理學(xué)院 數(shù)值計算方法 實驗五

1、實驗五實驗名稱數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近姓 名張見學(xué) 號08119054班 級08信計（2）班指導(dǎo)教師張昆實驗日期2010-12-1成 績一、 實驗?zāi)康?、 掌握最小二乘擬合多項式的性質(zhì)及計算；2、 觀察最小二乘擬合多項式數(shù)值穩(wěn)定性；3、 掌握最佳平方逼近多項式的性質(zhì)及計算,并作出函數(shù)的圖像。二、 實驗題目1、 給定數(shù)據(jù)點如下表: xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00 用最小二乘法求定數(shù)據(jù)點(xi,，yi)的一、二、三次擬合多項式，和擬合多項式的圖形。2、 觀察最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定性： 將區(qū)間-5,5 10等分，對函數(shù)計算點xi上的函數(shù)

2、值，計算數(shù)據(jù)點(xi,，yi)相應(yīng)的的1 9次擬合多項式，作出擬合多項式圖形并與的圖形進行比較； 給定函數(shù)數(shù)據(jù)點如下表xi0.511.21.41.61.825yi5.88001.68001.28801.07070.94650.87640.84001.2576計算數(shù)據(jù)點(xi,，yi)相應(yīng)的的1 7次擬合多項式，作出擬合多項式圖形并與的圖形進行比較；3、 計算x4 或 ex在區(qū)間 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多項式，作出最佳平方逼近多項式圖形并與的函數(shù)圖形進行比較。三、 實驗原理I、 最小二乘多項式當(dāng)由實驗提供了大量數(shù)據(jù)時，不能要求擬合函數(shù)j(x)在數(shù)據(jù)點(xi , yi) 處的偏差

3、嚴(yán)格為零。但為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點的變化趨勢 ，需對偏差有所要求。通常要求偏差平方和最小，即：此即稱為最小二乘原理（二乘即平方）。函數(shù) y=f(x) 的一組實驗數(shù)據(jù)F是全體次數(shù)不超過n (n<m)次的多項式的集合，求多項式：由多元函數(shù)取得極值必要條件，有:即 II、 最佳平方逼近多項式 達到極小值，由多元函數(shù)取得極值必要條件，有: 取則法方程組為:四、 實驗內(nèi)容1、 最小二乘法求定數(shù)據(jù)點(xi,，yi)的一、二、三次擬合多項式 設(shè)，帶入數(shù)據(jù)的系數(shù)矩陣，,則，從而求出，所以求出最小二乘擬合多項式是 2、 觀察最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定性：把區(qū)間-5 510等分，即,在由原函數(shù)求出

4、y. 設(shè)，帶入數(shù)據(jù)的系數(shù)矩陣，,則，從而求出，所以求出最小二乘擬合多項式是3、函數(shù)f(x)在區(qū)間 0,1 上的n次最佳平方逼近多項式圖像 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 0,1 上的n次最佳平方逼近多項式為 在區(qū)間 0,1 上的系數(shù)矩陣H=hilb(n+1),，其中，因此,所以求出函數(shù)f(x)在區(qū)間 0,1 上的n次最佳平方逼近多項式為五、 實驗圖形 1、最小二乘法求定數(shù)據(jù)點(xi,，yi)的一、二、三次擬合多項式 2、 觀察最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定性： 函數(shù)和19次最小二乘多項式圖一起輸出 函數(shù)和17次最小二乘多項式圖一起輸出3、I、 x4在區(qū)間 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多項式圖像

5、一次最佳平方逼近多項式：二次最佳平方逼近多項式：三次最佳平方逼近多項式： II、ex在區(qū)間 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多項式圖像一次最佳平方逼近多項式：二次最佳平方逼近多項式：三次最佳平方逼近多項式：六、 實驗分析1、 最小二乘法求定數(shù)據(jù)點(xi,，yi)的一、二、三次擬合多項式從圖中一、二、三次擬合多項式圖形，可以看出：一擬合多項式圖形與二、三次擬合多項式圖形大致一樣，而二、三次擬合多項式圖形基本完全重合，因此隨著擬合次數(shù)的增加，函數(shù)與擬合多項式之間的差距減小。 2、觀察最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定性： 從 函數(shù)和19次最小二乘多項式圖形，函數(shù)和17次最小二乘多項式圖形，可以看出

6、：函數(shù)與n次擬合多項式先減小之間的差距，然而隨著次數(shù)的增大，他們之間的差距又增大，然后有減小，因此函數(shù)與n次擬合多項式不穩(wěn)定。 3、函數(shù)f(x)在區(qū)間 0,1 上的n次最佳平方逼近多項式圖像從x4在區(qū)間 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多項式圖像和ex在區(qū)間 0,1 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多項式圖像中，可以看出：函數(shù)f(x)= x4 的圖像和函數(shù)f(x)= x4 的三次最佳平方逼近多項式的圖像基本完全重合，函數(shù)f(x)= ex的圖像和函數(shù)f(x)= x4 的二、三次最佳平方逼近多項式的圖像基本完全，函數(shù)f(x)= ex的最佳平方逼近更快，他們的最佳平方逼近多項式與原函數(shù)非常逼

7、近。七、 評閱意見簽名： 評閱日期： 附表一、 程序代碼1、 最小二乘法求定數(shù)據(jù)點(xi,，yi)的一、二、三次擬合多項式x=0 0.5:0.1:1' y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00' yiersancinihetuxiang(x,y)2、 觀察最小二乘多項式的數(shù)值不穩(wěn)定性：函數(shù)和19次最小二乘多項式圖一起輸出x=(-5:5)' fuhehanshuniyi(x) 函數(shù)和17次最小二乘多項式圖一起輸出x=0.5000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 5.0000'fuhehanshunier(x)3、函數(shù)f(x)在區(qū)間 0,1 上的n次最