積弧長(zhǎng)改為小塊曲面的面積, 相應(yīng)地得和式相應(yīng)地得和式.),(lim10 niiiiiS 一、對(duì)面積的曲面積分的概念和性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念和性質(zhì) 所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面都

2、有切平面, 且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)動(dòng)時(shí), 切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). 分析分析: 我們同樣可以使用我們同樣可以使用“分割分割,近似近似, 求和求和, 取極限的方法討論該取極限的方法討論該曲面的質(zhì)量問(wèn)題曲面的質(zhì)量問(wèn)題. 實(shí)例實(shí)例: 若曲面若曲面 是光滑的是光滑的, 它的面密度它的面密度(x, y, z)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 求它的質(zhì)量求它的質(zhì)量.抽象概括得到對(duì)面積的曲面積分的概念抽象概括得到對(duì)面積的曲面積分的概念: 定義定義: 設(shè)曲面設(shè)曲面 是光滑的是光滑的, 函數(shù)函數(shù)f(x, y, z)在在 上有上有界界, 把把 任意分成任意分成n小塊小塊Si(同時(shí)同時(shí)Si也表

3、示第也表示第 i 小塊小塊曲面的面積曲面的面積), 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)(i, i, i)為為Si上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn), 作乘積作乘積 f(i, i, i) Si,并作和并作和,),(1 niiiiiSf 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時(shí)時(shí), 這和式的這和式的極限存在極限存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面在曲面 上對(duì)面上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分積的曲面積分或第一類曲面積分. 并記為并記為: dSzyxf),(.),(lim10iiiniiSf dSzyxf),(即即其物理意義是面密度為其物理意義是面密度為f(x, y, z)的

4、曲面的曲面 的質(zhì)量的質(zhì)量. 其中其中f(x, y, z)叫作被積函數(shù)叫作被積函數(shù), 叫作積分曲面叫作積分曲面. 由上述定義可知由上述定義可知, 其性質(zhì)與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的其性質(zhì)與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)完全類似性質(zhì)完全類似.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì): .),(),(21 dSzyxfdSzyxf 21),( dSzyxf(1) 對(duì)函數(shù)的線性性質(zhì)對(duì)函數(shù)的線性性質(zhì): (2) 對(duì)積分曲面的可加性對(duì)積分曲面的可加性: (3) 存在性定理存在性定理: 若函數(shù)若函數(shù)f(x, y, z)在曲面在曲面 上連續(xù)上連續(xù), 則則f(x, y, z)在曲面在曲面 上對(duì)面積的曲面積分存在上對(duì)面積的曲面

5、積分存在. dSzyxgzyxf),(),(.),(),( dSzyxgdSzyxf二、對(duì)面積的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲線積分的計(jì)算法 設(shè)積分曲面設(shè)積分曲面 的方程的方程: z=z(x, y), 在在xoy面上的面上的投影區(qū)域?yàn)橥队皡^(qū)域?yàn)镈xy, 函數(shù)函數(shù)z=z(x, y)在在Dxy上具有連續(xù)的偏上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),且設(shè)被積函數(shù)且設(shè)被積函數(shù)f(x, y, z)在在 上連續(xù)上連續(xù).Dxyz=z(x, y) SixozyiPi(i , i) 設(shè)設(shè) 上的第上的第 i 塊小曲面塊小曲面Si(它的面積也記作它的面積也記作Si)在在xoy面面上的投影區(qū)域?yàn)樯系耐队皡^(qū)域?yàn)閕 (它的面積也它的面積也

6、記作記作i),那么那么Si可表示為二重積分可表示為二重積分: idxdyyxzyxzSyxi .),(),(122 由假設(shè)條件由假設(shè)條件, 利用二重積分的利用二重積分的中值定理中值定理, 可得可得:,),(),(122iiiyiixizzS 其中其中(i ,i)i , 對(duì)應(yīng)曲面對(duì)應(yīng)曲面 上的點(diǎn)上的點(diǎn)Pi(i ,i, i), 且有且有i=z(i ,i). 作和式作和式:iiiniiSf ),(1 dSzyxf),(.),(),(1),(,(122 niiiiyiixiiiizzzf 由以上假設(shè)知由以上假設(shè)知: 上式兩邊當(dāng)上式兩邊當(dāng)0時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在, 即即 iiiniiSf ),(lim

7、10 .),(),(1),(,(lim1220 niiiiyiixiiiizzzf 上式左邊為函數(shù)上式左邊為函數(shù)f(x, y, z)在在 上對(duì)面積的曲面積分上對(duì)面積的曲面積分, 而而右邊為一個(gè)在區(qū)域右邊為一個(gè)在區(qū)域Dxy上的二重積分上的二重積分, 因此有因此有.1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx 這就是將對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式這就是將對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式.按照曲面的不同情況分為以下三種計(jì)算公式按照曲面的不同情況分為以下三種計(jì)算公式: dSzyxf),(1) 若曲面若曲面 為為: z=z(x, y), 那么那么 .1),(,22dxdyzzyxzy

8、xfxyDyx dSzyxf),(2) 若曲面若曲面 為為: y=y(z, x), 那么那么 .1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(3) 若曲面若曲面 為為: x=x(y, z), 那么那么 .1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 這就是把對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算這就是把對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式公式. 簡(jiǎn)述為簡(jiǎn)述為:一代、二換、三投影一代、二換、三投影 代代: 將曲面的方程將曲面的方程z=z(x, y)代入被積函數(shù)代入被積函數(shù);換換: 換面積元素?fù)Q面積元素dS投影投影: 將曲面投影到將曲面投影到xoy坐標(biāo)面坐標(biāo)面, 得投影區(qū)域

9、得投影區(qū)域Dxy. 注注1: 這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù), 否否則可利用可加性則可利用可加性, 分塊計(jì)算分塊計(jì)算, 結(jié)果相加結(jié)果相加; 注注2: 把曲面投影到哪一個(gè)坐標(biāo)面把曲面投影到哪一個(gè)坐標(biāo)面, 取決于曲面方取決于曲面方程即方程的表達(dá)形式程即方程的表達(dá)形式; 注注3: 將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)把被積函數(shù)化為二元函數(shù); 注注4: 切記任何時(shí)候都要換面積元切記任何時(shí)候都要換面積元.;122dxdyzzyx ,)( dSzyx其中其中 為平面為平面y+z=5被被 例例1: 計(jì)算計(jì)算

10、柱面柱面x2+y2=25所截得的部分所截得的部分. 解解: 積分曲面積分曲面 : z=5y, dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 其投影區(qū)域其投影區(qū)域Dxy: x2+y225, 面積元素面積元素: dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx2)5( xyDdxdyx)5(2.2125 )5(2 xyxyDDxdxdydxdy052 xyDdxdy,)(22 dSyx22yxz 與平面與平面z=1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面. 解解: 將將 分成兩部分分成兩部分: , 10,:221 zyxz . 1, 1:222 yxz 例例2: 計(jì)算計(jì)算 其

11、中其中 為錐面為錐面 oxyz 2 1, 2在在xoy面的投影區(qū)域面的投影區(qū)域: D: x2+y2 1, dSyx)(22 Dyxdxdyzzyx22221)( 1 21)()(2222 dSyxdSyx Ddxdyyx)(22 Ddxdyyx2)(22 Ddxdyyx)(22 Ddxdyyx)()12(22 10220)12(rdrrd .221 ,122 dSyx例例3: 計(jì)算計(jì)算 其中其中 為介于平面為介于平面z=0與與 z=H之間的圓柱面之間的圓柱面x2+y2=R2. 解解: 令令 221:xRy 為為 在第一卦在第一卦 xyzo 1在在xoz面的投影區(qū)域?yàn)槊娴耐队皡^(qū)域?yàn)镈zx: 0

12、z H, 0 x R,限的部分限的部分. 又由函數(shù)及積分曲面的對(duì)稱性有又由函數(shù)及積分曲面的對(duì)稱性有, 12222141dSyxdSyx zxDzxdxdzyyR222114 RHdxxRRdzR022024.2RH 例例4: 計(jì)算計(jì)算 ,| dSxyz其中其中 為拋物面為拋物面z=x2+y2 (0z1). xyzo 解解: 拋物面拋物面 : z=x2+y2和被積函和被積函數(shù)數(shù)| xyz |都關(guān)于坐標(biāo)面都關(guān)于坐標(biāo)面xoz, yoz對(duì)稱對(duì)稱.則依對(duì)稱性知?jiǎng)t依對(duì)稱性知: 設(shè)設(shè)1為為 在第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面. dxdyzzdSyx221 ,)2()2(122dxdyyx dSxyz|

13、 1|4 dSxyz而而,41 dSxyz 1在在xoy面上的投影面上的投影Dxy: x2+y2 1, x 0, y 0. dSxyz|dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 rdrrrttrd 10222041sincos42 (用極坐標(biāo)計(jì)算用極坐標(biāo)計(jì)算) duuu251)41(41 .42015125 drrrtdtt2105041sincos42 drrr210541214 令令 u=1+4r2. 注注: 對(duì)面積的曲面積分有完全類似與三重積分的對(duì)面積的曲面積分有完全類似與三重積分的對(duì)稱性對(duì)稱性. 設(shè)設(shè) 對(duì)稱于對(duì)稱于xoy(或或yoz, 或或zox)坐標(biāo)面坐標(biāo)面, 若若f(

14、x, y, z)關(guān)于關(guān)于z (或或x,或或 y)是奇函數(shù)是奇函數(shù), 那么那么. 0),( dSzyxf若若f(x, y, z)關(guān)于關(guān)于z (或或x, 或或 y)是偶函數(shù)是偶函數(shù), 那么那么 .),(2),(1 dSzyxfdSzyxf其中其中1是是 位于對(duì)稱坐標(biāo)面一側(cè)的部分位于對(duì)稱坐標(biāo)面一側(cè)的部分. 例例5: 計(jì)算計(jì)算 ,)( dSzxyzxy解解: 在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域Dxy: x2+y22ax. ,22yxz ,2222yxyzyxxzyx xyDdxdyyxy222 cos20cos222ardrrrd其中其中 為錐面為錐面 22yxz 被柱面被柱面x2+y2=2ax所

15、截得的部分所截得的部分. 積分曲面方程積分曲面方程: 那么那么 dSzxyzxy)(故故 2244cos1641cos2 da 2054cos28 da.152644a 由于積分曲面關(guān)于由于積分曲面關(guān)于yoz坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱, dSyz,)(222 dSzyx例例6: 計(jì)算計(jì)算 x2+y2+z2=a2的八面體的八面體| x |+| y |+| z |=a 的表面的表面. 其中其中 為內(nèi)接于球面為內(nèi)接于球面 解解: 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x, y, z)=x2+y2+z2關(guān)于坐標(biāo)面關(guān)于坐標(biāo)面, 原點(diǎn)原點(diǎn)均對(duì)稱均對(duì)稱. 積分曲面積分曲面 也具有同樣的對(duì)稱性也具有同樣的對(duì)稱性. 設(shè)設(shè)1表示表示 在

16、第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面. 故原積分滿足故原積分滿足: dSzyx)(222,)(81222 dSzyx而而1的方程為的方程為: x+y+z=a, 即即 z=axy, dxdyzzdSyx221 .3dxdy 所以所以 xzyoaaa 1dxdyyxayxxyD 3)(8222.324a dSzyx)(222重心重心: , dSdSxx, dSdSyy. dSdSzz轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: ,)(22 dSzyIx,)(22 dSzxIy.)(22 dSyxIz幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 . dSA質(zhì)量質(zhì)量: .),( dSzyxM對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用 物理應(yīng)用物理應(yīng)用

17、 曲面曲面 的面積的面積:例例7: 求均勻曲面求均勻曲面 222yxaz 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo). 解解: 由上半球面的對(duì)稱性知由上半球面的對(duì)稱性知: , 0, 0 yx. dSzdSzdxdyzzdSDyx 221 dxdyyxaaD 222rdrraada 02220 .22a D: x2+y2a2.dxdyzzyxazdSDyx 222221 dxdyyxaayxaD 222222 Ddxdya.3a ,2az 故重心坐標(biāo)為故重心坐標(biāo)為(0, 0, a/2). 所以所以 dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( Ddxdyyxaayx222220)( ardrrard

18、a02222001 .3440a 例例8: 求密度為求密度為0的均勻半球殼的均勻半球殼x2+y2+z2=a2(z0)對(duì)于對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz.解解:半球殼在半球殼在xoy面上的投影面上的投影D: x2+y2a2. 所以所以 例例9: 計(jì)算計(jì)算 ,)( dSczbyax解解: 由奇偶對(duì)稱性知由奇偶對(duì)稱性知: , 0 ydSxdS上半球面上半球面1: ;222yxRRz 下半球面下半球面2: 21 czdSczdS DdRc 2.43cR 其中其中 為球面為球面 x2+y2+z2=2Rz 的整個(gè)表面的整個(gè)表面.為計(jì)算為計(jì)算 須將須將 分成兩部分分成兩部分: , zdS.222yxRRz dSczbyax)( 1, 2在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域 D: x2+y2 R2. 另解另解: 由曲面形心公式由曲面形心公式, ,42RdS .43cR . dSdSzz. dSzcczdS而而 的形心坐標(biāo)為的形心坐標(biāo)為(0, 0, R), 所以所以,