反比例函數(shù)與圖形的面積教案設(shè)計(jì)_鐘廣祥

1、第四屆全國(guó)中小學(xué)“教學(xué)中的互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用”優(yōu)秀教學(xué)案例評(píng)選活動(dòng)huohuo題目 設(shè)計(jì)者： 鐘廣祥學(xué)校： 廣東省廣州市番禺區(qū)石樓鎮(zhèn)蓮花山中學(xué) 時(shí)間： 2013年3月15日 參賽者個(gè)人資料姓名鐘廣祥學(xué)歷本科性別男職稱中學(xué)一級(jí)教師任教學(xué)科數(shù)學(xué)教齡23單位廣東省廣州市番禺區(qū)石樓鎮(zhèn)蓮花山中學(xué)通訊地址廣東省廣州市番禺區(qū)石樓鎮(zhèn)蓮花山中學(xué)電編511440郵箱ax986t一、教案背景1、面向?qū)W生： 中學(xué) 2、學(xué)科：數(shù)學(xué)3、課時(shí)： 1課時(shí)（40分鐘）4、年級(jí)：八班級(jí)（下） 或 九年級(jí)中考復(fù)習(xí) 5、版本 ：人教版 6、課型：專題復(fù)習(xí)課7、學(xué)生課前準(zhǔn)備：自我復(fù)習(xí)第十七章反比例函數(shù)內(nèi)容，獨(dú)立完成課

2、前小測(cè)題。二、教學(xué)課題: 反比例函數(shù)與圖形的面積三、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與能力目標(biāo)：1、了解反比例函數(shù)式中的K的幾何意義。 2、理解反比例函數(shù)與圖形面積的內(nèi)在聯(lián)系。3、掌握運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法雙向解決反比例函數(shù)與圖形的面積數(shù)學(xué)問題。過程與方法目標(biāo)：1、通過探索反比例函數(shù)與圖形面積的內(nèi)在聯(lián)系，理解反比例函數(shù)表達(dá)式的中K的幾何意義。2、在解決問題的過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的重要地位。3、經(jīng)歷探索反比例函數(shù)與圖形面積的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)函數(shù)的思想與建模的思想在數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用。情感態(tài)度與價(jià)值觀：1、在小組交流學(xué)習(xí)活動(dòng)中學(xué)會(huì)與人合作獲得成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和樂于探究的良好品質(zhì)。2、在探究活動(dòng)中

3、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)類比和數(shù)學(xué)建模思想。感悟數(shù)形結(jié)合思想方法。3、在問題變式中感受函數(shù)圖象的簡(jiǎn)潔美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。欣賞和感悟，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)：探索反比例函數(shù)式中的K與圖形的面積聯(lián)系。教學(xué)難點(diǎn)：分析圖象中信息來(lái)確定K與圖形面積的關(guān)系。教學(xué)準(zhǔn)備：為了拓寬備課視野，提高課堂教學(xué)效率，借鑒網(wǎng)上同行教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整合創(chuàng)新。通過百度搜索在互聯(lián)網(wǎng)上瀏覽了以下資料以作參考，同時(shí)也可作為學(xué)生上課意猶未盡之后的回顧與補(bǔ)充。1、反比例函數(shù)與圖形面積2、中考復(fù)習(xí)專題 反比例函數(shù)與圖形面積3、反比例函數(shù)中的面積問題4、幾何畫板軟件下載地址： 四、教材分析人教版第十七章反比例函

4、數(shù)是在學(xué)完第六章平面直角坐標(biāo)系和第十四章一次函數(shù)的基礎(chǔ)上再加深的函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)，教材只安排8個(gè)課時(shí)掌握其概念、圖象和性質(zhì)，以及用反比例函數(shù)分析和解決實(shí)際問題等抽象的新知。大部分學(xué)生實(shí)在有點(diǎn)吃不消，有點(diǎn)水過鴨背的感覺。而反比例函數(shù)的圖象與幾何圖形往往結(jié)合緊密，如何識(shí)別圖象中信息來(lái)解決數(shù)學(xué)問題對(duì)初學(xué)反比例函數(shù)的八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一大難點(diǎn)，也是近幾年各省市中考數(shù)學(xué)試題中的熱點(diǎn)方向。而這類以反比例函數(shù)為背景的圖形面積題型在教材中沒有系統(tǒng)呈現(xiàn)，但在教輔資料、考題中常見，學(xué)生在解此類題型由于缺乏方法而頗感吃力，但它的掌握又直接影響到后續(xù)的二次函數(shù)的學(xué)習(xí)及中學(xué)會(huì)考。我結(jié)合平時(shí)教學(xué)并參考了網(wǎng)上資源而設(shè)計(jì)了本節(jié)課，

5、作為此章知識(shí)學(xué)習(xí)的拓展和補(bǔ)充，五、設(shè)計(jì)理念義務(wù)教育數(shù)學(xué)（7-9年級(jí)）教學(xué)指導(dǎo)意見（2012年版）提到：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流，獲得知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下的生動(dòng)活潑地、主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)；要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材；要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，有效地實(shí)施有差異的教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都得到充分的發(fā)展?；诖苏J(rèn)識(shí)本課設(shè)計(jì)圍繞反比例函數(shù)中K的幾何意義解決簡(jiǎn)單的圖形面積問題為中心，利用互聯(lián)網(wǎng)百度有關(guān)資源加以整合和拓展，通過情景引入小組探究反思小結(jié)學(xué)以致用自

6、我提高等一系列活動(dòng)，采用以“遞進(jìn)探究法”為主，類比法、變式教學(xué)法、分組合作交流法、多媒體輔助教學(xué)等多種方法相結(jié)合，充分關(guān)注學(xué)生的個(gè)性差異，因材施教，由易到難突出重點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、探索、交流，獲得解決反比例函數(shù)與圖形面積問題的技能，意在幫助學(xué)生理順知識(shí)體系，歸納解題要點(diǎn)及方法。教學(xué)中注重師生雙邊活動(dòng)、小組交流突破難點(diǎn)，激發(fā)不同層次的學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，而學(xué)生更可借助互聯(lián)網(wǎng)上資源進(jìn)行二次學(xué)習(xí)與拓展，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生建立起自信心，逐次營(yíng)造“會(huì)學(xué)”、“樂學(xué)”的氛圍來(lái)達(dá)成本課教學(xué)目標(biāo)。六、教學(xué)方法：遞進(jìn)探究法 類比法，合作交流法，變式教學(xué)法，多媒體

7、輔助教學(xué)法七、教學(xué)過程：（一）課前小測(cè)(限時(shí)4分鐘)：1、一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（-2，-1），則該反比例函數(shù)的解析式是_ 2、已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的取值范圍是 。3、已知點(diǎn)A（，2）在雙曲線上，則 。4、函數(shù)是反比例函數(shù)，則 .。【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生課前獨(dú)立完成。【教師活動(dòng)】上課請(qǐng)一學(xué)生講解分析，注意第4題解答，學(xué)生填沒有考慮易錯(cuò)。【參考答案】1、 2、， 3、 -1 4、 -1 【設(shè)計(jì)意圖】課前小測(cè)旨在喚起學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)解析式變式，形式再認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生即時(shí)回顧反比例函數(shù)概念、意義及其圖像性質(zhì)，為學(xué)習(xí)本節(jié)課打好基礎(chǔ)。（二）、【情景引入】(5分鐘)【教師活動(dòng)】通過幾何畫板

8、展示下圖：動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)上，PA軸于A點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P變化對(duì)APO面積的影響，并板出本節(jié)課題。進(jìn)而提出問題：1、點(diǎn)在反比例圖象上移動(dòng)，三角形OPA面積怎樣變化?2、改變（正負(fù)）的值三角形OPA面積又怎樣變化？【學(xué)生活動(dòng)】觀察情景，回顧舊知，歸納：此三角形的面積不受P點(diǎn)位置影響，它是的一半（K的幾何意義）。了解反比例函數(shù)K的幾何意義：【教師活動(dòng)】引導(dǎo)全體學(xué)生得出結(jié)論，并提問學(xué)生怎樣得出？認(rèn)清其關(guān)系：，這是本節(jié)課開端又是重點(diǎn)的地方，教師一定要強(qiáng)調(diào)加深認(rèn)識(shí)！【設(shè)計(jì)意圖】通過運(yùn)用多媒體幾何畫板軟件動(dòng)解反比例函數(shù)與圖形的面積，直觀清晰地揭示圖形面積與K的變化規(guī)律，并結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)，使其認(rèn)識(shí)到K的幾何意

9、義，從而切入本節(jié)課解決的中心問題。（二）、小組探究（15分鐘）【探究1】例1、反比例函數(shù)的圖像如圖1所示，點(diǎn)M是該函數(shù)圖像上一點(diǎn)，MN垂直于x軸，垂足是點(diǎn)N，如果，則k的值為 .（反比例函數(shù)與三角形）【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)情景展示得出K的幾何意義，并注意到函數(shù)所在的象限，較易得到本題答案， 【師生活動(dòng)】形成解決此類問題方法，熟知?！咀兪?】：如圖2，已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，軸、軸，垂足分別為A、B，則矩形OAPB的面積為 . （反比例函數(shù)與矩形）【變式2】如圖3，已知點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，軸于B，OC=AB,則四邊形OCBA的面積為 . 【變式3】、如圖4，P是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)B，

10、點(diǎn)A在軸上，的面積為2，則K的值為 【答案：變式1：2；變式2：3；變式3：4】【學(xué)生活動(dòng)】三題變式演練，初試身手，嘗試成功。變式1抓住矩形由兩個(gè)直角三形組成，變式2四邊形OCBA為兩個(gè)全等三角形，而變式3則抓住三角形面積計(jì)算式即可通過思考、比較，輕易得出答案。【設(shè)計(jì)意圖】例1設(shè)置是情景展示的初步理解與再現(xiàn)，一方面引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)入本節(jié)課，讓學(xué)困生初嘗自我能解決問題而獲得成功感，另一方面通過簡(jiǎn)單的圖形變式，使其進(jìn)一步拓寬K與圖形面積的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)圖形面積與K的關(guān)系認(rèn)識(shí)。【即時(shí)反饋】1、反比例函數(shù)的圖像如圖5所示，點(diǎn)A是該函數(shù)圖像上一點(diǎn)，AB垂直于軸，垂足是點(diǎn)N，如果，則k的值為 .2、如圖6

11、，已知點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，軸、軸，垂足分別為C、B，則矩形OCAB的面積為 . 【答案：1、 8；2、 6 】【學(xué)生活動(dòng)】自我檢測(cè)，運(yùn)用剛掌握的知識(shí)完成上兩題，結(jié)合各自答案舉手互證?！窘處熁顒?dòng)】根據(jù)學(xué)生的完成情況及時(shí)補(bǔ)充?！驹O(shè)計(jì)意圖】設(shè)置兩小題同類題型訓(xùn)練，讓學(xué)生尋找圖形中的“不同中的相同”找出問題的所在，進(jìn)而解決問題，旨在喚起中下生的自信心，既實(shí)時(shí)了解學(xué)生掌握情況，又能達(dá)到即時(shí)鞏固目的，為解決探究2的積聚自信心。【探究2】例2 如圖7，反比例函數(shù)的圖像與直線相交于A、B兩點(diǎn)，ACy軸，BCx軸，則ABC的面積等于 個(gè)面積單位. 【答案:10】【學(xué)生活動(dòng)】分組討論，小組內(nèi)自我分析圖形：或找三角

12、形的高及底，或分拆三角形，結(jié)合反比例函數(shù)解析式中K的幾何意義，問題得以解決。【教師活動(dòng)】適當(dāng)給予小組引導(dǎo)提示。視頻教學(xué)分析: 【設(shè)計(jì)意圖】引領(lǐng)學(xué)生層層遞進(jìn)式學(xué)習(xí)，用圖形的延展性逐步拓寬學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的螺旋上升。借助網(wǎng)上視頻分析，讓所有學(xué)生都興奮地參與探索、合作交流，繼而興趣盎然地投入下兩變式題思考：【變式1】如圖8，直線與雙曲線交于點(diǎn)A、B. 過點(diǎn)A作AMx軸，垂足為點(diǎn)M連接BM. 若，則k的值是 .【答案：1】【變式2】如圖9，直線與雙曲線交于點(diǎn)A、B過點(diǎn)A、B分別作AMx軸、BNx軸，垂足分別為M、N，連接BM、AN. 若SAMBN=1，則k的值是 .（反比例函數(shù)與平行四邊形）【

13、答案：】【學(xué)生活動(dòng)】再試身手，以小組合作形式積極探尋解答的方法。 【教師活動(dòng)】適時(shí)給予小組提點(diǎn)：變式1抓住反比例函數(shù)上A,B兩點(diǎn)關(guān)于O對(duì)稱知AMO與BOM等底等高面積相等，變式2則是在變式1的基礎(chǔ)上延伸（對(duì)稱性），從而打開思路。以助學(xué)生小走彎路?！驹O(shè)計(jì)意圖】：通過圖形的變式，把問題逐次遞進(jìn)，讓學(xué)生下自主探究中漸次總結(jié)，積累方法，從而逐步突破本節(jié)課難點(diǎn)。（三）、反思小結(jié)、提升自我（5分鐘）【教師活動(dòng)】提出問題：學(xué)習(xí)至此你有什么收獲？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：1、抓住圖形的特點(diǎn)進(jìn)行分解與合并；2、從K的幾何意義入手；3、結(jié)合反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱的性質(zhì)。積極評(píng)價(jià)不同層次的學(xué)生（小組）對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不同認(rèn)識(shí)，及時(shí)肯

14、定其閃光思維。【學(xué)生活動(dòng)】積極思考總結(jié)，互相補(bǔ)充，學(xué)有所得，以便今后解題觸類旁通?！驹O(shè)計(jì)意圖】師生互動(dòng)，針對(duì)本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)中所運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合法等進(jìn)行小結(jié)、反思。加深對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)生自主拓展知識(shí)和分析、解決問題的能力。（四）、學(xué)以致用，突破自我：（10分鐘）【探究3】例3、如圖8，已知雙曲線經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且四邊形OEBF的面積為2，則k= . 【答案:2】【學(xué)生活動(dòng)】結(jié)合圖中的信息，由各小組派出代表講解?！窘處熁顒?dòng)】適時(shí)糾正，點(diǎn)撥：矩形OABC的面積可看作，AOF，COE的面積和即為K，矩形OABC的面積？考慮F為AB的中點(diǎn)，其面積應(yīng)為4個(gè)AO

15、F的面積。 【本題變式拓展視頻】 【設(shè)計(jì)意圖】通過問題的設(shè)置，讓學(xué)生思維分層遞進(jìn)，由易到難，由簡(jiǎn)到繁，旨在呼喚每一位學(xué)生都來(lái)參與解決此問題以能培養(yǎng)小組合作學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)腦動(dòng)手動(dòng)口能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的！這里借助網(wǎng)上視頻教學(xué)對(duì)題目拓展！培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。（五）、自我提高，拓寬視野(5分鐘)【展示】如圖11，在軸的正半軸上依次截取，過點(diǎn)分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，得直角三角形并設(shè)其面積分別為則的值為 （此題為2012年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷第10小題）【學(xué)生活動(dòng)】：綜合運(yùn)用所學(xué)分析圖形特點(diǎn)，構(gòu)造圖形解決問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】以“培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、探究、合作”為

16、達(dá)成目標(biāo)，針對(duì)思維能力較好的學(xué)生提供拓展練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生見題即入題的習(xí)慣。以能提高學(xué)生的解題能力。（六）、自主評(píng)價(jià)：學(xué)習(xí)效果調(diào)查效果選項(xiàng)自我選擇教師評(píng)價(jià)學(xué)生簽字：A.很容易學(xué)（ ）優(yōu)B.較容易學(xué)（ ）良C.學(xué)得一般（ ）中D.會(huì)一點(diǎn)點(diǎn)（ ）仍需努力我的困惑和疑問再學(xué)習(xí)參考網(wǎng)址：1、反比例函數(shù)與幾何圖形的面積2、反比例函數(shù)與圖形面積 【設(shè)計(jì)意圖】本課由于課堂時(shí)間的限制及留足空間學(xué)生再思考，可引導(dǎo)學(xué)生通過互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行二次學(xué)習(xí)。3、拓展參考（七）板書設(shè)計(jì)：課題：反比例函數(shù)與圖形面積例1例2例3（八）、分層作業(yè)【設(shè)計(jì)意圖】義務(wù)教育數(shù)學(xué)（7-9年級(jí)）教學(xué)指導(dǎo)意見（2012年版）指出：要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，有

17、效地實(shí)施有差異的教學(xué)，讓每個(gè)學(xué)生都得到充分的發(fā)展。所給的課后作業(yè)盡可能地讓所有的學(xué)生都能參與，并堅(jiān)持學(xué)生作業(yè)合理負(fù)擔(dān)、嚴(yán)格控制學(xué)生課外作業(yè)量，故作如下設(shè)計(jì)，以能鞏固本節(jié)知識(shí)?；A(chǔ)題1、如圖12，點(diǎn)、是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過、兩點(diǎn)向軸、圖12軸作垂線段，若則 2、如圖13，A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)D在軸上，的面積為2，則K的值為 圖13中等題3、如圖14，過反比例函數(shù)(x0)圖象上任意兩點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)OA、OB，設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為E，圖14AOE與梯形ECDB的面積分別為，試比較的大小.4、如圖15所示，A（，）、B（，）、C（，）是函數(shù)

18、的圖象在第一象限分支上的三個(gè)點(diǎn)，且，過A、B、C三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它們的面積分別圖15為S1、S2、S3，試比較的大小.圖9八、教學(xué)反思回顧本節(jié)課的教學(xué)過程：課堂開端教師用幾何畫板展示動(dòng)態(tài)圖形吸引學(xué)生，提出問題1、點(diǎn)在反比例圖象上移動(dòng)，OPA面積怎樣變化？2、改變K的值OPA面積又怎樣變化？即時(shí)觸動(dòng)學(xué)生的思維，進(jìn)而回憶舊知：反比例函數(shù)有關(guān)的知識(shí)，切入問題自然，目的明確，繼而在師生的雙邊活動(dòng)中學(xué)生通過類比方法輕易解決例題1，此時(shí)幾乎讓所有學(xué)生都獲得成功感，課堂氣氛自然活躍起來(lái)，在學(xué)生意猶未盡的情況下立即讓學(xué)生初試變式題及即時(shí)反饋，過程緊湊不失時(shí)機(jī)，全程以反比例函數(shù)與圖形面積問題為中心通過舉例、變式，由易到難，由淺入深，層層遞進(jìn)，不斷激蕩學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，不斷增強(qiáng)學(xué)生的自信心：根據(jù)已知條件及圖像信息運(yùn)用熟形結(jié)合思想解決問題，在不斷總結(jié)方法的同時(shí)獲得更豐富的解題思想。讓學(xué)生達(dá)到變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。最后設(shè)置了提高題及課后作業(yè)，關(guān)注到學(xué)生的差異，讓優(yōu)生“吃得飽”學(xué)困生“有得吃”，充分體現(xiàn)隱性分層教學(xué)的思想。課上完了，意未盡，本課成功在于：1、利用互聯(lián)網(wǎng)資源進(jìn)行選材把學(xué)生零散的知識(shí)歸類進(jìn)行系統(tǒng)再分析，歸納解題方法，為學(xué)以致用提供指路明燈。對(duì)于課堂掌握較慢的學(xué)生可借助互