第三章復(fù)習(xí)與思考題

1、第三章復(fù)習(xí)與思考題1.設(shè)，寫出三種常用范數(shù)，及. 答：若，則，.2.，它們的內(nèi)積是什么？如何判斷函數(shù)族在上線性無(wú)關(guān)？答：若，是上給定的權(quán)函數(shù)，定義內(nèi)積,特別常用的是的情形，即.設(shè)，定義其格拉姆矩陣，,在上線性無(wú)關(guān)的充要條件是.3.什么是函數(shù)在區(qū)間上的次最佳一致逼近多項(xiàng)式？答：設(shè)，若使誤差則稱為在上的次最佳一致逼近多項(xiàng)式.4.什么是在上的次最佳平方逼近多項(xiàng)式？什么是數(shù)據(jù)的最小二乘曲線擬合？答：設(shè)，若使則稱為在上的次最佳平方逼近多項(xiàng)式.若是上的一個(gè)列表函數(shù)，在上給出，要求，使則稱為的最小二乘擬合.5.什么是上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式？什么是上的勒讓德多項(xiàng)式？它有什么重要性質(zhì)？答：設(shè)是上首項(xiàng)系數(shù)的次多項(xiàng)式，

2、為上的權(quán)函數(shù)，如果多項(xiàng)式序列滿足，則稱多項(xiàng)式序列在上帶權(quán)正交，稱為上帶權(quán)的次正交多項(xiàng)式.當(dāng)區(qū)間為，權(quán)函數(shù)時(shí)，由正交化得到的多項(xiàng)式稱為勒讓德多項(xiàng)式，通常用表示，其性質(zhì)如下:(1) 正交性(2) 奇偶性(3) 遞推關(guān)系,.(4) 在區(qū)間內(nèi)有個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn).6.什么是切比雪夫多項(xiàng)式？它有什么重要性質(zhì)？答：當(dāng)權(quán)函數(shù)，區(qū)間為時(shí)，由序列正交化得到的正交多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式，可表示為，其重要性質(zhì)如下：(1) 遞推關(guān)系(2) 正交性(3) 只含的偶次冪，只含的奇次冪.(4) 在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn) .(5) 的首項(xiàng)系數(shù)為，.(6) 設(shè)是首項(xiàng)系數(shù)為1的切比雪夫多項(xiàng)式，則，,且.7.用切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)做插值點(diǎn)得到的

3、插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值有何不同？答：切比雪夫點(diǎn)是單位圓周上等距分布點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)在接近區(qū)間的端點(diǎn)處是密集的，利用切比雪夫點(diǎn)做插值，可使插值區(qū)間最大誤差最小化, 同時(shí)還可以避免高次拉格朗日插值所出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，保證整個(gè)區(qū)間上收斂.8.什么是最小二乘擬合的法方程？用多項(xiàng)式做擬合曲線時(shí)，當(dāng)次數(shù)較大時(shí)為什么不直接求解法方程？答：在最小二乘擬合中，利用求多元函數(shù)極值的必要條件并記，則稱，為法方程，也可以寫成矩陣形式，其中，.9.計(jì)算有理分式為什么要化為連分式？答：計(jì)算有理分式的值時(shí)，通常將其化為連分式，這樣便于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算，節(jié)省乘除法的計(jì)算次數(shù). 例如對(duì)一般的有理函數(shù)，若轉(zhuǎn)化成連分式

4、則乘除法運(yùn)算只需次，而直接計(jì)算則需次乘除法計(jì)算.10.哪種類型函數(shù)用三角插值比用多項(xiàng)式插值或分段多項(xiàng)式插值更合適？答：當(dāng)模型數(shù)據(jù)具有周期性時(shí)，用三角函數(shù)特別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作為基函數(shù)作三角插值比用多項(xiàng)式插值或分段多項(xiàng)式插值更合適.11.對(duì)序列作DFT時(shí)，給定數(shù)據(jù)要有哪些性質(zhì)？對(duì)DFT用FFT計(jì)算時(shí)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有何要求？答：若對(duì)序列作DFT，則要求給定數(shù)據(jù)是以為周期的復(fù)函數(shù).對(duì)DFT用FFT計(jì)算時(shí)要求數(shù)據(jù)長(zhǎng)度.12.判斷下列命題是否正確？(1) 任何都能找到次多項(xiàng)式，使(為任給的誤差限）.(2) 是在上的最佳一致逼近多項(xiàng)式，則對(duì)成立.(3) 在上的最佳平方逼近多項(xiàng)式，則.(4) 是首項(xiàng)系數(shù)為1的

5、勒讓德多項(xiàng)式，是任一首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則.(5) 是上首項(xiàng)系數(shù)為1的切比雪夫多項(xiàng)式，是任一首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則 .(6) 函數(shù)的有理逼近（如帕德逼近）總比多項(xiàng)式逼近好.(7) 當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)用最小二乘擬合比用插值好.(8) 三角最小平方逼近與三角插值都要計(jì)算點(diǎn)DFT，所以它們沒(méi)任何區(qū)別.(9) 只有點(diǎn)數(shù) 的DFT才能用FFT算法，所以FFT算法意義不大.(10) FFT算法計(jì)算DFT和它的逆變換效率相同.答：(1) 對(duì).(2) 對(duì).(3) 對(duì).(4) 對(duì).(5) 對(duì).(6) 錯(cuò).多項(xiàng)式是一種計(jì)算簡(jiǎn)便的函數(shù)類，通常用多項(xiàng)式逼近比較多，但當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)附近無(wú)界時(shí)用多項(xiàng)式逼近效果很差，而用有理函數(shù)逼近可得到較好的效果.(7) 錯(cuò).當(dāng)一個(gè)函數(shù)由給定的一組可能不精確表示函數(shù)的數(shù)據(jù)來(lái)確定時(shí)，使用最小二乘的曲線擬合是最合適的.(8) 錯(cuò). 逼近和插值是兩個(gè)不同的概念