福建師大附中2013屆高三模擬-數(shù)學（理）

1、 福建師大附中2013屆高三模擬考試數(shù)學（理）試題（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）注意事項：1本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內(nèi)填寫學校、班級、準考證號、姓名；2本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘錐體體積公式：，其中為底面面積，為高球的表面積、體積公式，其中為球的半徑樣本數(shù)據(jù)，的標準差其中為樣本平均數(shù)柱體體積公式其中為底面面積，為高參考公式： 第卷 （選擇題 共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應

2、位置）1復數(shù)（是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點是位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件3已知集合， ,且,則（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 74設(shè)z=x+y，其中x，y滿足當z的最大值為6時，的值為（ ） A.3 B.4 C.5 D.6第5題圖開始n = r輸入正整數(shù)m, n求m除以n的余數(shù)rm = nr = 0?輸出n結(jié)束5閱讀如下圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入，則輸出的值為（ ）A. 12 B. 6 C. 3 D. 06的三個內(nèi)角對應的邊分別，且成等差

3、數(shù)列，則角等于（ ）A . B. C. D. 7設(shè)，則二項式展開式中的項的系數(shù)為（ ） A . B. 20 C. D. 1608.如下圖所示，在棱長為2的正方體內(nèi)（含正方體表面）任取一點，則的概率（ ） A. B. C. D. 9已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作設(shè)是長為2的線段，點集所表示圖形的面積為（ ）A. B. C. D. 213第10題圖10如下圖所示，有三根針和套在一根針上的個金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。（1） 每次只能移動一個金屬片；（2） 在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。若將

4、個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為，則=（ ）A. 33 B. 31 C.17 D. 15二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在答題卡的相應位置11在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其它10個長方形的面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為 12.在平面直角坐標系中，若雙曲線的焦距為8，則 13.如圖，矩形的一邊在軸上，另外兩個頂點在函數(shù)的圖象上.若點的坐標為且 ，記矩形 的周長為，則 14已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為 俯視圖22側(cè)視圖11正視圖21第14題圖第13題圖 15.我國齊梁時代的數(shù)

5、學家祖暅（公元5-6世紀）提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等設(shè)：由曲線和直線，所圍成的平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為；由同時滿足，的點構(gòu)成的平面圖形,繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為.根據(jù)祖暅原理等知識，通過考察可以得到的體積為 三、解答題：本大題共6小題，共80分解答寫在答題卡相位置，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16(本小題滿分13分)已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)（）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨

6、向量的模；（）記的伴隨函數(shù)為，求使得關(guān)于的方程在內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍17（本小題滿分13分）某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵（）求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；（）記為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望18（本小題滿分13分）如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個動點，垂直于半圓所在

7、的平面， ，證明：平面平面；當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值19（本小題滿分13分）已知圓，橢圓（）若點在圓上，線段的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點，求點的橫坐標；（）現(xiàn)有如下真命題：“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”據(jù)此,寫出一般結(jié)論，并加以證明20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）（1）若函數(shù)存在極值點，求實數(shù)b的取值范圍；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由。21本題有（1）、（2）、（3）

8、三個選答題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分如果多做，則按所做的前兩題記分（1）(本小題滿分7分)選修42：矩陣與變換已知矩陣A=有一個屬于特征值1的特征向量. () 求矩陣A； () 若矩陣B=，求直線先在矩陣A，再在矩陣B的對應變換作用下的像的方程. （2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（）設(shè)直線與軸的交點是,是曲線上一動點,求的最大值.(3)（本小題滿分7分）選修：不等式選講（I）試證明柯西不等式：（II）已知，且，求的最小值參考答案1-5 DCDAB 6-10 BCADB

9、11、32 12、3 13、216 14 15. 16解：（）， 2分 4分故. 5分（）由已知可得，7分， ，故. 9分當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，且.使得關(guān)于的方程在內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍為 13分17（）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件， 則 ，故1名顧客摸球3次停止摸獎的概率為 4分（）解：隨機變量的所有取值為 5分， ， ， 10分所以，隨機變量的分布列為: 11分 13分18（）證明：因為是直徑，所以 1分，因為平面，所以 2分，因為，所以平面 3分因為， ，所以是平行四邊形，所以平面 4分，因為平面，所以平面平面 5分（）依題意， 6分，由

10、（）知，當且僅當時等號成立 8分如圖所示，建立空間直角坐標系，則，則， 9分設(shè)面的法向量為，即， 10分設(shè)面的法向量為， ，即， 12分可以判斷與二面角的平面角互補二面角的余弦值為。 13分19. 解法一：（）設(shè)點，則， （1） 1分設(shè)線段的垂直平分線與相交于點，則，2分橢圓的右焦點， 3分,， ， （2）4分由（1），（2），解得 ，點的橫坐標為 5分（）一般結(jié)論為：“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直” 6分證明如下：（）當過點與橢圓相切的一條切線的斜率不存在時，此時切線方程為，點在圓上 ，直線恰好為過點與橢圓相切的另一條切線兩切線互相垂直7分（）當過點與橢圓相切的切線的

11、斜率存在時，可設(shè)切線方程為，由得 ，整理得，8分直線與橢圓相切，整理得，9分， 10分 點在圓上， ，兩切線互相垂直，綜上所述，命題成立13分解法二：（）設(shè)點，則， （1）1分橢圓的右焦點，2分點在線段的垂直平分線上， ， ， ， （2）4分由（1），（2），解得， 點的橫坐標為5分（）同解法一20. 解：（），若存在極值點，則有兩個不相等實數(shù)根。所以， 2分解得 3分() 4分當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；5分當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。7分（） 當且時，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。則且。8分不妨設(shè)。故，則。，該方程有解9分當時，則，代入方程得即，

12、而此方程無實數(shù)解； 10分當時，則； 11分當時，則，代入方程得即， 12分設(shè)，則在上恒成立。在上單調(diào)遞增，從而，則值域為。當時，方程有解，即方程有解。13分綜上所述，對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。14分21（1）【解析】()由已知得，所以 2分 解得 故A=. 3分 () BA=，因為矩陣BA 所對應的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線上的兩點（0，1），（-1，2）， 4分，由得：（0，1），（-1，2）在矩陣A所對應的線性變換下的像是點（1，-3），（-1，-1） 6分從而直線在矩陣BA所對應的線性變換下的像的方程為.7分（2）解：（）曲線的極坐標方程可化為，又,所以曲線的直角坐標方程為 3分 （）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程,