熱物理過程的數(shù)值模擬-計(jì)算傳熱學(xué)1

1、熱物理過程的數(shù)值模擬Numerical Simulation of Thermophysics Process講稿主講：李隆鍵第一章 概 論11 流動(dòng)與傳熱過程的予測方法及特點(diǎn)流動(dòng)、傳熱、燃燒問題是熱工類各專業(yè)和機(jī)械類動(dòng)力機(jī)械專業(yè)所研究和解決的主要問題之一，燃燒問題實(shí)際上是有化學(xué)反應(yīng)的流動(dòng)與傳熱問題，推而廣之，在所有熱物理過程中，幾乎都涉及到流動(dòng)、傳熱問題。預(yù)測的重要性： 在規(guī)定設(shè)計(jì)參數(shù)的相應(yīng)的結(jié)構(gòu)下，熱物理過程是否滿足要求，達(dá)到預(yù)定的指標(biāo)？要預(yù)測； 優(yōu)化設(shè)計(jì)，不同方案的比較，要預(yù)測； 減少設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、再設(shè)計(jì)和再生產(chǎn)的費(fèi)用； 減少設(shè)計(jì)更改； 減少試驗(yàn)和測量次數(shù)。問題的核心：速度場、溫度場（傳熱

2、量）、濃度場等。一、熱物理問題的予測方法：理論分析法、實(shí)驗(yàn)測定、數(shù)值模擬1、理論分析以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，求解描述熱物理過程的定解問題，獲得函數(shù)形式的解，表示求解區(qū)域內(nèi)物理量連續(xù)分布的場（速度場、溫度場、濃度場）?？刂品匠?單值條件（數(shù)學(xué)模型）理論解（分析解，解析解）根據(jù)解的準(zhǔn)確程度，又可再分為：（1）精確分析解（嚴(yán)格解）特點(diǎn)：函數(shù)形式的解；它在求解區(qū)域精確地滿足定解問題。具體解法：直接積分法、分離變量法、積分變換法、熱源法、映射法。（2）近似分析解法特點(diǎn)：函數(shù)形式的解，在求解區(qū)域上近似地滿足定解問題（但在總量上滿足相應(yīng)的守恒原理，動(dòng)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒、質(zhì)量守恒）。具體解法：積分法（從積分

3、方程出發(fā)）變分近似解法攝動(dòng)法（從微分方程出發(fā)）2、實(shí)驗(yàn)測定（1）純實(shí)驗(yàn)法（2）相似理論實(shí)驗(yàn)法：同類相似，減少變量數(shù)目減少工作量，得到規(guī)律性結(jié)果，可直接應(yīng)用。（3）實(shí)驗(yàn)類比法：異類相似物理現(xiàn)象不同，規(guī)律相同：微分方程形式相同，單值性條件類似電熱類比，水熱類比3、數(shù)值模擬以數(shù)值計(jì)算方法為基礎(chǔ)，借助（利用）電子計(jì)算機(jī)求解物理過程的方法熱物理過程的數(shù)值模擬，對傳熱過程稱為傳熱的數(shù)值模擬、數(shù)值傳熱、計(jì)算傳熱。如前述，傳熱過程函蓋了流動(dòng)、燃燒，所以計(jì)算傳熱學(xué)實(shí)質(zhì)上就代表了熱物理過理過程的數(shù)值模擬。用電子計(jì)算機(jī)對熱物理問題進(jìn)行數(shù)值計(jì)算就象在實(shí)驗(yàn)室中對該現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測定一樣，可稱之為“數(shù)值實(shí)驗(yàn)”。隨著高速、大

4、容量電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，特別是微型計(jì)算機(jī)的普及和推廣，這種數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法越來越被更多的科技人員掌握和應(yīng)用，成為解決熱物理過程的一種重要方法。二、予測方法的比較與選擇1、分析解法（1）精確預(yù)測了數(shù)學(xué)模型所控制的的熱物理過程；（2）函數(shù)形式的解使得可以確定區(qū)域中任意位置物理量的大?。唬?）以顯函數(shù)的形式，展示各有關(guān)參量對該熱物理過程的影響；（4）由于是函數(shù)形式的解，便于進(jìn)一步的運(yùn)算、處理，例如求導(dǎo)、積分。 缺點(diǎn)：（1）獲得分析解的可能較?。唬?）即使能求得分析解，也常常是無究級數(shù)，特殊函數(shù)以及涉及特征值問題的超越函數(shù)，要得到具體的數(shù)值結(jié)果，也需要繁復(fù)的計(jì)算；（3）數(shù)學(xué)模型的結(jié)果也需要有實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。2、

5、實(shí)驗(yàn)方法（1）可以獲得熱物理過程可靠的數(shù)據(jù)資料；（2）全比例設(shè)備實(shí)驗(yàn)可予測由它完全復(fù)制的同類設(shè)備在相同條件下將如何運(yùn)行和變化；（3）是研究一種新的基本現(xiàn)象的唯一方法；（4）是檢驗(yàn)其它預(yù)測方法準(zhǔn)確程度的標(biāo)準(zhǔn)。缺點(diǎn)：（1）全比例實(shí)驗(yàn)代價(jià)大（投資，物力，人力，周期）；（2）縮小比例模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果的外推受準(zhǔn)則數(shù)實(shí)驗(yàn)范圍的限制，有些在全比例設(shè)備上才能出現(xiàn)的特征在縮小比例模型上并非總是能模擬（例如流動(dòng)的渦），降低了模型試驗(yàn)的效果；（3）測試?yán)щy及測量誤差；（4）有些過程無法預(yù)先進(jìn)行試驗(yàn)（航天，氣象預(yù)報(bào)）。3、數(shù)值模擬（1）成本低：在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算機(jī)運(yùn)算的成本要比相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究成本低好幾個(gè)數(shù)量級，對象

6、愈龐大，過程愈復(fù)雜，此優(yōu)點(diǎn)愈突出；同時(shí)，與大多數(shù)物品價(jià)格不斷上漲的趨勢相反，計(jì)算成本還會(huì)降低；（2）速度快，周期短；不同方案的對比計(jì)算和優(yōu)選，這對某些大型實(shí)驗(yàn)幾乎是不可能的。（3）信息完整：能提供計(jì)算區(qū)域內(nèi)所有各個(gè)位置上有關(guān)變量的值（速度、壓力、溫度、濃度等），而實(shí)驗(yàn)則不可能測出整個(gè)區(qū)域各點(diǎn)處所有變量的值。（4）具有模擬真實(shí)條件的能力：幾何條件、邊界條件、物性條件、初始條件 很容易模擬真實(shí)條件，不需要采用縮小模型或冷態(tài)實(shí)驗(yàn)，無論大小、高位，低溫、過程快、慢。（5）具有模擬理想條件的能力：對于研究物理現(xiàn)象而不是工程問題時(shí)，注意力集中幾個(gè)基本參數(shù)而要設(shè)法消除所有無關(guān)的因素。幾何條件（維數(shù)變化，尺寸

7、 ）、物性（常密度），BC （絕熱表面），ic （特定的初始溫度分布）。缺點(diǎn)：（1）數(shù)值模擬的對象是數(shù)學(xué)模型簡化處理，結(jié)果的準(zhǔn)確性有特價(jià)檢驗(yàn)；（2）對一些十分復(fù)雜的問題（幾何形狀復(fù)雜，強(qiáng)烈非線性、物性變化大），數(shù)值解可能很難獲得，或者即便可以獲得，代價(jià)也是相當(dāng)昂貴的，例如，對湍流問題，要想通過求解非穩(wěn)態(tài)N-S 方程來算出它們的全部與時(shí)間相關(guān)的結(jié)構(gòu)，則仍然是計(jì)算所不能及的；（3）對解的唯一判斷力較弱為了進(jìn)一步討論數(shù)值模擬的缺點(diǎn)，可以把所有的實(shí)際問題分成兩大類：A 類：有完整數(shù)學(xué)模型的一類問題，如熱傳導(dǎo)、層流問題、簡單的湍流邊界層問題；B 類：迄今無完整數(shù)學(xué)模型的一類問題，如復(fù)雜湍流、某些非牛頓流

8、體、某些兩相流動(dòng)等，問題的分類還有一標(biāo)準(zhǔn)問題，即描述到什么樣的程度可以認(rèn)為是“夠了”，“合適”的。A 類缺點(diǎn)：對這類問題，用計(jì)算機(jī)求解的優(yōu)越性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)研究。有數(shù)值模擬缺點(diǎn)的（2）、（3）兩條；在某些情況下也需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。對于此類問題，研究計(jì)算方法的目的在于使這些計(jì)算方法理加可靠、準(zhǔn)確和有效，隨著研究的進(jìn)展，其缺點(diǎn)將被不斷克服。B 類缺點(diǎn)：A 類的缺點(diǎn)B 類全有，此外，必須進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型的研究不斷地把B 類問題轉(zhuǎn)化為A 類：試算與修正。先提出一個(gè)模型計(jì)算求解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較修正模型，并不斷完善、湍流模型的最新發(fā)展就是這種轉(zhuǎn)換的一個(gè)典型例子，k-雙方程模型最初建立在科爾莫戈洛夫（

9、Kolmgorov ）(1942及普朗特（Prandtl ）(1945的工作基礎(chǔ)上的，但并未，也不可能付諸實(shí)現(xiàn)，只有到了20世紀(jì)70年代，當(dāng)計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法變得更加強(qiáng)有力的是候，該模型才逐步趨于完整并付諸實(shí)際應(yīng)用。4、方法的選擇三種方法或三種手段相輔相成，互為補(bǔ)充。（1）分析解可以為檢驗(yàn)數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確度提供比較依據(jù)；常常用有分析解的簡單問題檢驗(yàn)方法的準(zhǔn)確度；（2）簡單的解極解可以為發(fā)展數(shù)值方法中的某些算法提供理論依據(jù)，調(diào)和平均；（3）物理規(guī)律、數(shù)學(xué)模型的正確建立必須通過對現(xiàn)象的充分觀察和測定，n tl q -=等；（4）出現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型中的物性參數(shù)只有通過實(shí)驗(yàn)測定才能獲得。數(shù)值模擬的對象是熱

10、物理過程的數(shù)學(xué)模型，所以其結(jié)果的準(zhǔn)確度首先取決于數(shù)學(xué)模型反映實(shí)際熱物理過程的準(zhǔn)確度（包括所用的特性參數(shù)），然后才是所采用的數(shù)值方法，計(jì)算機(jī)并不能創(chuàng)造信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，它只能把人們所送入的信息，按照計(jì)算者安排的程式對信息進(jìn)行加工、處理，從而得到相應(yīng)的結(jié)果。但是，一旦確立了與實(shí)際物理過程相符合的物理模型、數(shù)學(xué)模型、數(shù)值模擬又可以發(fā)揮很大的作用，它可以減少實(shí)驗(yàn)工作量，拓寬實(shí)驗(yàn)研究的范圍，實(shí)現(xiàn)對理想單值性條件的模擬；對那些耗資巨大，條件惡劣的實(shí)驗(yàn)，或者難于進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)來說，“數(shù)值實(shí)驗(yàn)”更是一種有吸引力的輔助或替代手段。理論分析，實(shí)驗(yàn)測定和數(shù)值模擬有機(jī)而協(xié)調(diào)地結(jié)合，是研究熱物理過程理想而有效的方法。12 本

11、課程的內(nèi)容及安排一、內(nèi)容兩個(gè)組成部分1. 理論部分： 基礎(chǔ)理論（數(shù)學(xué)物理、數(shù)值方法）熱物理過程的數(shù)值模擬：通用性，并以熱傳導(dǎo)、對流換熱、流場的計(jì)算為例，推廣到通用控制方程所描述的其它現(xiàn)象。論述方式的特點(diǎn)：（1）強(qiáng)調(diào)物理的概念和方法，而不過分倚重純數(shù)學(xué)的推導(dǎo)。（2）以一維為基礎(chǔ)，推廣（擴(kuò)展）到二維、三維。2、實(shí)踐性環(huán)節(jié)：一個(gè)課程設(shè)計(jì)，程序設(shè)計(jì)，視情況而定。二、授課方式改變注入式，實(shí)行啟發(fā)式，培養(yǎng)自學(xué)能力。三、教材、參考書1、S V 帕坦卡著、張政譯（郭寬良譯），“傳熱與流體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算”。（Numerical Heat Transfer and Fouid Flow），科學(xué)出版社，1984。2

12、，陶文銓編著，數(shù)值傳熱學(xué)，西安交通學(xué)大出版社，1988。第二章 物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述數(shù)值計(jì)算的對象過程的數(shù)學(xué)模型，核心是控制方程。 （數(shù)學(xué)模型：控制方程+單值性條件，？單值性條件）21控制微分方程1、控制微分方程的意義控制微分方程是一定守恒原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，影響因變量的各因素之間必定存在某種聯(lián)系?；貞泴?dǎo)熱方程：熱力學(xué)第一定律，對任意控制容積V ，導(dǎo)入控制容積的熱流量+控制容積中的內(nèi)發(fā)熱量=控制容積中物質(zhì)能量的增量。導(dǎo)入控制容積的凈熱流量-=AdA n q. ，控制容積內(nèi)的發(fā)熱量=vv v d q ，控制容積中物質(zhì)內(nèi)能的增量=v edv 。+-=+-=v v v v v v v A dvq dv

13、q dv e dvq dA n q dv e ( (散度定理：=vvvdv q dv q diV dA n qv v v v q q e d q q e +-=-+ (0 ( 非穩(wěn)態(tài)項(xiàng) 擴(kuò)散項(xiàng) 源項(xiàng)-=dv t p T p dt c de t e v v /(:比容，對常密度（不可壓縮）dtc de dv v = , 0v v q q t c +-=(物質(zhì)運(yùn)動(dòng)（流動(dòng)）時(shí)，增加：物體宏觀運(yùn)動(dòng)帶入的能量=-AdA n w e 壓縮機(jī)械動(dòng) =-vdv w p .粘性摩擦功 =vdv 2 (32(2w ij ij -'+=ij 流體的變形率張量'第二動(dòng)力粘度，體積粘度+-=+v q q

14、 w p w e e . ( (+-=+v q p w p e w w e e e ( (S q q p w p w e e w e v +-=+-=+ ( (+-=v q q w p D De. 對簡單可壓縮系統(tǒng)D d p D Dp D Dh D De p h e p e pv e h 211/, /, /+-=-=+=+= +-=+-v q q w p D D p D Dp D Dh +-+-=v q q w D D p D Dp D Dh . . ( =+-= (zhw y h v x h u h q q D Dp D Dh v h w h + =(w h h w t h + = (w

15、h h w h h += (h w h +-=+v q q D Dph w div h ( ( 非穩(wěn) 對流 擴(kuò)散對理想氣體及恒密度（固液）dp T v v d c dh p -+=， dt c dh p =，對固、液，忽略p 變化，0=dp則 ( ( (h c div h c q pp =-各項(xiàng)則代表著各因素在單位容積時(shí)的作用效果.(h 單位容積焓的變化率h w h w div (單位時(shí)間、單位面積、傳遞的焓。對流流量密度J C 單位容積流出的凈焓量s m J zJ y J x J divJ y x c +=32/2222 d ppJ h c h c div =-, (擴(kuò)散流量密度 (d J

16、div -D DP q S v /+= 源項(xiàng)s m J m W =33/2、化學(xué)組分方程 l M M m l l /=的質(zhì)量分量Mi M l /l d e l R J div m w div m +-=+( ( ( 擴(kuò)散流密：law Fick m J l l d -=l l l l l R m div m w div m +=+( ( ( 3、能量方程S h c div h w div h p+=+ ( ( ( 如果p c 為常數(shù)，OK 時(shí)h=0，則由T c h dt c dh p p =S t div t w c div t c p p +=+( ( (pp c st c div t w d

17、iv t +=+ ( ( (4、動(dòng)量方程：某方向上的動(dòng)量變化率u x F i -=，u 單位體積質(zhì)量x 方向的動(dòng)量，uu x x v B x p u u div u div u +-=+/ ( ( (，其它粘性力項(xiàng)，u u j d -=-=5、湍流的時(shí)間平均方程湍流：給定點(diǎn)處的物理量隨時(shí)間而變化，隨機(jī)性。工程上：關(guān)心的是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間平均特性非穩(wěn)定層流方程 的時(shí)間平均方程，滯流流動(dòng)的時(shí)間平均方程，假設(shè)湍流中存在相對于時(shí)均值的脈動(dòng)，平均化（時(shí)均化）運(yùn)算附加項(xiàng)，雷諾應(yīng)力（湍流熱流），湍流擴(kuò)散流量密度湍流模型，用平均性質(zhì)來表示的附加項(xiàng)。引入湍流粘度（湍流擴(kuò)散系數(shù)）滯流應(yīng)力，流量必度時(shí)均方程層流方程，

18、相應(yīng)的層流交換系數(shù)用有效系數(shù)代替。-R 模型-+=+G k div k w div k k ( ( (6、通用方程 （1）向量形式S div w div +=+( ( (對于不同的，有特定的、S 與之間相對應(yīng)。大多數(shù)的傳遞過程，擴(kuò)散流量密度Jd 因變量的梯度確定，-=d J 也有擴(kuò)散流量密度不由梯度支配的情形，這時(shí)可將其（J d ）并入S 中。連續(xù)性方程：0, 0, 10 (=+S w div （2）直角張量形式S x x u x j j j j +=+ 22(22 (22 (0 (=+j ju x 和法則：一項(xiàng)某下標(biāo)重復(fù)，則該下標(biāo)依次取1、2、3然后做和運(yùn)算。 如何把特定的控制微分方程改寫成

19、通用形式。把相關(guān)因變量的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，對流項(xiàng)及擴(kuò)散項(xiàng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式； 把擴(kuò)散項(xiàng)內(nèi)梯度前的系數(shù)取為的表達(dá)式；把其余所有項(xiàng)之和置于方程右端，定義為源項(xiàng)。通用方程可以是有量綱形式，也可以是無量綱形式，、S 也相應(yīng)無量綱化。 作用：通用方程通用數(shù)值方法公式通用計(jì)算機(jī)程度2-2 坐標(biāo)的性質(zhì)及控制方程的類型一、坐標(biāo)的性質(zhì)坐標(biāo)自變量。坐標(biāo)（系）或自變量的數(shù)目對問題的難易程度有很大影響，而對一定的問題而言，坐標(biāo)（自變量）數(shù)目是可變的，既可以用這個(gè)坐標(biāo)系來描述，又可以用別的坐標(biāo)系來描述。 1、自變量的作用： , , , ( , , , (z y x z y x t t =或 在數(shù)值計(jì)算中，將選擇用來計(jì)算值的自變量值

20、，所需計(jì)算值的位置的多少與自變量的數(shù)目有關(guān)，自變量數(shù)目所需計(jì)算的位置。因變量與自變量的相對性, , , ( , , , (t y x z z z y x t t =，適用于溫度場是坐標(biāo)的單調(diào)函數(shù)的情形。2、坐標(biāo)的選擇，原則：恰當(dāng)，合適。自變量數(shù)目最少的坐標(biāo)系網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)少。 （1）選擇最簡單的坐標(biāo)系圓柱（簡）中的軸對稱導(dǎo)熱： ( , (r t y x t 圓管內(nèi)的軸對稱流動(dòng)： , ( , , (z r t z y x （2）運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的概念， , , ( , , , (z y x z y x '''（3）利用充分發(fā)展的概念：存在這樣一個(gè)坐標(biāo)，當(dāng)過程發(fā)展到一定深度后，

21、因變量的無量綱分布與該坐標(biāo)無關(guān)。, (y x t t =，充分發(fā)展后(, (2 x t t y t t t t b b wb =-= 平面自由射流；(, (, /, /, , (x x u u y u u y x u u c c c = 但 (=（4）相似變換：減少自變量數(shù)目的變換統(tǒng)稱相似變換。半無限大物體（x 0）在1B.C. 下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：/, ( , (cx t y x t =3、坐標(biāo)的單、雙向性采用單向坐標(biāo)和雙向坐標(biāo)的概念，可以形象地描繪不同類型控制方程的物理作用上的區(qū)別。單向坐標(biāo)：在一個(gè)坐標(biāo)軸上，如果擾動(dòng)（或影響）只能向一個(gè)方向傳遞，則稱此坐標(biāo)為單向坐標(biāo)。何謂向一個(gè)方 向傳遞？坐標(biāo)

22、上任意給定位置處因變量之值只受該位置一側(cè)條件變化的影響，且該點(diǎn)因變量之值也只對其一側(cè)位置上的固變量值發(fā)生影響。（“拋物型”表示一種“單向作用”的概念）時(shí)間坐標(biāo)是一個(gè)典型的單向坐標(biāo)。 高溫固體的冷卻，其在某瞬時(shí)的溫度只受該瞬時(shí)以前的條件的影響。雙向坐標(biāo)：在一個(gè)坐標(biāo)軸上擾動(dòng)（或影響）可以向兩側(cè)傳遞，稱為雙向坐標(biāo)。 何謂向兩個(gè)方向傳遞？坐標(biāo)上任意給定位置處因變量之值要受該位置兩側(cè)條件變化的影響，且該處因變量之值也會(huì)對其兩側(cè)位置上的因變量值發(fā)生影響。空間坐標(biāo)是典型的雙向坐標(biāo)。但在一定條件下，空間坐標(biāo)也可以成為單向坐標(biāo)；在流體流動(dòng)時(shí)，如果在某一個(gè)坐標(biāo)上有很強(qiáng)的單向流動(dòng)，則重要的影響只能從上游傳播到下游，

23、某處狀態(tài)也主要受其上游條件的影響，受下游條件影響很小?？偨Y(jié)：對流是一種單向過程，而擴(kuò)散是一種雙向過程：在流體流動(dòng)時(shí)，二者同時(shí)存在，僅當(dāng)流作用很強(qiáng)（流量很大）時(shí)，擴(kuò)散作用可忽略不計(jì)，空間坐標(biāo)才近似成為單向坐標(biāo)。x=2=1=0xL 0 X二、控制方程的類型討論控制方程的類型對數(shù)值解的影響1、能量方程導(dǎo)熱：0 ( (=+v q S yty x t x S x tx t c+= ( 對流換熱：S h c div h w div h p+=+ ( ( ( （已假定：dt c dh p =） 若p c 常數(shù)，OK 時(shí)h=0，則T c h p = S t div t w c div t c p p +=+(

24、 ( (p p p p c St c div w t t w t t c S t c div t w div t +=+=+ ( ( ( ( (p p p p c S z t c z y t c y x t c x wt z vt y ut x t +=+ ( ( ( ( ( ( (pp p c Sz t c y x t c x z t w y t v x t u t +=+ ( (組成：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，對流項(xiàng)，擴(kuò)散項(xiàng)，源項(xiàng) 控制方程：微分容積中守恒原理的數(shù)學(xué)描述。2、能量方程的守恒性質(zhì)數(shù)值計(jì)算中的控制容積無論多么小，總是有限容積，而不是微分容積。 問題：對任意有限容積，控制方程是否也一定滿足守恒原

25、理。守恒型控制方程，對任意大小的有限容積能使守恒原理得到滿足的控制方程。 非 不能可以證明，在直角坐標(biāo)中，當(dāng)對流項(xiàng)為散度形式時(shí)，控制方程是守恒的。 S t div t w c div t c t p p +=+ ( ( ( 將上面的控制方程對任一有限容積V 作積分+=+v v v p v p Sdv dv t div dv t w c div dv t c t( ( ( 有限容積V 上的能量平衡原理的表達(dá)式： 單位時(shí)間內(nèi)有限容積中物質(zhì)內(nèi)能的增加量=-Ap dA n w c. 對流帶入的凈能量率=-=AAdA n q dA n t(導(dǎo)入的凈能量率生成的能量率若用非守恒型控制方程，有：+=+v v

26、 v p v p v p Sdv t div dv z t w c dv x t u c dv t c (+=+v v v v p p v p vp Sdv dv t div dv z t w c dv y t v c dv y t u c dv c t ( ( ( ( ( 簡證：取平行六面體 vp dv xtu c ( 3、控制方程的分類 （1）從數(shù)學(xué)上分類，限于二階偏微分方程，對二元二階線性偏微分方程， , (y x , (y x g f e d c b a y x yy xy xx =+下標(biāo)xy 表示對該變量的導(dǎo)數(shù)，, /, /, /22y x xx y xx x =y x y xy y

27、y =/, /222，a 、b 、c 、d 、e 、f 、是x 、y 的函數(shù)，對求解區(qū)域R ，方程的特性由系數(shù)ac b 42-之值決定042>-ac b ，在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)有兩條實(shí)的特征線 雙曲型 042=-ac b ，在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)有一條實(shí)的特征線 拋物型 042<-ac b ，在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)無實(shí)的特征線 橢圓型三類方程在數(shù)學(xué)上的主要區(qū)別：影響區(qū)域和依賴區(qū)區(qū)域不相同。 影響區(qū)域、依賴區(qū)域；R 中任一點(diǎn)P 的依賴區(qū)域，為了唯一定 (p 之道，必須給函數(shù)值的點(diǎn)B 依賴區(qū)'x域的集合；P 的影響區(qū)域： (P 變化時(shí)，函數(shù)值發(fā)生變化的點(diǎn)的集合。橢圓型方程（即求解區(qū)域上每一點(diǎn)都

28、是橢圓型的）：對于能量方程無非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，自變量與時(shí)間無關(guān)。特點(diǎn)：無特征線，任一點(diǎn)P 的依賴區(qū)域是包圍該點(diǎn)的區(qū)域封閉邊界曲線，而P 點(diǎn)的影響區(qū)域則是整個(gè)求解區(qū)域。邊值問題，對應(yīng)于物理學(xué)上的一類平衡問題，或穩(wěn)態(tài)問題。求解區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)處的因變量值是相互影響的，與雙向坐標(biāo)相聯(lián)系。 結(jié)果：離散代數(shù)方程必須聯(lián)立求解（直接解法或迭代解法），而不可能把區(qū)域中某一部分的值求得后再去確定其區(qū)域上的值。拋物型方程：因變量與時(shí)間有關(guān)，或問題中存在類擬于時(shí)間的自變量，與單向坐標(biāo)相聯(lián)系，能量方程有非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。對應(yīng)于：物理學(xué)上一類非平衡問題，或非穩(wěn)態(tài)問題，步進(jìn)問題。 特點(diǎn)：過區(qū)域中任一點(diǎn)P 有一條實(shí)特征線，其方向與單向坐標(biāo)相垂直

29、，如圖，P 點(diǎn)的依賴區(qū)域和影響區(qū)域以特征線為分界線。 對非穩(wěn)態(tài)問題：某一瞬間物體中的溫度（分布）取決于該瞬時(shí)以前的情況及邊界條件，而與該瞬時(shí)以后將要發(fā)生的情況無關(guān)，反之，某一時(shí)刻的溫度只影響此后的溫度分布邊界層類型的流動(dòng)與換熱：忽略主流方向的擴(kuò)散作用，下游的物理量（u,v,t ）取決于上游，上游 只會(huì)影響下游的物理量。 結(jié)果：不必將單向坐標(biāo)上所有位置處的離散方程聯(lián)立求解！只需從某一初始值出發(fā)，結(jié)合邊界條件，沿單向坐標(biāo)一步步向前推進(jìn)步進(jìn)法步進(jìn)問題。大量節(jié)省計(jì)算機(jī)的內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間，二維存儲(chǔ)一維，三維存儲(chǔ)二維。雙曲型方程：依賴和影響區(qū)域與拋物型方程相同，即：依賴區(qū)域位于運(yùn)動(dòng)方向的上游，影響區(qū)域位于下

30、游。不同之處：某點(diǎn)的依賴區(qū)域或影響區(qū)域，不是其上游或下游區(qū)域的全部，而只是過該點(diǎn)的兩條特征線之間的區(qū)域，如圖。例：無粘流體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，無粘流體的穩(wěn)態(tài)超音速流動(dòng)。 大多數(shù)工程導(dǎo)熱、對流換熱問題都屬于橢圓型或拋物型方程，本課程只限于討論這兩類方程。 （2）從物理現(xiàn)象上劃分在傳熱相應(yīng)于橢圓型與拋物型方程的物理過程，有專門的稱謂。拋物型有一個(gè)空間坐標(biāo)是單向坐標(biāo)邊界層型（流動(dòng)或換熱）問題； 橢圓型所有空間坐標(biāo)都是雙向的回流型（ ）問題。P ·RP 影響區(qū)域x (yP x 依賴區(qū)域 影響區(qū)域 (yx 0 xPP影響區(qū) 特征線依賴區(qū)B三、一維模型方程控制方程由四部分組成：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)、對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)

31、、源項(xiàng)。在研究建立離散方程和方法時(shí)，為了避免復(fù)雜化，不必著眼于完全的方程，只需把同一類型的項(xiàng)取出一項(xiàng)作為代表來分析，得到一個(gè)維非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散方程，即在對流換熱問題數(shù)值計(jì)算研究中廣泛采用的所謂一維模型方程。非守恒型：S x x x u +=+ ( 守恒型：S xx x u +=+ ( ( ( 廣義變量：u 、v 、w 、h 、c 等廣義擴(kuò)散系數(shù)，對于傳熱c /=S 廣義源項(xiàng)，代表一切不能歸并到非穩(wěn)、對流，擴(kuò)散項(xiàng)中去的量，不定是物理上的真正源項(xiàng)。對于導(dǎo)熱問題：S xhc x h += ( ( C=常數(shù)，由cdT cdT dh =S x t x t c S x t x t c +=+= ( ( (常

32、數(shù) 對流換熱S xhc x x uh t h +=+ ( ( ( C=常數(shù)，h=cTS xt c x x ut t S x t x x ut c t c '+=+=+ ( ( ( ( ( (第三章 離散化方法3-1傳熱問題數(shù)值求解的基本步驟一、數(shù)值解法的基本思想數(shù)值解法是一種離散近似的計(jì)算方法。這種方法得到的是求解區(qū)域中某些代表性位置上未知（待求）物理量（速度、溫度、濃度等）的近似值，而不是象分析解或近似分析解那樣的連續(xù)函數(shù)，“數(shù)值解法”一詞即由此而得名。 例：大平板（-L x L ）在第三類B.C. 下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱f i i f t t t x t -=-=, , (221x a

33、 = B.C. ： 0, 0, (, =±=xx or x L x i.C. ：i =, 0用分離變量法求解可得：. cos( cos( sin( sin( (exp212L xL L L L L Fo L m m m m m m m i +-=令 cos(cos sin sin exp(212LxFo L m m m m m m m m m =+-=式中，2La Fo =，m m , 分別是下列（特征）方程的根： /( (L Bi L tg m m =， 21, /, /, / (、m Bi ctg Bi tg Bi L L ctg m m m m m m =/L Bi =畢渥數(shù)，

34、物理意義，內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻/外部換熱熱阻對不同的Bi 值，有不同的m 值系列。2594. 162142. 132003. 102281. 73058. 44089. 1107713. 156453. 125293. 94373. 64256. 38603. 017143. 155743. 124354. 42991. 61731. 33111. 0001654321Bi結(jié)論：采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算不僅是求解tt it (X,L-Lx,a t t fc tg 0 /Bi33212 1偏微分方程的有力工具，而且對一些經(jīng)驗(yàn)公式和用無窮級數(shù)表示的分析解，也常常需要用計(jì)算機(jī)來獲得數(shù)值結(jié)果。如何進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，

35、基本思想？把原來在時(shí)間，空間坐標(biāo)上連續(xù)的物理量場（速度場，溫度場，濃度場等），用求解區(qū)域中有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，并按一定方式建立起關(guān)于這些值的代數(shù)方程，求解代數(shù)方程以獲得物理量場的離散近擬解。 二、基本步驟 例：長方柱體中的導(dǎo)熱，已知：穩(wěn)態(tài)，四個(gè)側(cè)表面各自維持均勻溫度，用數(shù)值方法求柱體中的溫度分布。 1建立物理模型，對問題作必要的簡化。 (1 假定涉及的溫度變化范圍不大，常物性； (2 柱體長度方向端部效應(yīng)忽略不計(jì)，= , (, 0/y x t t z t 二維問題穩(wěn)態(tài)：二維、常物性、無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題，1st B.C.。2. 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：控制方程+單值性條件 0/2222=

36、+y t x t2111, ; , :. . t t L x t t L x C B =-=4232, ; , t t L y t t L y =-=有的工程實(shí)際問題的模型化工作較難，需要對實(shí)際問題進(jìn)行仔細(xì)分析，還需要經(jīng)驗(yàn)。例：離散電阻片熱源t sat .a q w特點(diǎn)：溫度分布在一定的深度的不均勻，畸變溫度分布的不均勻性呈現(xiàn)周期性。所以只研究一個(gè)周期區(qū)間即可！3. 區(qū)域離散化：在計(jì)算區(qū)域中配置需要計(jì)算溫度的地點(diǎn)（位置）（稱為節(jié)點(diǎn)）這一步驟稱為區(qū)域離散化。4. 控制方程的離散化：按照一定的原則（通常是守恒原理），建立每個(gè)節(jié)點(diǎn)上未x知量（ ，溫度）與其鄰點(diǎn)上未知量之間的代數(shù)關(guān)系式（稱為離散方程）

37、控制方程的離散化。例如，由能量方程可以得出每一節(jié)點(diǎn)溫度與相鄰節(jié)點(diǎn)溫度之間的代數(shù)關(guān)系。5. 求解所得到的代數(shù)方程，獲得節(jié)點(diǎn)上的未知量之值。 6. 對所獲得的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析、比較和討論。 基本步驟框圖（流程圖）： 三、傳熱問題的主要數(shù)值方法1、有限差分法（Finte Difference Method, FDM） 2、有限元法（Finite Element method, FEM） 3、邊界元法（Boundary Element Method, BEM） 4、有限分析法（Finite Analysis Method, FAM）應(yīng)用最多的是有限差分法，與有限元法相比，差分法占有一定優(yōu)勢： 方法發(fā)展

38、的成熟程度；實(shí)施的難易程度；應(yīng)用的廣泛性。3-2 區(qū)域離散化方法定義：用一系列與坐標(biāo)軸平行的曲線將計(jì)算區(qū)域劃分成很多互不重疊的子區(qū)域，并選定每個(gè)子區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)的過程。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)可視為相應(yīng)微小容積（稱為控制容積）的代表，控制容積的邊界稱為界面（常用虛線表示）。沿坐標(biāo)軸方向聯(lián)結(jié)相鄰兩節(jié)點(diǎn)而形成的曲線簇稱為網(wǎng)格線（常用實(shí)線表示）。一、分類 根據(jù)節(jié)點(diǎn)在子區(qū)域中的位置進(jìn)行劃分1、外節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)位于子區(qū)域的頂點(diǎn) 用直線簇劃分出子區(qū)域。節(jié)點(diǎn)：子區(qū)域的頂點(diǎn)即直線簇的突點(diǎn) 網(wǎng)線線：直線簇界面：網(wǎng)格間距（相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的網(wǎng)格線P wx B =0段）的中垂線；控制容積：不是子區(qū)域特點(diǎn)：子區(qū)域與控制容積不重合，先確定節(jié)點(diǎn)

39、，后確定界面，practiceA ，方法A2、內(nèi)節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)不在控制容積中心，節(jié)點(diǎn)位于子區(qū)域的中心 界面：劃分子區(qū)域的直線簇 控制容積：=子區(qū)域 節(jié)點(diǎn)：控制容積的中心 網(wǎng)格線：特點(diǎn)：先定界面，后d 定節(jié)點(diǎn),practiceB 方法B 。二、網(wǎng)格系統(tǒng)的標(biāo)記方法 以二維為例 1 i-j-n 系統(tǒng) 、j i-1,jtn i,jn+1 i,j 2 P 、E 、W 、N 、S 系統(tǒng)t 0 ptp 節(jié)點(diǎn)間距（網(wǎng)格間距）y x , ，界面間距y x ,對于均分網(wǎng)格：y y x x =, ，內(nèi)、外節(jié)點(diǎn)法的節(jié)點(diǎn)分布在區(qū)域內(nèi)部趨于一致。例：一維網(wǎng)格系統(tǒng)x21+ii+1EePi Wi-121-i(x ）e +(x w

40、三、兩種區(qū)域離散化方法的比較1、邊界節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積不相同A ：0B x ，能更好地考慮邊界節(jié)點(diǎn)之間的傳熱作用，更符合實(shí)際；B ：0=B x ，不能考慮邊界節(jié)點(diǎn)之間的傳熱作用，（適合于今后處理2、3類B.C. 的附加源項(xiàng)法）2、網(wǎng)格不均勻時(shí) 界面位置A ：界面位于相鄰兩節(jié)點(diǎn)正中間： B 、否對導(dǎo)熱量計(jì)算的準(zhǔn)確度不相同ep E x t t x t (- E 節(jié)點(diǎn)位置A ：不在控制容積中心 B ：在控制容積中心、對求解區(qū)域內(nèi)材料物性突變的適應(yīng)能力不同 A:B: 易方便地將物性發(fā)生階躍變化的交界面作為控制容積的界面，從而使同一控制容積內(nèi)的物性保持均勻一致。 4、對B 、C 突變的適應(yīng)能力不同A

41、：不便于適應(yīng)B ：便于適應(yīng)結(jié)論：兩種方法都得到應(yīng)用，但當(dāng)有材料物性突變時(shí)，建議采用內(nèi)節(jié)點(diǎn)法。1B.C 3B.C213-3 建立離散方程的方法建立離散方程的常用方法有四種，即泰勒（Taylor ）級數(shù)展開法、多項(xiàng)式擬合法、控制容積積分法及平衡法，這里主要介紹泰勒級數(shù)展開法和控制容積積分法。一、泰勒（Taylor ）級數(shù)展示法 定義：把控制方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達(dá)式來代替而形成離散方程的方法。由于各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式可以由泰勒級數(shù)展開而導(dǎo)出，故名曰泰勒級數(shù)展開法。以一維模型方程為例S xt x t c += ( （1） 為簡便計(jì)，假定為常數(shù)S xt t c +=22 （2）1、導(dǎo)數(shù)的差分表

42、達(dá)式建立均勻時(shí)間空間網(wǎng)格：在x-坐標(biāo)系的求解區(qū)域中，用x x =, 劃分網(wǎng)格，把 , (x t 在時(shí)一空網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)（i ，n ）處之值記為t(i,n, 相應(yīng)地有, 1(n i t +、 , 1(n i t -將 , ( , 1(, , 1(n i t n i t n i t 對-+作泰勒級數(shù)展開：+=+ (! 31! 21 , ( , 1(3, 33232, x x t x x t x x tn i t n i t ni n i .（3）+-+-=-3, 33232, (! 31 (! 21 , ( , 1(x x t x x t x x tn i t n i t ni n i （4）由式（3

43、）移項(xiàng)可得(, ( , 1(21 , ( , 1(, 22, x o xn i t n i t x x tx n i t n i t xtni n i +-+-+=同理，由式（4）移項(xiàng)可得(, 1( , (21 , 1( , (, 22, x o xn i t n i t x x tx n i t n i t xt ni n i +-+-=由式（3）式（4）可得 (n+2(n+1(ni-1ii+1 22(02, 1( , 1( (! 312 , 1( , 1(22, 33, x xn i t n i t x x tx n i t n i t xt ni n i +-+=+-+=說明：O （rd

44、er ）表示數(shù)量級之意，O （x ）,O(x 2表示未寫出的高階項(xiàng)之和的數(shù)量級，常稱為截?cái)嗾`差。O(x 表示截?cái)嗾`是x 的數(shù)量級，O(x 2則表示截?cái)嗾`差是（x 2）的數(shù)量級。特別注意，O （x ）并未給出截?cái)嗾`差的準(zhǔn)確值，而只表明截?cái)嗾`差是如何隨x 0而變小的，例如O （x ）即表示截?cái)嗾`差隨x 0而按x 減小，O(x 2則表示截?cái)嗾`差隨x 0而按（x 2）減小。所以O(shè)(x 2比O （x ）高一個(gè)x 的階，當(dāng)x 足夠小時(shí)，截?cái)嗾`差為O(x 2的表達(dá)式比截?cái)嗾`差為O （x ）的表達(dá)式更準(zhǔn)確。這里，t(i,n、t(i+1,n和t （i-1,n ）是函數(shù) , (t x t 在節(jié)點(diǎn)（i,n ）、(i

45、+1,n和（i-1,n ）處的精確值，它是未知、待求的。在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，只能獲得其近似值，分別記為n i n i n i t t t 11, -+和且它們應(yīng)滿足以下關(guān)系式(或按以下關(guān)系式來確定近似解n i n i n i t t t 11, , -+：(, 1, x O xt t xt ni n i n i -=+ 向前差分 一階精度(, 1, x O xt t x t n i n i n i -=- 向后差分一階精度(, 211, x O xt t xt n i n i n i -=-+ 中心差分 二階精度 向前、向后差分雙涉及所論節(jié)點(diǎn)一側(cè)的節(jié)點(diǎn)函數(shù)值，稱為單側(cè)差分或偏差分 中心差分涉及所

46、論節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)函數(shù)值 幾何表示：一般規(guī)律：用到的節(jié)點(diǎn)函數(shù)值越多，涉及的節(jié)點(diǎn)區(qū)域范圍越大，提供的特定變量的變化信息越充分、完整，差分表達(dá)式的準(zhǔn)確度越高！ 請自證： (243221, x O x t t t x tn i n i n i n i -+-=+(23221, x O xt tt t xt n i n i n i n i +-=-同理，對非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的一階偏導(dǎo)數(shù)/t 也有類似的差分表達(dá)式：n xli t , / =n向前中心向后i t 1+ it i t 1-i-2 i-1 i i+1 i+2 x23(1, -=+O t t t n i n i n i(1, -=-O t t t n i

47、n i n i (2211, -=-+O t t t n i n i n i 對二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)22/x t 亦有： ( (2221, 22x O x t t t x t n i n i n i n i +-=+； ( (2221, 22x O x t t t x tn i n i n i n i +-=- ( (22211, 22x O x t t t x t n i n i n i n i +-=-+自證： ( (25422123, 22x O x t t t t x tn i n i n i n i n i +-+-=-差分表達(dá)式正確性的檢驗(yàn)；各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式應(yīng)當(dāng)滿足兩個(gè)基本要求（1）函數(shù)

48、為常數(shù)時(shí)，差分表達(dá)式亦應(yīng)成立（差分表達(dá)式中分子各項(xiàng)系數(shù)的代數(shù)和為零）；（2）差分表達(dá)式的量綱必須與導(dǎo)數(shù)的量綱一致。2、控制方程的差分表達(dá)式離散方程的建立有各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式后，如何得到控制方程的差分表達(dá)式；把控制方程中的所有導(dǎo)數(shù)用同一節(jié)點(diǎn)處的相應(yīng)差分表達(dá)式來代替，并將所有各項(xiàng)的截?cái)嗾`差相加，從而得到要求的差分離散方程和相應(yīng)的截?cái)嗾`差。問題：在一個(gè)時(shí)間步上，/t 按步進(jìn)方式采用向前差分很容易獲得相應(yīng)的差分表達(dá)式-=+/ (/1, n i n i ni t t t22/x t 如何處理？在+ 1(n n 間隔內(nèi)，22/x t 也是隨時(shí)間變化的。24 n+1ni-1i i +1 t x 顯格式n+

49、1 i-1 i i +1 n隱格式n+1 ni-1i i +1 C-N怎樣選擇展開點(diǎn)？ , (, 10, /, 22+n x i x t n i有三種常用的選擇三種常用格式（1）顯格式：0=，選在時(shí)層的開始時(shí)刻，ni x t . 22/用中心差分； (, (222111x O S x t t t t t c n i n i n i n i n i n i +-=-+ （2）1=，全隱格式，展開點(diǎn)選在時(shí)層終了時(shí)刻1, 22/, +n i x t n 仍用中心差分； ( (2212111111x O S x t t t t t c n in i n i n i n i n i +-=-+=-+（3

50、）C-N 格式，2/1=，展開點(diǎn)選在時(shí)層的正中間，2/1, 22/+n i x t 仍用中心差分；關(guān)鍵是? /21, 22=+n i x t ，將n i n i x t x t , 221, 22/+和在（21, +n i ）處展開。+=+222421, 2321, 221, 22 2(! 212t x t x t xt x t n i n i n i -+-=+222421, 2321, 22, 22 2(! 212t x t x t xtx t n i n i ni 兩式相加，-+=+22242224221, 2221, 23 (161 (161, 2121tx t x t n i x t x t xtn i n i 所以 (, (212, 221, 2221, 22+=+O x tx t x tni n i n i注意：25/t 的差分表達(dá)式