第9章彈性桿件橫截面上的切應(yīng)力分析習(xí)題解

1、工程力學(xué)（1）習(xí)題全解第9章 彈性桿件橫截面上的切應(yīng)力分析91 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式()=Mx/Ip的應(yīng)用范圍有以下幾種，試判斷哪一種是正確的。（A）等截面圓軸，彈性范圍內(nèi)加載；（B）等截面圓軸；（C）等截面圓軸與橢圓軸；（D）等截面圓軸與橢圓軸，彈性范圍內(nèi)加載。正確答案是。 解：()=MxIp在推導(dǎo)時(shí)利用了等截面圓軸受扭后，其橫截面保持平面的假設(shè)，同時(shí)推導(dǎo)過(guò)程中還應(yīng)用了剪切胡克定律，要求在線彈性范圍加載。92 兩根長(zhǎng)度相等、直徑不等的圓軸承受相同的扭矩受扭后，軸表面上母線轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。設(shè)直徑大的軸和直徑小的軸的橫截面上的最大切應(yīng)力分別為1max和2max，切變模量分別為G1和G2。試判斷下列結(jié)論

2、的正確性。（A）1max2max；（B）1max2max；（C）若G1G2，則有1max2max；（D）若G1G2，則有1max2max。正確答案是解：因兩圓軸等長(zhǎng)，軸表面上母線轉(zhuǎn)過(guò)相同角度，指切應(yīng)變相同，即1=2=由剪切胡克定律=G知G1>G2時(shí)，1max>2max。93 承受相同扭矩且長(zhǎng)度相等的直徑為d1的實(shí)心圓軸與內(nèi)、外徑分別為d2、D2(=d2/D2)的空心圓軸，二者橫截面上的最大切應(yīng)力相等。關(guān)于二者重之比（W1/W2）有如下結(jié)論，試判斷哪一種是正確的。（A）(14)2；（B）(14)3(12)；（C）(14)(12)；（D）(14)2/(12)。正確答案是。解：由1max

3、=2max得16Mx3d1=16Mx3D2(14)（1）（2） d 即 1=(14)3 D2W1A1d12 =2W2A2D2(12)1（1）代入（2），得W1(14)= W2194 由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別且G1 = 2G2。圓軸尺寸如為G1和G2，圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間 44 習(xí)題9-4圖無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中所示的四種結(jié)論，試判斷哪一種是正確的。 正確答案是解：因內(nèi)、外層間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以交界面上切應(yīng)變相等1=2，因G1=2G2，由剪切胡克定律得交界面上：1=22。95圖示實(shí)心圓軸承受外扭轉(zhuǎn)力偶，其力偶矩T = 3kN·

4、;m。試求： 1軸橫截面上的最大切應(yīng)力；2軸橫截面上半徑r = 15mm以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比； 3去掉r = 15mm以內(nèi)部分，橫截面上的最大切應(yīng)力增加的百分比。MxTT3×103×16= 解：11max=70.7MPa WPWPd3×0.06316rMx2Mxr42 Mr=dA= 2d=A10IpIp4Mrr4r42216r41541=16×(=6.25% Mx4Ip6016d4d4432MT3 2max=x=75.4MPaWp14d31()216習(xí)題9-5圖=2max1max=1max1441()41=2=6.67%4151

5、(296 圖示開(kāi)口和閉口薄壁圓管橫截面的平均直徑均為D、壁厚均為，橫截面上的扭矩均為T(mén) = Mx。試：1證明閉口圓管受扭時(shí)橫截面上最大切應(yīng)力max2MxD23Mx習(xí)題9-6圖2證明開(kāi)口圓管受扭時(shí)橫截面上最大切應(yīng)力maxDDdA=D A222Mx=2Mx2 即：max=DD22D3畫(huà)出兩種情形下，切應(yīng)力沿壁厚方向的分布。 解：1Mx=max2由課本（818）式 max=3Mxhb2=3MxD2=3Mx2Dmax(a-1) (a-2) (b-1) (b-2)97 由同一材料制成的實(shí)心和空心圓軸，二者長(zhǎng)度和質(zhì)量均相等。設(shè)實(shí)心軸半徑為R0，空心圓軸的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，且R1/R2 = n，二

6、者所承受的外扭轉(zhuǎn)力偶矩分別為T(mén)s和Th。若二者橫截面上的最大切應(yīng)力相等，試證明：Tsn2=Th1+n2解：由已知長(zhǎng)度和質(zhì)量相等得面積相等： 4522R0=(R2R12)（1）（2）max= max=Tsd316=TsR302Th(2R2)3(1n4)16（3）由（2）、（3）式TsR3=304 （4） ThR2(1n)22由（1） R0=R2R12 代入（4）Ts=Th222(R2R1)3R2(1n4)=(122n)1n4=(1322n)(1n2)(1+n2)=n21+n298 直徑d = 25mm的鋼軸上焊有兩個(gè)凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)

7、力遇矩T = 73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G = 40MPa。試： 1分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒(méi)有內(nèi)力，二者如何平衡？ 2確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。 解：設(shè)軸受T = 73.6N·m時(shí)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為0 且d0T= （1） dxGIp1T撤消后，管受相對(duì)扭轉(zhuǎn)角2，則軸受相對(duì)扭轉(zhuǎn)角1=02，此時(shí)軸、管受扭矩大小相等，方向相反，整個(gè)系統(tǒng)平衡。 1+2=0 （2）TlMlMl=x+x GIp1GIp1GIp2Ip2Ip1+Ip2習(xí)題9-8圖（3） （4） Mx=MxMx=T （5）（6）

8、(a)hmax= Ip1 Ip2Ip2MxTTD=Wp2Ip1+Ip2Wp2Ip1+Ip22d4=(25)4×1012=38349.5×10123232D4=32D24×7541(D)=3272.54412121(75×10=393922×10m 將Ip1、Ip2值代入（6）得 管：hmax軸：smax75×1032=6.38MPa(38349.5+393922)×101273.6×25×393922×103Ip2TMxdd2=21.86 MPaIp12Ip1(Ip1+Ip2)2(38349.5

9、+393922)×38349.5×101273.6×*/(bIz)應(yīng)用于實(shí)心截面的條件，有下列論述，試分析 99 關(guān)于彎曲切應(yīng)力公式=FQSz哪一種是正確的。（A）細(xì)長(zhǎng)梁、橫截面保持平面； 46 （B）彎曲正應(yīng)力公式成立，切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布；（C）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，橫截面保持平面；（D）彈性范圍加載，橫截面保持平面。正確答案是 B 。*bIz)推導(dǎo)時(shí)應(yīng)用了局部截面的正應(yīng)力合成的軸力，該正應(yīng)力x則要求解：公式=FQSz彎曲正應(yīng)力公式成立；另外推導(dǎo)時(shí)在Fx=0時(shí)，應(yīng)用了沿截面寬度均勻分布假設(shè)。910 試判斷梁橫截面上的切應(yīng)力作用線必須沿截面邊界切線方向的

10、依據(jù)是：（A）橫截面保持平面；（B）不發(fā)生扭轉(zhuǎn)；（C）切應(yīng)力公式應(yīng)用條件；（D）切應(yīng)力互等定理。正確答案是 D 。911 槽形截面懸臂梁加載如圖示。圖中C為形心，O為彎曲中心。關(guān)于自由端截面位移有下列結(jié)論，試判斷哪一種是正確的。（A）只有向下的移動(dòng)，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)；（B）只繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；（C）向下移動(dòng)且繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；（D）向下移動(dòng)且繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。 正確答案是 D 。習(xí)題9-11圖912 等邊角鋼懸臂梁，受力如圖所示。關(guān)于截面A的位移有以下論述，試分析哪一種是正確的。（A）下移且繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)；（B）下移且繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)；（C）下移且繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)；（D）下移且繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。正確答案是 D

11、。 習(xí)題9-12圖 913 試判斷下列圖示的切應(yīng)力流方向哪一個(gè)是正確的。正確答案是。(a) (b) (c) (d) 習(xí)題9-13圖914 四種不同截面的懸臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如圖所示，圖中O為*/(bIz)計(jì)算橫截面上的彎曲中心。試分析哪幾種情形下可以直接應(yīng)用x=Mzy/Iz和=FQSz正應(yīng)力和切應(yīng)力。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。正確答案是。習(xí)題9-14圖 47915 梁的受力及橫截面尺寸如圖所示。試： 1繪出梁的剪力圖和彎矩圖；2確定梁內(nèi)橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力； 3確定梁內(nèi)橫截面上的最大

12、切應(yīng)力； 4畫(huà)出橫截面上的切應(yīng)力流。 解：1圖（a）：MA=0 8q×4×2+FRB4=0 FRB=18kNFy=0，F(xiàn)RA=22kN 剪力與彎矩圖如圖（b）、（c）； 2形心C位置80×20×10+80×20×60+60×20×110d= 80×20×2+60×20=55.45mmIz=80×20320×803+80×20×45.452+1212習(xí)題9-15圖RB(a)60×203+60×20×54.552 +20

13、×80×4.552+12=7.855758×10mm64(d)+= maxMmax×55.45×103 Iz33F =max16.2×10×55.45×10=114MPa7.855758×10M=max×64.55×103=133MPa IzzS3*zmax=80×20×45.45+(e)35.459320×35.45×=85287×10m2*FQSzmax(c)max= Iz22×103×85287×10

14、9=11.94MPa 20×10×7.855758×104切應(yīng)力流如圖（e）。916 木制懸臂梁，其截面由7塊木料用A、B兩種釘子連接而成，形狀如圖所示。梁在自由端承受沿鉛垂對(duì)稱(chēng)軸方向的集中力FP作用。已知FP = 6kN，Iz=1.504×109mm4；A種釘子的縱向間距為75mm，B種釘子的縱向間距為40mm，間距在圖中未標(biāo)出。試求： 1A類(lèi)釘子每個(gè)所受的剪力； 2B類(lèi)釘子每個(gè)所受的剪力。1解：Iz=(400×4003250×3003100×2003)12=1504166667mm43*SzA=100×50×150=750000mm A=*FQSzA Iz*FQSzA每根A種然受剪力： FQA=A×75×103=Iz×75×103=6×103×750000×109×75×103=224N1504166667×10123*=2×100×50×150+300×50&#