MINITAB統(tǒng)計基礎(chǔ)

1、MINITAB統(tǒng)計基礎(chǔ)1. 正態(tài)總體的抽樣分布1) 樣本均值 X 的分布標準正態(tài)分布及T分布樣本標準差計算公式：u T分布的定義：Student t distribution，如果X服從標準正態(tài)分布，S2服從個自由度的卡方分布，且它們相互獨立，那么隨機量所服從的分布稱為 個自由度的t分布。其分布密度函數(shù)為：當 時的極限分布即是標準正態(tài)分布，當 =1 時就是Cauchy分布。T分布只包含1個參數(shù)。數(shù)學期望和方差分別為0，-2（1時期望不存在，2方差不存在）。我們常常用 t 表示 個自由度的t分布。MINITAB對于更一般的t分布還增加了一個“非中心參數(shù)”，當非中心參數(shù)為0時，就得到了我們現(xiàn)在所說

2、的t分布。在用MINITAB計算時，只要注意這一點就行了。自由度：可以簡單理解為在研究問題中，可以自由獨立取值的數(shù)據(jù)或變量的個數(shù)。范例：² ZN(0，1)，求Z=1.98時的概率密度。計算->概率分布->正態(tài)分布->概率密度->輸入常數(shù)1.98->確定概率密度函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標準差 = 1 x f( x )1.98 0.0561831² ZN0，1，求PZ<2.4。計算->概率分布->正態(tài)分布->累積概率->輸入常數(shù)2.4->確定累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標準差 = 1 x P(

3、 X <= x )2.4 0.991802² ZN(0，1)，求使得P(Z<x)=0.95成立的x值，即Z的0.95分位數(shù)。計算->概率分布->正態(tài)分布->逆累積概率->輸入常數(shù)0.95->確定逆累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標準差 = 1P( X <= x ) x 0.95 1.64485² 自由度=12，求使得PZ<x=0.95成立的x值。計算->概率分布->t分布->逆累積概率->輸入自由度12->輸入常數(shù)0.95->確定逆累積分布函數(shù) 學生 t 分布，12 自由度P(

4、 X <= x ) x 0.95 1.7822² 自由度=12，求使得Pt3。計算->概率分布->t分布->累積概率->輸入自由度12->輸入常數(shù)3->確定累積分布函數(shù) 學生 t 分布，12 自由度x P( X <= x )3 0.9944672) 雙樣本均值差的分布3) 正態(tài)樣本正態(tài)樣本方差S2的分布卡房卡方分布若X1，X2，,Xn是從正態(tài)總體N，2中抽出的一組樣本量為n的獨立隨機樣本，記則當 已知時：當未知時，用 X 替 后可以得到其概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。u 卡方分布的定義：把n個相互獨立的標準正態(tài)隨機變量的平方和稱為

5、自由度為n的卡方分布。它的密度表達式為：參數(shù) 1 稱為自由度?？ǚ椒植加邢蛴业钠?，特別在較小自由度情況下（ 越小，分布越偏斜）。我們常用 2 表達自由度為 的卡方分布?？ǚ椒植加泻芏嘤猛?，其中一項就是用來分析單個正態(tài)總體樣本方差的狀況；還可以用來進行分布的擬合優(yōu)度檢驗，即檢驗資料是否符合某種特定分布；對于離散數(shù)據(jù)構(gòu)成的列聯(lián)表，也可以用來分析兩個離散型因子間是否獨立等。u 卡方分布的性質(zhì)a) 卡方分布的加法性：設(shè)X和Y彼此獨立，且都服從卡方分布，其自由度分別為n1，n2。若令Z=X+Y，則Z服從自由度為n1+n2的卡方分布。b) 若 X2n ，則 EX=n ，VX=2n 。計算下列各卡方分布的

6、相關(guān)數(shù)值：² 自由度=10，求使得 P2<x=0.95 成立的 x 值。計算 -> 概率分布 -> 卡方分布 -> 逆累積概率 -> 自由度=10 -> 常數(shù)=0.95 -> 確定逆累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度P( X <= x ) x 0.95 18.307² 自由度=10，求 P228 。計算 -> 概率分布 -> 卡方分布 -> 累積概率 -> 自由度=10 -> 常數(shù)=28 -> 確定累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度 x P( X <= x )28 0.998195

7、4) 兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布F分布兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布是F分布。設(shè)有兩個獨立的正態(tài)總體 N(1，2) 和 N(2，2) ，它們的方差相等。又設(shè)X1，X2，Xn是來自N(1，2)的一個樣本Y1，Y2，Yn是來自N(2，2) 的一個樣本，這兩樣相互獨立。它們的樣本方差之比是自由度為n-1和m-1的F分布：n-1稱為分子自由度；m-1為分母自由度；F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。實際上，F(xiàn)統(tǒng)計量就是由兩個卡方隨機變量相除所構(gòu)成的，如果 21 ，Y22 ，且二者相互獨立，則稱二者比值的分布為F分布，即其密度函數(shù)是：F分布的應用非常廣泛，尤其是在判斷兩正態(tài)總體方差是否相

8、等以及方差分析（ANOVA）等問題上面。² 計算F0.95（8，,18）的數(shù)值。計算 -> 概率分布 -> F分布 -> 逆累積概率 -> 分子自由度=8 -> 分母自由度=18 ->常數(shù)=0.95 ->確定逆累積分布函數(shù) F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度P( X <= x ) x 0.95 2.510162. 參數(shù)的點估計1) 點估計的概念用單個數(shù)值對于總體參數(shù)給出估計的方法稱為點估計。設(shè)是總體的一個未知參數(shù)，X1，X2，Xn是從總體中抽取的樣本量為n的一個隨機樣本，那么用來估計未知參數(shù)的統(tǒng)計量 （X1，X2，Xn）稱為的

9、估計量，或稱為的點估計。我們總是在參數(shù)上方畫一個帽子“”表示該參數(shù)的估計量。在工程中經(jīng)常出現(xiàn)的點估計問題之最好結(jié)果是：Ø 對于總體均值 ， =X ；Ø 對于總體方差 2 ， 2 =S2 ；Ø 對于比率p ， p =Xn ，X是樣本量為n的隨機樣本中我們感興趣的那類出現(xiàn)的次數(shù)；Ø 對于 1 - 2 ，1 - 2 = X1-X2（兩個獨立隨機樣本均值之差）；Ø 對于p1 - p2，估計為 P1 -P2（兩個獨立隨機樣本比率之差）；2) 點估計的評選標準3. 參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)是總體的一個待估參數(shù)，從總體中獲得樣本量為n 的樣本是X

10、1，X2，Xn，對給定的顯著性水平（01），有統(tǒng)計量：L= L（X1，X2，Xn）與U= U（X1，X2，Xn），若對于任意有P（LU）= 1 - ，則稱隨機區(qū)間L，U是的置信水平為1-的置信區(qū)間，L與U分別稱為置信下限和置信上限。置信區(qū)間的大小表達了區(qū)間估計的精確性，置信水平表達了區(qū)間估計的可靠性， 1 - 是區(qū)間估計的可靠程度，而 表達了區(qū)間估計的不可靠程度。在進行區(qū)間估計時，必須同時考慮置信水平與置信區(qū)間兩個方面。對于置信區(qū)間的選取，一定要注意，決不能認為置信水平越大的置信區(qū)間就越好。實際上，置信水平定的越大，則置信區(qū)間相應也一定越寬，當置信水平太大時，則置信區(qū)間會寬得沒有實際意義了。這

11、兩者要結(jié)合在一起考慮，才更為實際。通常我們?nèi)≈眯潘綖?.95，極個別情況下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。1) 單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間當 X N(，2)時，正態(tài)總體均值的置信區(qū)間有以下三種情況：a) 當總體方差 2 已知時，正態(tài)總體均值 的 1 置信區(qū)間為：式中，Z1-2是標準正態(tài)分布的 1-2 分位數(shù)，也就是雙側(cè) 分位數(shù)。例如=0.05時，Z0.975=1.96。在MINITAB中，我們通過：統(tǒng)計 -> 基本統(tǒng)計量 -> 單樣本Z 來實現(xiàn)的。由于實際情況中，已知標準差的情況很少見，因此我們這里重點關(guān)注的是標準差位置時的情況。b) 當總體方差 2 未知時， 用樣

12、本標準差S代替，此時正態(tài)總體均值 的 1 置信區(qū)間為：式中，t1-2n-1 表示自由度為n 1的 t 分布的 1-2 分位數(shù)，也就是t分布的雙側(cè) 分位數(shù)。例如=0.05時，樣本量n = 16時，t0.97515=2.131，其值略大于Z0.975=1.96。在MINITAB中，我們通過：統(tǒng)計 -> 基本統(tǒng)計量 -> 單樣本t 來實現(xiàn)的。² 某集團公司正推進節(jié)省運輸費用活動，下表為20個月使用的運輸費用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)：17421827168117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707

13、假設(shè)運輸費用是服從正態(tài)分布的，求運輸費用均值的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計 -> 基本統(tǒng)計量 -> 單樣本t -> 樣本所在列 = 運輸費用 -> 選項 -> 置信水平 = 95 -> 確定。單樣本 T: 運輸費用 均值標變量 N 均值 標準差 準誤 95% 置信區(qū)間運輸費用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2)c) 前兩種情況討論的是當總體為正態(tài)分布時， 的區(qū)間估計，然而當總體不是正態(tài)分布時，如果樣本量n 超過30，則可根據(jù)中心極限定理知道：X 仍近似服從正態(tài)分布，因而仍可用正態(tài)分布總提示的均值 的區(qū)間估計方法，而且可以直接用樣

14、本標準差代替總體標準差，即采用公式：在MINITAB中，通常直接采用：統(tǒng)計 -> 基本統(tǒng)計量 -> 圖形化匯總 中得到總體均值的置信區(qū)間結(jié)果。只不過要注意的是：總體非正態(tài)時，在小樣本情況下此結(jié)果并不可信，只有當樣本量超過30后，由于中心極限定理的保證，此結(jié)果才是可信的。2) 單正態(tài)總體方差和標準差的置信區(qū)間當 X N(，2)時，正態(tài)總體方差的置信區(qū)間是：式中，1-22n-1和22n-1分別是 1-2 分位數(shù)與 2 分位數(shù)。當 X N(，2)時，正態(tài)總體標準差的置信區(qū)間是：² 某集團公司正推進節(jié)省運輸費用活動，下表為20個月使用的運輸費用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)/p>

15、117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707假設(shè)運輸費用是服從正態(tài)分布的，求運輸費用方差和標準差的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計 -> 基本統(tǒng)計量 -> 單方差 -> 樣本所在列 = 運輸費用 -> 選項 -> 置信水平 = 95 -> 確定。單方差檢驗和置信區(qū)間: 運輸費用 方法卡方方法僅適用于正態(tài)分布。Bonett 方法適用于任何連續(xù)分布。統(tǒng)計量變量 N 標準差 方差運輸費用 20 61.9 383095% 置信區(qū)間 標準差置信 方差置信區(qū)變量 方法 區(qū)間 間運輸費用 卡

16、方 (47.1, 90.4) (2215, 8170) Bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507)求總體標準差置信區(qū)間另一種方法：統(tǒng)計->基本統(tǒng)計量->圖形化匯總->變量：運輸費用->置信水平：95 ->確定3) 單總體比率的置信區(qū)間當 X b(1，p)時，也就是X取“非0則1”的0-1分布，我們常需要估計總體中感覺的那類比率的置信區(qū)間，比如，一批產(chǎn)品中，不合格品率的大致范圍；顧客滿意度調(diào)查中，有抱怨顧客的比率范圍等。這里我們記總體比率為p，樣本比率為 p ?？梢宰C明，當樣本量足夠大時（要求np>5及np（1-p）>5），且p值適

17、中（0.1<p<0.9），則可用正態(tài)分布去近似二項分布，因而近似有： p N(p，p1-pn)。因此，由 p 服從的正態(tài)分布構(gòu)造總體比率p的置信區(qū)間為：² 一電視臺為了調(diào)查新節(jié)目收視率，在節(jié)目放映時間內(nèi)進行了電話調(diào)查。在接受調(diào)查的2000名被調(diào)查者中有1230名正在收看本節(jié)目。求此節(jié)目收視率的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計->基本統(tǒng)計量->單比率->匯總數(shù)據(jù)：事件數(shù)=1230，實驗數(shù)=2000->選項->置信水平：95 ；勾選使用正態(tài)分布的檢驗和區(qū)間->確定由于np>5及np（1-p）>5，可用于正態(tài)分布近似二項分布，故可以勾選使用基

18、于正態(tài)分布的檢驗和區(qū)間。單比率檢驗和置信區(qū)間 樣本 X N 樣本 p 95% 置信區(qū)間1 1230 2000 0.615000 (0.593674, 0.636326)使用正態(tài)近似。4) 雙總體均值差的置信區(qū)間設(shè)有兩個總體X N(1，12)，Y N(2，22)，從總體X中抽取的樣本X1，X2，Xn，樣本均值為 X ，樣本方差為 SX2 ，樣本標準差為 SX ，從總體Y中抽取的樣本Y1，Y2，Yn，樣本均值為 Y ，樣本方差為 SY2 ，樣本標準差為 SY 。對兩總體均值差異 1-2 的區(qū)間估計常有以下三種情況：a) 兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 12，22 都已知時，兩總體均值差異

19、 1 - 2 的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：只要樣本量足夠大，無論兩總體的方差是否相等，上式都成立。b) 兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 12=22 均未知時，兩總體均值差異 1 - 2 的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：式中，² 一家冶金公司需要減少其排放到廢水中的生物氧需求量含量。用于廢水處理的活化泥供應商建議，用純氧取代空氣吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此數(shù)值越小越好）。從兩種處理的廢水中分別抽取10個和9個樣品，數(shù)據(jù)如下：空氣184194158218186218165172191179氧氣163185178183171140155179175已知生物氧需求量含量

20、服從正態(tài)分布，試確定：該公司采用空氣和采用純氧減少生物氧需求量含量均值之差的95%置信區(qū)間。求兩總體1 - 2 的置信區(qū)間：統(tǒng)計->基本統(tǒng)計量->雙樣本t->樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣->勾選假定等方差->選項：置信水平=95，備擇=不等于->確定。雙樣本 T 檢驗和置信區(qū)間: 空氣, 氧氣 空氣 與 氧氣 的雙樣本 T 均值標 N 均值 標準差 準誤空氣 10 186.5 20.0 6.3氧氣 9 169.9 14.7 4.9差值 = mu (空氣) - mu (氧氣)差值估計值: 16.61差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.58, 33.8

21、0)差值 = 0 (與 ) 的 T 檢驗: T 值 = 2.04 P 值 = 0.057 自由度 = 17兩者都使用合并標準差 = 17.7356c) 當兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 1222 均未知時，兩總體均值差異 1 - 2 的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：式中，自由度的計算公式為：² 假定A，B兩名工人生產(chǎn)相同規(guī)格的軸棒，關(guān)鍵尺寸是軸棒的直徑。由于A使用的是老式車床，B使用的是新式車床，二者精度可能有差異。經(jīng)檢驗，他們的直徑數(shù)據(jù)確實來自兩個方差不等的正態(tài)分布?，F(xiàn)他們各測定13根軸棒直徑，數(shù)據(jù)如下：12345678910111213A14.7614.2114.021

22、5.0810.6512.1816.6718.2012.2411.2116.6713.4516.85B12.3710.2813.1813.2613.8010.9610.5712.8311.6713.5412.4213.2412.52試確定A，B生產(chǎn)的軸棒直徑差異的95%置信區(qū)間。求兩總體1 - 2的置信區(qū)間：統(tǒng)計->基本統(tǒng)計量->雙樣本t->樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣->選項：置信水平=95，備擇=不等于->確定。雙樣本 T 檢驗和置信區(qū)間: A工人, B工人 A工人 與 B工人 的雙樣本 T 均值標 N 均值 標準差 準誤A工人 13 14.32 2.

23、35 0.65B工人 13 12.36 1.15 0.32差值 = mu (A工人) - mu (B工人)差值估計值: 1.965差值的 95% 置信區(qū)間: (0.435, 3.496)差值 = 0 (與 ) 的 T 檢驗: T 值 = 2.71 P 值 = 0.015 自由度 = 17² 獨立隨機樣本取自均值1， 2 未知，標準差未知的兩個正態(tài)分布總體，若第一個總體樣本標準差S1=0.73,樣本量n=25，X=6.9，第二個總體樣本標準差S2=0.89,樣本量n=20，Y=6.7。求1- 2的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計->基本統(tǒng)計量->雙樣本t->匯總數(shù)據(jù)：第一（樣本數(shù)量=25