坐標系轉(zhuǎn)換教材

1、坐標系轉(zhuǎn)換問題1.坐標系基礎(chǔ)知識1.1 1954 年北京坐標系1954 年北京坐標系可以認為是前蘇聯(lián) 1942 年坐標系的延伸。它的原點不在 北京，而在前蘇聯(lián)的普爾科沃。相應(yīng)的橢球為克拉索夫斯基橢球。1954 年北京坐標系建立以來，我國依據(jù)這個坐標系建成了全國天文大地網(wǎng)， 完成了大量的測繪任務(wù)。 但是隨著測繪新理論、 新技術(shù)的不斷發(fā)展， 人們發(fā)現(xiàn)該 坐標系存在如下缺點：（ 1 ）橢球參數(shù)有較大誤差。克拉索夫斯基橢球參數(shù)與現(xiàn)代精確的橢球參數(shù)相 比，長半軸約大 109m。（ 2）參考橢球面與我國大地水準面存在著自西向東明顯的系統(tǒng)性的傾斜，在 東部地區(qū)大地水準面差距最大達 +68m。著使得大比例尺地

2、圖反映地圖面的精度受 到影響，同時也對觀測元素的歸算提出了嚴格要求。（ 3）幾何大地測量和物理大地測量應(yīng)用的參考面不統(tǒng)一。我國在處理重力數(shù) 據(jù)時采用赫爾默特 19001909年正常重力公式， 與這個公式相應(yīng)的赫爾默特扁球 不是旋轉(zhuǎn)橢球，它與克拉索夫斯基橢球是不一致的，這給實際工作帶來了麻煩。（4）定向不明確。 橢球短軸的指向既不是國際上比較普遍采用的國際協(xié)議 （習 用）原點 CIO（ Conventional International Origin），也不是我國地極原點JYD1968.0 ；起始大地子午面也不是國際時間局 BIH（ Bureau International de I Heur

3、e）所定義的格林尼治平均天文臺子午面，從而給坐標換算帶來一些不便和 誤差。另外，鑒于該坐標系是按局部平差逐步提供大地點成果的， 不是整體平差結(jié)果， 因而不可避免地出現(xiàn)一些矛盾和不夠合理的地方。隨著我國測繪事業(yè)的發(fā)展， 現(xiàn)在已經(jīng)具備條件， 可以利用我國測量資料和其他 有關(guān)資料，建立起適合我國情況的新的坐標系。1.2 新 1954 北京坐標系新 1954 年北京坐標系，是由 1980 年國家大地坐標系轉(zhuǎn)換得來的， 簡稱 BJ54新 ； 原 1954 年北京坐標系又稱為舊 1954 年北京坐標系 BJ54舊 。由于在全國的以 GDZ80為基準的測繪成果建立之前， BJ54舊 的測繪成果仍將存在較長時

4、間，而 BJ54舊 與 GDZ80兩者之間差距較大，給成果的使用帶來不便，所以又建立了BJ54新 作為過渡坐標系。經(jīng)過渡坐標系的轉(zhuǎn)換， BJ54新和 BJ54舊的控制點的高 斯平面坐標，其差值在全國 80%地區(qū)內(nèi)小于 5m，局部地區(qū)最大達 12.9m。BJ54新 是在 GDZ80基礎(chǔ)上，改變 GDZ80相對應(yīng)的 IUGG1975橢球幾何參數(shù)為克 拉索夫斯基橢球參數(shù)，并將坐標原點（橢球中心）平移，使坐標軸保持平行而建 立起來的。BJ54新 的特點是：（ 1）采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)。（2）是綜合 GDZ80和 BJ54舊建立起來的參心坐標系。（3）采用多點定位，但橢球面與大地水準面在我國境內(nèi)不是

5、最佳擬合。（ 4）定向明確，坐標軸與 GDZ80相平行，橢球短軸平行于地球質(zhì)心指向地極原點 JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我國起始天文子午面， X Y Z 0 。（ 5）大地原點與 GDZ80相同，但大地起算數(shù)據(jù)不同。（6）大地高程基準采用 1956 年黃海高程系。（7）與 BJ54舊 相比，所采用的橢球參數(shù)相同， 其定位相近， 但定向不同。 BJ54舊 的坐標是局部平差結(jié)果，而 BJ54新 是 GDZ80整體平差結(jié)果的轉(zhuǎn)換值，兩者之間 無全國統(tǒng)一的轉(zhuǎn)換參數(shù)，只能進行局部轉(zhuǎn)換。1.3 1980 年國家大地坐標系為了適應(yīng)我國大地測量發(fā)展的需要，在 1978年 4 月于西安召開的“全

6、國天 文大地網(wǎng)整體平差會議”上，參加會議的專家對建立我國比1954 年北京坐標系更精確的新大地坐標系進行了討論和研究。到會專家普遍認為 1954 年北京坐標 系相對應(yīng)的橢球參數(shù)不夠精確， 其橢球面與我國大地水準面差距較大， 在東部經(jīng) 濟發(fā)達地區(qū)差距高達 60 余米，因而建立我國新的大地坐標系是必要的。該次會 議關(guān)于建立新大地坐標系提出了如下原則：（ 1）全國天文大地網(wǎng)整體平差要在新的坐標系的參考橢球面上進行。為此， 首先要建立一個新的大地坐標系，并命名為 1980 國家大地坐標系； （2）1980國家大地坐標系的大地原點固定在我國中部，具體選址是陜西省涇 陽縣永樂鎮(zhèn)；（3）采用國際大地測量和地

7、球物理聯(lián)合會 1975 年推薦的四個地球橢球基本參 數(shù)（ a,J2,GM, ） ，并根據(jù)這四個參數(shù)求解橢球扁率和其他參數(shù)。（4）1980 國家大地坐標系的橢球短軸平行于地球質(zhì)心指向我國地極原點JYD1968.0方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文臺的子午面；（5）橢球定位參數(shù)以我國范圍內(nèi)高程異常值平方和等于最小為條件求解。1980國家大地坐標系就是根據(jù)以上原則在 1954 年北京坐標系基礎(chǔ)上建立起來 的。1980 國家大地坐標系的特點是：(6) 采用 1975年國際大地測量與地球物理聯(lián)合會( IUGG)第 16 屆大會上推薦 的 4 個橢球基本參數(shù)。地球橢球長半徑 a=6 378 140

8、m ，地心引力參數(shù) GM=3.986 005×1014 m3 s2 ，地球重力場二階帶球諧系數(shù) J2 =1.082 63×10 8，地球自轉(zhuǎn)角速度 7.292115 10 5 rad s。根據(jù)物理大地測量學中的有關(guān)公式，可由上述 4 個參數(shù)算得 地球橢球扁率 a=1/298.257 ， 赤道的正常重力值 0 9.78032m s2 。(7) 參心大地坐標系是在 1954 年北京坐標系基礎(chǔ)上建立起來的。(8) 橢球面同似大地水準面在我國境內(nèi)最為密合，是多點定位。(9) 定向明確。 橢球短軸平行于地球質(zhì)心指向地極原點 JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我國起始天文子午

9、面， X Y Z 0 。(10) 大地原點地處我國中部，位于西安市以北 60km處的涇陽縣永樂鎮(zhèn)，簡稱 西安原點。(11) 大地高程基準采用 1956 年黃海高程系。精度高，點位中誤差± 0.84m。2. 坐標的換帶計算為了限制高斯投影長度變形， 將橢球面按一定經(jīng)度的子午線劃分成不同的投 影帶；或者為了抵償長度變形，選擇某一經(jīng)度的子午線作為測區(qū)的中央子午線。 由于中央子午線的經(jīng)度不同， 使得橢球面上統(tǒng)一的大地坐標系， 變成了各自獨立 的平面直角坐標系， 就需要將一個投影帶的平面直角坐標系， 換算成另外一個投 影帶的平面直角坐標，稱為坐標換帶。2.1 坐標換帶的方法坐標換帶有直接換帶計

10、算法和間接換帶計算法兩種。 目前采用間接換帶計算 法，因此下面僅就此方法作一介紹。如將第一帶(東帶或西帶)的平面坐標換算為第二帶(西帶或東帶)的平面坐標，方法是先根據(jù)第一帶的平面坐標 x,y 和中央子午線的經(jīng)度 L。按高斯投影坐標反算公式求得大地坐標 B,L然后根據(jù) B,L 和第二帶的中央子午線經(jīng)度 按高 斯投影坐標正算公式求得在第二帶中的平面坐標 x', y' 。由于在換帶計算中， 把 橢球面上的大地坐標作為過渡坐標， 因而稱為間接換帶法。 這種方法理論上是嚴 密的，精度高，而且通用性強，他適用于 6°帶與 6°帶， 3°帶與 3°帶，

11、 6° 帶與 3°帶之間的坐標換帶。如圖所示，圖( a)是 P 點在帶平面直角坐標系的投影，它的平面直角坐 標是 P( x, y)1 ；圖(b)是該 P點在帶平面直角坐標系的投影，它的平面直角坐 標是 P(x, y)2 。假若已知 P(x, y)1要求 P( x, y) 2 ，或已知 P(x, y)2要求 P(x, y)1 ，這 就是所謂的鄰帶坐標換算。利用高斯投影正反算公式進行鄰帶坐標換算的實質(zhì)是把橢球面上的大地坐 標作為過渡坐標。其解法是，首先利用高斯投影坐標反算公式，根據(jù)(x,y)1 換算成橢球面大地坐標 (B,l1)，進而得到 L L10 l1。然后再由大地坐標 (

12、B,l2) ，利用 高斯投影坐標正算公式，根據(jù) (B,l2) 計算該點在度帶的平面直角坐標 (x,y)2， 但在這一步計算時，要根據(jù)第帶的中央子午線的經(jīng)度 L02 計算 P 點在第帶的2.2 坐標換帶的實際應(yīng)用在生產(chǎn)實踐中通常有以下兩種情況需要換帶計算1） 控制網(wǎng)中的已知點位于相鄰的兩個投影帶中。如圖一圖一：坐標換帶示意圖）中的附合導線，A,B,C,D 為已知高 級點。 A,B 兩點位于西帶內(nèi)，具有西帶的高斯平面直角坐標值； C,D兩點位于東 帶內(nèi)，具有東帶的高斯平面直角坐標值。 在坐標平差計算時， 就必須將它們的坐 標系統(tǒng)統(tǒng)一起來， 或是將 A,B 點的西帶坐標值換算至東帶， 或是將 C,D

13、 點的東帶 坐標值換算至西帶。（ 2） 國家控制點的坐標通常是 6°帶的坐標，而在工程測量中往往需要采用帶或 1.5 °帶，這就產(chǎn)生了 6°帶與 帶或 1.5 °帶之間的坐標換算問題。我們知道， 帶的中央子午線中，有半數(shù)與 6°帶的中央子午線重合。所以，由 6°帶到 3°帶的換算區(qū)分為 2 種情況： 3 °帶與 6 °帶的中央子午線重合 如圖二所示， 3 °帶第圖二：坐標換帶示意圖）41帶與 6°第 21 帶的中央子午線重合。既然中央子午線一致，坐標系統(tǒng)也就一致。所以，圖中P1 點在

14、6°帶第21 帶的坐標，也就是該點在 3°帶第 41 帶的坐標。在這種情況下， 6°帶與 3° 帶之間，不存在換帶計算問題。 3 °帶中央子午線與 6°帶分帶子午線不重合如圖所示， 若已知 P2 點在 6°帶 第 21 帶的坐標，求它在 3 °帶第 42 帶的坐標。由于這 2 個投影帶的中央子午線 不同，坐標系統(tǒng)不一致，必須進行換帶計算。不過 P2點在 6°帶第 21 帶的坐標 與它在 3°第 41 帶的坐標相同，所以 6°帶到 3°帶坐標換算，也可看作是 3° 帶

15、到 3°帶的鄰帶坐標換算。換帶計算目前廣泛采用高斯投影坐標正反算方法 ，他適用于任何情況下的 換帶計算工作。這種方法的程序是：首先將某投影帶的已知平面坐標 (x1,y1) ,按 高斯投影坐標反算公式求得其大地坐標 (B,L);然后根據(jù)緯度 B 和對于所選定的 中央子午線的經(jīng)差, 按高斯投影坐標正算公式求其在選定的投影帶的平面坐標 (x2, y2) 。例如，某點 A在新 54坐標系 6°帶的平面坐標為 x2 =3589644.287 y2 =20679136.439求 A 點在 3°帶的平面直角坐標( x2,y2 ) .首先確定 A 點所在投影帶中央子午線經(jīng)度。 由

16、橫坐標的規(guī)定值可以直接判定， A點位于 6°帶第 20 帶，其中央子午線經(jīng)度 L。=117°，橫坐標的自然值為 y1=679136.493-500000=+179136.439m; 該坐標等同于 3°帶第 39帶的平面坐標。其次將已知的 6°帶坐標反算為大地坐標。為此，可直接應(yīng)用坐標反算公式 進行計算，其結(jié)果為B=32°24 57.6522 L=118 °54 15.2206 由大地經(jīng)度 L可判斷， A點位于 3°第 40帶，中央子午線為 L。=120°。最后根據(jù)高斯投影坐標正算公式， 由已知的緯度 B 和經(jīng)度 計

17、算 A 點在 3°帶 第 40 帶的平面直角坐標，得x2 =3588576.591 y2 =40396922.874其中橫坐標 y2 為規(guī)定值。3. 坐標系轉(zhuǎn)換首先，我們要弄清楚幾種坐標表示方法。大致有三種坐標表示方法：經(jīng)緯度 和高程，空間直角坐標，平面坐標和高程。我們通常說的西安 80 坐標是經(jīng)緯度和高程這一種， 北京 54 坐標是平面坐標和高 程著一種?，F(xiàn)在，再搞清楚轉(zhuǎn)換的嚴密性問題，在同一個橢球里的轉(zhuǎn)換都是嚴密的，而 在不同的橢球之間的轉(zhuǎn)換這時不嚴密的。舉個例子，在西安坐標和北京 54 坐標 之間是不存在一套轉(zhuǎn)換參數(shù)可以全國通用的， 在每個地方會不一樣， 因為它們是 兩個不同的

18、橢球基準。那么，兩個橢球間的坐標轉(zhuǎn)換應(yīng)該是怎樣的呢？一般而言比較嚴密的是用七 參數(shù)法，即 X平移， Y平移，Z平移，X旋轉(zhuǎn)，Y旋轉(zhuǎn)， Z 旋轉(zhuǎn)，尺度變化 K。要 求得七參數(shù)就需要在一個地區(qū)需要 3個以上的已知點，如果區(qū)域范圍不大， 最遠 點間的距離不大于 30Km（經(jīng)驗值） ，這可以用三參數(shù)， 即 X平移，Y平移，Z平移， 而將 X旋轉(zhuǎn)， Y旋轉(zhuǎn)， Z旋轉(zhuǎn)，尺度變化 K視為 0，所以三參數(shù)只是七參數(shù)的一 種特例。在本軟件中提供了計算三參數(shù)、七參數(shù)的功能。在一個橢球的不同坐標系中轉(zhuǎn)換需要用到四參數(shù)轉(zhuǎn)換，舉個例子，在深圳既 有北京 54 坐標又有深圳坐標，在這兩種坐標之間轉(zhuǎn)換就用到四參數(shù)，計算四參

19、 數(shù)需要兩個已知點。下面舉例子說明：在湖北有一個測區(qū)，需要完成北京 54 坐標系到西安 80坐 標系的轉(zhuǎn)換，整個轉(zhuǎn)換過程是：坐標系轉(zhuǎn)換北京 54 平面坐標七已知點轉(zhuǎn)換為空間坐標七參數(shù)計算七 已 知 點四 參 數(shù) 轉(zhuǎn) 換七參數(shù)轉(zhuǎn)換四 參 數(shù) 計 算80 西安坐標系3.1 四參數(shù)轉(zhuǎn)換如果區(qū)域范圍不大，可采用 4 參數(shù)方法計算坐標轉(zhuǎn)換，計算 4 參數(shù)法需要兩 個已知點的 80 和 54 兩套坐標。該方法計算簡單且在一定范圍內(nèi)計算結(jié)果精度較 高，有一定的實用性。四參數(shù)即兩個平移參數(shù)，一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，一個尺度參數(shù)，四參數(shù)沒有轉(zhuǎn)換模 型，是強制轉(zhuǎn)換。實例：湖北用戶在一個測區(qū)內(nèi)有一些點的北京 54 的坐標 ,

20、 現(xiàn)在希望將其轉(zhuǎn)換為國家 80 坐標。用戶有測區(qū)的七個 GPS C級點 (112.5 度帶)控制點，這些控制點既有 北京 54 坐標也有國家 80 坐標，轉(zhuǎn)換步驟為：參數(shù)計算首先在需進行坐標轉(zhuǎn)換的區(qū)域內(nèi)，選取兩個或兩個以上等級較高的國家一、 二等三角點，這兩個或兩個以上點需有 54 和 80 兩套坐標成果，然后計算出 4 參數(shù)既： X坐標平移量、 Y坐標平移量、坐標變換尺度比因子 K，旋轉(zhuǎn)角 (同 一條邊在新、舊網(wǎng)中坐標軸的交角，單位為弧度 ) 。其計算公式為：X 平移量 1 (x1 cosy1 sin )K平移量 Y1 ( y1 cosx1 sin )KatanK X1 ( X2 cosY4

21、xin )其中， X1、Y1、X2、Y2為轉(zhuǎn)換后的 80坐標， x1 、 y1 、 x2 、 y2為轉(zhuǎn)換前的坐標。X1 X1 X2X 2 x1 x2Y3 Y1 Y2Y4 y1 y2( X 2Y3 X1 Y4) ( X1X2 Y3 Y4)參數(shù)轉(zhuǎn)換坐標轉(zhuǎn)換計算公式：X80 X 平移量 X54Kcos Y54K sinY80 Y平移量 X54K sinY54K cos式中： X平移量 、 Y平移量 為平移參數(shù)、 K 為坐標變換尺度比因子，為旋轉(zhuǎn)角(單 位為弧度)， X54、 X 54為旋轉(zhuǎn)前 54坐標值， X80、Y80為旋轉(zhuǎn)后的 80坐標值3.2 七參數(shù)轉(zhuǎn)換采用七參數(shù)方法計算坐標轉(zhuǎn)換，主要是在較大

22、區(qū)域內(nèi)進行的，轉(zhuǎn)換需要在區(qū) 域內(nèi)有 3 個以上的已知點， 且在 3 個點要有 54和 80的兩套坐標， 最好是國家一 等三角點或高精度的 GPS點。七參數(shù)是三個平移參數(shù)，三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，一個尺度參數(shù)。進行基準轉(zhuǎn)換的算法也很多，較為常用的有布爾沙 - 沃爾夫( Bursa-Wolf ) 模型和莫洛金斯基(Molodensky)模型。在這里我們以布爾沙- 沃爾夫 ( Bursa-Wolf )模型為例祥述基準轉(zhuǎn)換的方法。布爾沙 - 沃爾夫模型(在我國被簡稱為布爾沙模型)又被稱為七參數(shù)轉(zhuǎn)換 ( 7-ParameterTransformation )或七參數(shù)赫爾默特變換( 7-ParameterHelme

23、rt Transformation ), 如下圖所示。在該模型中共采用了 7 個參數(shù)，分別是 3 個平 移參數(shù)TX 、 TY 、TZ ，3個旋轉(zhuǎn)參數(shù) X、 Y、 Z (也被稱為 3 個歐拉角)和一個尺度參數(shù) m 。假設(shè)有兩個分別基于不同基準的空間直角坐標系 OA X AYAZA和K X ( X2cosY2xin )atan( X 2Y3 X1 Y4) ( X1X2 Y3 Y4 )OB X BYB Z B ，采用布爾沙模型將 X80 X平移量 X54K cosY54K sin 下坐標Y80 Y平移量 X54K sin Y54K cosx1y1x2y2轉(zhuǎn)換為 OB XBYBZB 下坐標的步驟是：(

24、1) 從 X A正向看向原點 OA，以O(shè)A點為固定旋轉(zhuǎn)點，將 OA XAYAZA繞 XA軸逆 時針旋轉(zhuǎn) XA,B 角，使經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的 YA軸與 OB X BYB ZB平面平行；(2) 從YA正向看向原點 OA，以O(shè)A點為固定旋轉(zhuǎn)點， 將OA X AYAZA繞YA軸逆時 針旋轉(zhuǎn) YA,B 角，使經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的 XA 軸與OB XBYBZB 平面平行。顯然，此時 ZA 軸也與 ZB 軸平行；(3) 從ZA正向看向原點 OA，以 OA點為固定旋轉(zhuǎn)點，將 OA XAYAZA繞ZA軸逆 時針旋轉(zhuǎn) ZA,B角，使經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的 XA軸與 X B軸平行。顯然，此時 OA XAYAZA 的三個坐標軸已與 OB X

25、BYB ZB 中相應(yīng)的坐標軸平行；(4) 將OA X AYAZ A中的長度單位縮放 1 m倍，使其與 OB X BYB ZB的長度單位 一致；(5) 將OA X AYAZ A的原點分別沿 XA、YA和ZA軸移動 TXA,B、 TYA,B 和 TZA,B ， 使其與 OB XBYBZB 的原點重合。可用數(shù)學公式將該轉(zhuǎn)換過程表達如下：XBTXA,BXAYBYA,B(1m)R3( ZA,B)R2(YA,B)R1(XA,B )YAZBZ A ,BZA式中：XA，YA，ZA和 XB，YB，ZB為某點分別在 OA XAYAZA和OB XBYBZB下的坐 標：XA,B， YA,B， ZA,B為由OA XAYAZA轉(zhuǎn)換到 OB X BYBZ B的旋轉(zhuǎn)參數(shù)； mA,B為由OA XAYAZA轉(zhuǎn)換到 OB XBYBZB的尺度參數(shù)；TXA,B，TYA,B ，TZA,B 為由OA X AYAZ A轉(zhuǎn)換到 OB X BYB Z B的平移參數(shù)；R1(XA,B ) 0cos X A,Bsin X A,B， R2 (YA ,B )R3 (ZA,B )0