導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用【自主歸納，自我查驗(yàn)】一、自主歸納1 .利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系若,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增加的.(2)若,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減少的.若_,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù).2 .利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟求f'x).(2)在定義域內(nèi)解不等式f'x)>0或f'x)<0.(3)根據(jù)結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.3 .函數(shù)的極大值在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)白函數(shù)值都x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)xO為函數(shù)y=f(x)的

2、極大值點(diǎn)，其函數(shù)值f(xO)為函數(shù)的極大值.4 .函數(shù)的極小值在包含xo的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)白函數(shù)值都x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0xo為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).5 .函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)1 .函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都f(xo).2 .函數(shù)y=f(x)在a,b上的最小值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都f(xo).二、自我查驗(yàn)1 .函數(shù)f(x)=x+elnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(0,+8)B.(8,0)C.(&q

3、uot;0)和(0,+8)d.R2 .若函數(shù)f(x)=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是.3 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9在x=3時(shí)取得極值，則a等于()A.2B.3D. 55.函數(shù)yln x的最大值為(B- e【典型例題】考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例1】(2015高考全國(guó)卷n )已知函數(shù)f(x)= ln x+ a(1 x).討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最

4、大值大于2a 2時(shí)，求a的取值范圍.【變式訓(xùn)練1 已知f x x3 ax2 a2x 2.(1)若a 1時(shí)，求曲線y f x在點(diǎn)1,f 1處的切線方程;(2)若a 0,求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間.C.4考點(diǎn)二利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)極值問(wèn)題【例2】已知函數(shù)fxlnxax3,aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【變式訓(xùn)練2】(2011安徽段忖:三卡，其中a為正實(shí)數(shù).當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn);1十a(chǎn)x3考點(diǎn)三利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題2【例3】已知a為實(shí)數(shù)，fx(x4)(xa).(1)求導(dǎo)數(shù)fx；(2)若f10,求fx在2,2上的最大值和最小值【應(yīng)用體驗(yàn)】1.函數(shù)yxlnx的單調(diào)遞

5、減區(qū)間為()A.1,1B,0,C. 1,D.0,12 .函數(shù)fxxex的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(1,)B.(,1)C.(,1)D.(1,)3 .函數(shù)fxx3ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.0,3B.1,4C.2,D.,2、一，一24 .設(shè)函數(shù)fxlnx,則()x.1A-x一為fx的極大值點(diǎn)2r1，,，一，B.x一為fx的極小值點(diǎn)2C.x2為fx的極大值點(diǎn)D.x2為fx的極小值點(diǎn)325 .函數(shù)f（x）2x3xa的極大值為6,那么a的值是（）A.0B.1C.5D.6【復(fù)習(xí)與鞏固】A組夯實(shí)基礎(chǔ)一、選擇題1.已知定義在 R上的函數(shù)f x ,其導(dǎo)函數(shù)x的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）19B.fbf

6、afeD. fcfefd2.函數(shù)f xx2 aln x在x 1處取得極值，則a等于（A.2B.2C.4D.43 .函數(shù)fxexx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間1,1上的最大值是()A.1+-B.1eC.e+1D.e-1二、填空題4 .若函數(shù)fxx3xc 2 3x ax .5.右函數(shù)f x x 在x 0處取得極值，則 a的值為.e6.函數(shù)f(x) ex x在1,1上的最小值是 . 三、解答題 2，一.7.已知函數(shù)f x x In x,求函數(shù)f x的單倜區(qū)間x8.已知函數(shù)f x ax,x 1 .In x(1)若f x在1,上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;若a 2,求函數(shù)f x的極小值.mx1是R上

7、的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是B組能力提升、選擇題21n數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間a 1,a 1內(nèi)不是單調(diào)函2)B.5141,2D.1,22 .若函數(shù)y2ax0,1內(nèi)無(wú)極值，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是(B.,0,0D.3 .若函數(shù)f1,1上有最大值3,則該函數(shù)在 1,1上的最小值是()1212二、填空題4 .已知函數(shù)1 f(x)=2x2 + 2ax ln x,1若f(x)在區(qū)間32上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為5 .設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)=x32ax2+a2x的兩個(gè)極值點(diǎn)，若x1<2<x2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是6 .若函數(shù)f(x)=x2-ex-ax在

8、R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是三、解答題7 .已知函數(shù)f(x)=x21nx-x+1,g(x)=ex(21nx-x).(1)若函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求g(x)的最大值.8 .設(shè)函數(shù)f(x)=(x1)exkx2(其中kCR).(1)當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)當(dāng)kC0,+8)時(shí)，證明函數(shù)f(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn).導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)答案一.自主歸納1.(1)f'(x)>0(2)f'(x)<0(3)f'(x)=03.小于4 .大于極值5 .不超過(guò)不小于二.自我查驗(yàn)1 .解析：函數(shù)定義域?yàn)?/p>

9、(0,+00),f'(x)=1+e>0,故單調(diào)增區(qū)間是(0,+00).x答案：A2 .解析：=f(x)=x3+x2+mx+1,f'(x)=3x2+2x+m又f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，f'(x)>0包成立，.A=412m<0,即m>；3答案：1,+0033 .解析：導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，左側(cè)圖象在x軸下方，右側(cè)圖象在x軸上方的只有一個(gè)，故選A.答案：A4 .解析：f'(x)=3x2+2ax+3,由題意知f'(3)=0,即3X(3)2+2X(-3)a+3=0,解得a=5.答案：D5.A【解析】ylnxy1_n

10、x,令y1ln-x0xe,當(dāng)x(0,e)時(shí)函xxx數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x(e,)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，ymax-e1故選Ae'三.典型例題1_一,【例題1】(1)f(x)的止義域?yàn)?0,+oo),f(x)=-a.右a<0,則f(x)>0,x所以f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)xC0,1時(shí)，f'(x)>0；a當(dāng)xe1,+8時(shí)，f'(x)<0.所以f(x)在0,1單調(diào)遞增，aa，1、，、在+00單調(diào)遞減.a1一(2)由(1)知，當(dāng)a00時(shí)，乂)在(0,+8)無(wú)最大值；當(dāng)a>0時(shí)，£")在乂=-處a取得最大值，最大值為

11、f1=ln1+a11=lna+a-1.aaa1一一因止匕f二>2a2等價(jià)于Ina+a1<0.a令g(a)=lna+a1,則g(a)在(0,+00)單調(diào)遞增，g(1)=0.于是，當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1).【變式訓(xùn)練1(1)當(dāng)a1時(shí)，fxx3x2x2,fx3x22x1,切線斜率為k f 14 ,又f 13, 切點(diǎn)坐標(biāo)為1,3 , 所求切線方程為y 3 4 x 1 ,即 4x y 1 0.f xQ a 0, 33x2 2ax a2x a 3x a ,由 f xa.由f x 0,得x a或x a,由

12、f30 ,得 x a 或 x -.3x 0,得 a x -.3函數(shù)f x的單調(diào)遞減區(qū)間為a, a ,單調(diào)遞增區(qū)間為311x【例題2(1)當(dāng)a1時(shí)，fxlnxx3,fx-1x0,xx令fx0,解得0x1,所以函數(shù)fx在(0,1)上單調(diào)遞增；令f x 0,解得x 1 ,所以函數(shù)f x在1,上單調(diào)遞減;f x - a. x上包成立，所以函數(shù)f x在0, 上單調(diào)1一 1x 1 ,所以函數(shù)f x在0,；上單調(diào)遞增;所以當(dāng)x1時(shí)取極大值，極大值為f12,無(wú)極小值.(2)函數(shù)fx的定義域?yàn)?,1當(dāng)a0時(shí)，f(x)-a0在0,x遞增；當(dāng)a0時(shí)，令fx0,解得01一.1令fx0,解得x二所以函數(shù)fx在，上單調(diào)遞

13、減.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為0,;當(dāng)20時(shí)，函數(shù)fx1、一，、,的單調(diào)增區(qū)間為0,-,單調(diào)減區(qū)間為a【變式訓(xùn)練2】解對(duì)f(x)求導(dǎo)得貝U 4x28x + 3 = 0,一x1+ax22axr4rt一f(x)=e'1+ax22.當(dāng)a=3時(shí)，右f(x)=0,【例題3】1)f' x 2x(xa) (x24)3x22ax(2)由 f 1f(x)(x24)(x2)12，3x1x2 4x2f( 2)fmax(x)3x2f(2)f( 1)16920 5509 62750fmin (x) 27i31一一解得x1=2,x2=2.結(jié)合，可知x(一°°,12)12

14、13(2,2)323(1+OO)f'(x)十0一0十f(x)極大值極小值1J31所以x1=2是極小值點(diǎn)，x2=2是極大值點(diǎn)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng) x ( ,ln( 2a)【變式訓(xùn)練3】1)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ex2a0當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex2a,令ex2a0,得xln(2a)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(ln(2a),)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.(2)由(1)可知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ex2ax0,不符合題意.當(dāng)a0時(shí)，”乂)在(，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a),)上單調(diào)遞增.當(dāng)ln(2a)1,IP|a0時(shí)，f(x)最小值為f(1)2ae

15、.e.解2ae0,得a符合題意.2e當(dāng)ln(2a)1,即a萬(wàn)時(shí)，f(x)最小值為f(ln(2a)2a2aln(2a),解2a2aln(2a)0,得ae,不符合題意.應(yīng)用體驗(yàn)：1 .D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?,，令y所以x 0,1 ,故選D.考點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2 .A【解析】導(dǎo)數(shù)為f x ex x ex區(qū)間為1,.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3 .C【解析】f x ex x 3 ex ex x所以函數(shù)f x的單調(diào)增區(qū)間為2,4 .【解析】f x 今注，由f x x x當(dāng)0 x 2時(shí)，f x 0, f x遞減,1 x 11 0,解得x 0,1 ,又x 0, x x1 xex,令f x 0

16、,得x 1 ,所以減2 ,令 f x ex x 20,解得 x 2,.故選C.x 0得x 2,又函數(shù)定義域?yàn)?,當(dāng)x 2時(shí)，f x 0, f x遞增，因此x2是函數(shù)fx的極小值點(diǎn).故選D.考點(diǎn)：函數(shù)的極值點(diǎn).5.D【解析】Qf(x)2x33x2a,fx6x26x6xx1,令fx0,可得x0,1,容易判斷極大值為f0a6.考點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值.復(fù)習(xí)與鞏固A組1.C【解析】由fx圖象可知函數(shù)fx在，c上單調(diào)遞增，在c,e上單調(diào)遞減，在e,上單調(diào)遞增，又a,b,c,c，且abc,故fcfbfa.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性并比較大小.2.B【解析】fx2xa,由題意可得f121a2a0,a2.故選B

17、.x1考點(diǎn)：極值點(diǎn)問(wèn)題.3.D【解析】fxex1,令fx0,得x0.1.11又f0e001,f1e11,f111，且e11-e2=e 2e e0,所以f1,故選D.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值4.一,3【解析】由題意得f(x)0在R上恒成立，則fx3x22xm0,即m3x22x包成立.令gx3x22x,則mgxmax,因?yàn)間x3x22x為R上的二次函所以gxmax5.0【解析】x26xae3xx2eaxe2c3x6axxe由題意得0.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值.6.1【解析】因?yàn)閒（x）e0,f(x)0x0,所以f(x)在1,0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)ex*在1,1上的最小值

18、是f(0)e001.考點(diǎn)：函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).7.【解析】1x2lnx的定義域?yàn)?,21-，令fx0,貝Ux1或1（舍去）.當(dāng)01時(shí)，fx0,fx遞減，當(dāng)x1時(shí),fx0,fx遞增,的遞減區(qū)間是0,1,遞增區(qū)間是1,考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,、18.(1)a1(2)44、e【解析】（1）函數(shù)fxax,xlnxlnx1lna,由題意可得0在x1,上包成立，1ln2x1lnx1lnx1,lnx0,1.一一10時(shí)，函數(shù)t2lnx2(2)當(dāng) a 2時(shí)，f xxlnx121nx2x,fx2lnxInx1 （舍去），即x ee.令fx0,得21n2xInx10,解彳#1nx2或Inx2當(dāng)ixve時(shí)，f

19、xo,當(dāng)xve時(shí)，fxo,fx的極小值為fee4n.B組1.D13【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fxx211nx3在區(qū)間a1,a1上不單調(diào)，所以22,fx2x4x1在區(qū)間a1,a1上有零點(diǎn)，2x2x,，i1.由f x 0,得x ,則2a10,31 得1a3,故選D.a1a1,22考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.0 ,所以y x3 2ax a在0,1上單調(diào)2.C【解析】y3x22a,當(dāng)a0時(shí)，y遞增，在0,1內(nèi)無(wú)極值，所以a0符合題意；當(dāng)a0時(shí)，令y0,即02c八右刀/曰6a.6a也6a6a3x2a0,解得x1,x2，當(dāng)x,U,時(shí)，3 333y0,當(dāng)x強(qiáng)，恒時(shí)，y0,所以yx32axa的單調(diào)遞增區(qū)間為33限等

20、，單調(diào)遞減區(qū)間為手手，當(dāng)x好時(shí)原函數(shù)取得極大值，當(dāng)x退時(shí)，原函數(shù)取得極小值，要滿足原函數(shù)在0,1內(nèi)無(wú)極3值，需滿足年1,3U -2,解得ae.綜合得，a的取值范圍為,02故選C.考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)，分類討論思想3.C【解析】fx3x23x3xx1,當(dāng)fx0時(shí)，x1或x0,當(dāng)fx0時(shí)，0x1,所以fx在區(qū)間1,0上函數(shù)遞增，在區(qū)間0,1上函數(shù)遞減，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取得最大值f0a3,則fxx33x23,所以21 5一，一一1f11,f15,所以最小值是f11.2 22考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.一一一1,11,4.解析：由題意知f(x)=x+2a->0在4，2上恒成立，即2a>

21、x+-在x3x2 上恒成立，=一x+max="|,.2a"|,即a1*3 x333答案：4,+0035.解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及不等式的解法.由f'(x)=3x2a>2,4ax+a2=0得x1=二，x2=a.又x<2<x2,a2<a<6.3<232答案：(2,6)6 .解析：=f(x)=x2exax,f'(x)=2xexa,.函數(shù)f(x)=x2exax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，.f'(x)=2x-ex-a>0,即a02xex有解，設(shè)g(x)=2xex,則g'(x)=2ex,令g'(

22、x)=0,解得x=ln2,則當(dāng)x<ln2時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>ln2時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，.當(dāng)x=ln2時(shí)，g(x)取得最大值，且g(x)max=g(ln2)=2ln22,aw2ln2-2.答案：(8,2in2-2)7 .解：(1)由題意得x>0,f'(x)=12+4xx由函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)，得f'(x)>0,即a>2x-x2=-(x-1)2+1(x>0).因?yàn)橐?x1)2+1&1(當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)),所以a的取值范圍是1,+OO).2 2)g'(x)=ex21+2lnxx,由(1)得a=2時(shí)，f(x)=x2lnx-2+1,xx且f(x)在定義域上是增函數(shù)，又f(1)=0,所以，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)xC(1,+8)時(shí)，f(x)>0.所以，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)x(1,+8)時(shí),g'(x)<0.故當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得最大值一e.8 .解：(1)當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=(x-1)ex-x