第8屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答

1、第8屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答（1975年于德意志民主共和國的居斯特羅）【題1】一根桿以恒定的角速度繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿與軸的夾角為（900）。質(zhì)量為m的質(zhì)點可以沿桿滑動，摩擦系數(shù)為 。求轉(zhuǎn)動過程中，質(zhì)點保持在同一高度的條件（如圖8.1）。解：我們發(fā)現(xiàn)，采用所謂“滑動摩擦角”概念是有用的。如果滑動摩擦系數(shù)等于某一角度的正切值，就稱這個角為“滑動摩擦角”（如解圖8.1所示），即tan 我們必須求出把物體壓向平臺的合力。如果合力與平面法線之間的夾角在滑動摩擦角之內(nèi)，則摩擦力大到足以阻止運動。極限情形是合力與摩擦角的一臂重合。對于本題，當我們尋找質(zhì)點在旋轉(zhuǎn)桿上向上滑動的極限情況時，合力應位于（）角

2、的雙臂內(nèi)（如解圖8.2所示）。 圖8.11,3,5 解圖8.1 解圖8.2把質(zhì)點壓在桿上的力是重力mg與m2rm2Lcos的合力。故質(zhì)點在向上滑動的極限情形下，角（）的正切為同理，質(zhì)點向下滑動的極限情形可用角（）的正切得到。于是，如果則質(zhì)點在旋轉(zhuǎn)桿上處于平衡。從邊界條件可以看出，存在著一個較高位置（Lf）和一個較低位置（La），質(zhì)點在這兩位置之間的任何地方將處于隨遇 解圖8.3平衡狀態(tài)。在這兩邊界之外，質(zhì)點無法平衡，質(zhì)點將向上或向下滑動。隨遇平衡位置LfLa可由邊界條件導出：解圖8.3對不同的角，畫出質(zhì)點在桿上哪些部分處于隨遇 平衡，（取10 s-1，0.268，150）。虛線表示無摩擦時質(zhì)點

3、非穩(wěn)定平衡位置?！绢}2】求出厚透鏡對兩個不同波長有同一焦距的條件，并就不同類型的透鏡討論可行性。 解答：我們必須知道厚透鏡的性質(zhì)。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征：球形表面的半徑r1和r2，厚度d和折射率n（如解圖8.4所示）。焦距fB F由下式給出焦距是從主點B算起的。B點離表面的距離為解圖8.4上述公式對任意厚度的厚透鏡都成立，但只對近軸光線才給出滿意的結(jié)果，因為是在一定的近似下得到的。光被透鏡色散。透鏡對波長 a的折射率是n a，對波長 b的折射率是n b。按折射率的冪次整理焦距公式，得f（r1r2d）n22fdf（r1 r2）r1r 2nf d0這是一個二次方程。給定一個f值，應有兩個n值，因此，

4、我們的問題可望解決。先后以n a和n b代入方程，并令其相等：結(jié)果得出如果半徑r1、r2與厚度d滿足這一條件，則對兩個不同的波長，即對兩個不同的折射率來說，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘積n an b在起作用，而不是色散（n bn a）。因為折射率大于，于是括號內(nèi)的數(shù)值小于，說明半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡是相當厚的。結(jié)果討論：首先透鏡不能是平凸或平凹的，因為這種透鏡有無限大的半徑。其次，r1和r2之一為負的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡。如果要求的不是f而是（fh）對兩個折射率有相同的值（注：即要求消除焦點色差），實現(xiàn)這一點也是可能的，但卻是一個復雜得多的問題。【題3】質(zhì)量為m的一簇

5、離子在P點以同一速度v向不同方向散開（如圖8.2）。垂直紙面的均勻磁場B將這些離子聚焦于R點，距離PR2a，離子的軌道應是對稱的。試確定磁場區(qū)的邊界。解：在磁場B中，作用于電量為Q、速度為v的質(zhì)點上的洛侖茲力為Q v B。結(jié)果使粒子在半徑為r的圓軌道上運動，即：質(zhì)量為m的所有粒子都在半徑為圖8.2的相同的圓軌道上運動。離開磁場后，它們將沿最后的切線方向直線飛行。磁場邊界應按所有離子都打在同一點R的要求去尋找。要解決的數(shù)學問題是，粒子應從這些半徑為r的圓的何處離開，才能使它們的切線在R點相交。這些半徑為r的圓的圓心都位于y軸上（如解圖8.5所示）在半徑為r的圓軌道上運動的粒子，在坐標為（x，y）

6、的A點離開磁場，沿切線飛向R。由相似三角形得到： 解 圖8.5圓的方程為消去（yb），得到滿足條件的A點的集合，因此，表示磁場邊界的函數(shù)為：這是一個四次函數(shù)。只要在第一象限畫出這個函數(shù)的曲線，把它對y軸反演即可。表示磁場邊界的函數(shù)的形式取決于給定的距離a和半徑r的相對大?。ㄒ娊鈭D8.6（a），（b），（c）。如果半徑r小于a（小速度強磁場），則磁場邊界無限延伸，向任何方向出發(fā)的離子也都能聚焦。如果半徑r等于a，所有的離子也都能聚焦。磁場邊界在P和R點處垂直出發(fā)，處在有限的范圍內(nèi)。如果半徑r大于a，邊界更為平坦。那些出發(fā)方向比P點切線更陡的離子不能達到R點。 解圖8.6（注：原文“向任何方向出的離子都能聚焦”的結(jié)論不妥。在ra時，v與x軸夾角大于900的離子無法聚焦。在ra時，“所有的離子也都能聚焦” 的結(jié)論也不妥。v與x軸夾角大于900的離子也無法聚焦。）【實驗題】測定有兩個接點的某一半導體器件的特性曲線。其最大允許負載為0.25W，可供使用的是：對所有量程內(nèi)阻均已知的兩個電表，一個9V的電池，一個可