數(shù)理方程第五章特殊函數(shù)ppt課件

1、HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)第五章第五章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)5.1 貝塞爾方程的導出 設有半徑為設有半徑為R的圓形薄盤，上下兩面絕熱，的圓形薄盤，上下兩面絕熱，圓盤邊境上的溫度一直堅持為零，且圓盤上圓盤邊境上的溫度一直堅持為零，且圓盤上的初始溫度知，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)的初始溫度知，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。律。 問題歸結(jié)為求解如下定解問題：問題歸結(jié)為求解如下定解問題：).,(|, 0| ),(02222222yxuuRyxuuautRyxyyxxtHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第

2、5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)0,20, 0),(20 ,),()0 ,(0,20 ,),11(2222222ttRuRrrrutRrurrurruauatu令：0),(),(rVrV20Ta T0112 rr 22rrr令：0 022 rrr(0)2( )atT tAe)(),(),(tTrVtru),()()(),(2rVtTatTrV),(),()()(2rVrVtTatT)()(),(rPrVHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)2n, 3 , 2 , 1 , 0n,sincos,nBnAnnn )0(, 0)(, 0222R

3、Rrnrrrrx/,xrrrd)(dy 222,()0,(00)x yxyxnyxRyRyrxxxddd)(dyxxyd)(dn階貝塞爾方程 周期特征值問題周期特征值問題 )2()(, 0 的特征值和特征函數(shù)分別為的特征值和特征函數(shù)分別為 令令 HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)n階貝塞爾方程階貝塞爾方程 (n為恣意實數(shù)或復數(shù)為恣意實數(shù)或復數(shù))2220 x yxyxny)0()(002210axaxaxaxaaxykkckkkc0)()() 1)(022kkckxanxkckckc0)() 1()(02221122022kkckk

4、ccxaankcxancxanc0)(022anc0) 1(122anc0)(222kkaankc令：5.2 貝塞爾方程的求解假設假設, 0n由于由于00a，所以有，所以有ncHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)10a 2(2)kkaaknk135.0aaa情形1 n不為整數(shù)和半奇數(shù)當當c=n時時 ) 1(210nan22( 1)02! (1)mmnmanmnm,那么有令20( 1)( )0! (1)2nmmnmxJxnmnm于是于是, 得到貝塞爾方程的一個特解得到貝塞爾方程的一個特解(稱為稱為n階第一類貝塞爾函數(shù)階第一類貝塞爾函數(shù)

5、) 01)(dxxeppx)() 1(ppp1) 1 (當p為正整數(shù)時 !) 1(pp當p為負整數(shù)或零時 )(p)2/1 (HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)當當c=-n時，令時，令 于是于是, 得到貝塞爾方程的另一個特解得到貝塞爾方程的另一個特解(稱為稱為-n階第一類貝塞爾函數(shù)階第一類貝塞爾函數(shù)) ) 1(210nan, 2 , 1 ,2) 1(!) 1()(20nxmnmxJmnmmn顯然顯然)(),(xJxJnn線性無關(guān)，于是線性無關(guān)，于是n階貝塞爾方程的通解為階貝塞爾方程的通解為).()()(xBJxAJxynn( )co

6、s( )( )sinnnnJxnJxY xn)()(xBYxAJynn(稱為n階第二類貝塞爾函數(shù)(諾依曼函數(shù)) )假設取假設取, 那么得到方程的另一個與那么得到方程的另一個與nBnAcsc,cot)(xJn線性無關(guān)的特解線性無關(guān)的特解于是于是n階貝塞爾方程的通解又可表示為階貝塞爾方程的通解又可表示為HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)情形2 n為整數(shù)20( 1)( )0,1,2,!()! 2nmmnmxJxnmnm此時此時)(),(xJxJnn線性相關(guān)。令線性相關(guān)。令)() 1()(xJxJnnnsin)(cos)(lim)(xJx

7、JxYnn可以證明可以證明)(xJn線性無關(guān)的特解，線性無關(guān)的特解，)(xYn是貝塞爾方程的與是貝塞爾方程的與)()(xDYxCJynn于是，此時于是，此時n階貝塞爾方程的通解為階貝塞爾方程的通解為情形3 n為半奇數(shù)(類似討論)HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)0222 ynxyxyx20( 1)( )! (1) 2nmmnmxJxmnmsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn( )( )nnyAJxBY xA、B為恣意常數(shù)，n為恣意實數(shù)HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章

8、貝塞爾函數(shù)mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)1 有界性 )(xJn)(xYn0 x)0(nY性質(zhì)2 奇偶性 )() 1()(xJxJnnn)() 1()(xYxYnnn5.3 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)當n為正整數(shù)時 HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)2220dd( 1)( )dd2! (1)mnmnnnmmxx Jxxxmnm mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)3 遞推性 22120( 1)222! (1)m

9、nmnmmnm xmnm01212)(!2) 1(mmnmnmnmnmxx)(1xJxnn)()()(11xJxxJnxxJxnnnnnn1( )( )( )nnnxJxnJxxJx11( )( )( )nnnnnnxJxnxJxxJx 1( )( )( )nnnxJxnJxxJx 1d( )( )dnnnnxJxxJxx 1d( )( )dnnnnx Jxx Jxx 01d( )( )dJxJ xx 10d( )( )dxJ xxJxx112( )( )( )nnnnJxJxJxx11( )( )2( )nnnJxJxJxHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5

10、 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù))()(dd1xYxxYxxnnnn)()(dd1xYxxYxxnnnn)(2)()(11xYxnxYxYnnn)(2)()(11xYxYxYnnn1d( )( )dnnnnxJxxJxx 1d( )( )dnnnnx Jxx Jxx 112( )( )( )nnnnJxJxJxx11( )( )2( )nnnJxJxJx例1 求以下微積分0d(1)()dJxx)(0 xJ)(1xJ001(2)( )( )JxJxx)(1)(11xJxxJ)(21)(21)(21)(212020 xJxJxJxJ)(2xJ00(3)3( )4( )JxJx)(4)(311xJxJ

11、)(2)(2)(3201xJxJxJ)()()(2)(33111xJxJxJxJ)(3xJHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)2(4)( )dxJxx xxJxxd)(212)(d112xJxx2111d)()(xxJxxxJxxJxxJd)(2)(11)(d2)(01xJxxJCxJxxJ)(2)(01)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn00(6)( )cos dRJxx x RRxxJxxxxJ0000cos)(d|c

12、os)(RxxxJxxJxRRRJ0000dsin)(cos)(cos)(RxxxxJxxxJRRRJ0110dsin)(cos)(cos)(RxxxxJRRRJ010dsin)(cos)(RRRJRRRJsin)(cos)(1030(5)( )dx Jxx )(d12xxJxxxJxxJxd)(2)(1213)(d2)(2213xJxxJxCxJxxJx)(2)(22131(7)()dnnxJxxttJtnnd)(1ttJtnnnd)(112)(d1112tJtnnnCtJtnnn)(121HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)mn

13、mmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)4 初值 1)0(0J0)0(nJ(0)n )0(nY21)0()0(21)0(201JJJ0)0()0(21)0(11nnnJJJ1n)(2)()(11xJxJxJnnn性質(zhì)5 零點 有無窮多個對稱分布的零點 )(xJn和 )(1xJn的零點相間分布 )(xJn的零點趨于周期分布， )()(1limnmnmm( )()0nnmJHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)20( 1)( )! (1) 2nmmnmxJxmnm性質(zhì)6 半奇數(shù)階的貝

14、塞爾函數(shù) 122102( 1)( )32! ()2mmmxJxmmmmmxmm22102)21(2121221121!) 1( mmmmxmm221012)21(12531!2) 1(mmmmxm2210122!122) 1(2102( 1)21 !mmmxxmxxsin2xxxJcos2)(21xxxxxxJnnnnsindd12) 1()(2121xxxxxxJnnncosdd12)(21)21(210( 1)221 !mmmxmxHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(c

15、os)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)7 大宗量近似 241cos2)(nxxxJn241sin2)(nxxxYn0)(, 0)(,xYxJxnnHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)性質(zhì)8 正交性( )( )222( )2( )0110,d()(),22nnRmknnnnnmnmmkrJr JrrRRRRJJmk稱稱 RnmndrRrrJ0)(2)(n階貝塞爾函數(shù)系階貝塞爾函數(shù)系 1)()(mnmnrRJ在區(qū)間在區(qū)間(0,R)上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)r正交：正交：其中其中 , 2 , 1,)(mnm為為n n階貝塞爾函數(shù)的零點，即階貝塞

16、爾函數(shù)的零點，即0)()(nmnJ為為n n階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù) 的模。的模。)()(rRJnmnHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)正交性的證明：先將正交性的證明：先將n n階貝塞爾方程寫成如下方式階貝塞爾方程寫成如下方式 那么有. 0)()(2FrnrdrdFrdrd記記),()(),()(2211rJrFrJrFnn, 0)()(12211FrnrdrdFrdrd. 0)()(22222FrnrdrdFrdrd 于是. 0)()()()()(021122102221RRdrdFrrFdrdFrrFdrrFrFr 取 ,)(

17、2)(1RRnknm 并利用kmJRFJRFnknnmn, 0)()(, 0)()()(2)(1 即可證得結(jié)論。有關(guān)貝塞爾函數(shù)模的計算請大家本人完成。HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例2：證明 0212222 yxmyxy的解為 )( xJxym)()(1xJxxJxymm)()()()(12112xJxxJxxJxxJxymmmm )(1)(2)(212xJxxJxxJxmmm )()()(21)(1)(2)(22221212xJxxmxJxxJxxxJxxJxxJxmmmmmm )()()(222212xJxmxxJxxJx

18、mmm )()()(222222xJmxxJxxJxxmmm )()()(2222tJmttJ ttJtxmmm 0HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)5.4 傅立葉-貝塞爾級數(shù)定理定理 假設假設 )(rf在(0,R)內(nèi)分段延續(xù),且積分 drrfrR)( 0 21的值有限，那么 )(rf能展成傅立葉貝塞爾級數(shù)： )()()(1rRJCrfnmmnm并且在 的延續(xù)點,級數(shù)收斂于 )(rf)(rf；而在 )(rf的延續(xù)點，級數(shù)收斂于 2)0()0(rfrf，其中 )(2)()()(212)(0nmnnmnRmJRdrrRJrrfCHUS

19、T HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例例3 3：將：將1 1在在 10 x區(qū)間內(nèi)展成區(qū)間內(nèi)展成 )()0(0 xJi的級數(shù)方式的級數(shù)方式. . 1)0(0)(1iiixJC)(1)(d1d)(1d)()0(1)0(012)0(002)0(10)0(0)0()0(iiiiiJttJtttJxxxJii)(21)()0(2110)0(0iiiJdxxxJC1)0(1)0()0(0)()(21iiiiJxJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxx

20、nnnn解解 )(2)(21)()0(1)0()0(2110)0(0jjiiiJJdxxxJC，其中，其中由于由于從而從而于是有于是有HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例4：將x在0 x2區(qū)間內(nèi)展成 )2()1(1xJi的級數(shù)方式 1)1(1)2(iiixJCx)1(0123)1(d)(8ittJti)(4)1(2)1(iiiJC1)1(2)1()1(1)()2/(4iiiiJxJx )(d8)1(0223)1(itJti)(8)1(2)1(iiJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)

21、()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn解解 ，其中，其中)(2)21()1(2220)1(12iiiJdxxJxC由于由于20)1(12)21(dxxJxi從而從而于是有于是有HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例5：將 21x在0 x1區(qū)間內(nèi)展成 )()0(0 xJi的級數(shù)方式 1)0(02)(1iiixJCx)(21d)(1)0(2110)0(02iiiJxxxJxC)0(002)0(22)0(d)(1 1jtttJtjj)()(4)0(21)0(22)0(jjjjJJC1)0(13)0()0(02)(

22、)(81ijjiJxJx)0(012)0(22)0()(d/11jttJtjjttJtjj)0(0124)0(d)(2)(2)0(22)0(jjJ)()()(24)0(21)0(0)0(1)0(2)0(jjjjjJJJ)(8)0(13)0(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn解解 ，其中，其中由于由于從而從而于是有于是有10)0(02d)(1xxxJxiHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例例1: 求解圓形薄盤上的熱

23、傳導問題求解圓形薄盤上的熱傳導問題5.5 貝塞爾函數(shù)的運用0,20, 0),(20 ,),()0 ,(0,20 ,),11(2222222ttRuRrrrutRrurrurruauatu0, 0), 1 (, 1,1)0 ,(0, 1),1(2222tturrrutrrurruatu 設有半徑為設有半徑為1的圓形薄盤，上下兩面絕熱，的圓形薄盤，上下兩面絕熱，圓盤邊境上的溫度一直堅持為零，且圓盤上圓盤邊境上的溫度一直堅持為零，且圓盤上的初始溫度分布為的初始溫度分布為 ，其中，其中r為圓盤內(nèi)任一為圓盤內(nèi)任一點的極半徑，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。點的極半徑，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。21 rHU

24、ST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)令：20Ta T022 rrr(0)2( )atT tAe)()(),(tTrPtru)(1)()()()(2rPrrPtTatTrP )()(1)()()(2rPrPrrPtTatT , 0) 1 ()0(0, 0), 1 (, 1,1)0 ,(0, 1),1(2222tturrrutrrurruatuHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)002 rrrBAln02)()(00rBYrAJ)(0rAJ0)() 1 (0AJ)0(n, 3 ,

25、 2 , 1,2)0(nnn)()0(0rJAnnn0222 rrr02TaT022)0(nnnTaTtannneBT22)0(1)0(022)0()(ntannnerJCu1)0(02)()0 ,(1nnnrJCrur)(21d)(1)0(2110)0(02nnnJrrrJrC1)0(13)0()0(0)()(822)0(nnntanJerJun)(8)0(13)0(nnJ022 rrr, 0) 1 ()0(0, 0BA0HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù) 設有半徑為設有半徑為R的圓形薄膜，圓周沿垂直于的圓形薄膜，圓周沿垂直于薄

26、膜所在平面自在挪動，薄膜初始位移為零，薄膜所在平面自在挪動，薄膜初始位移為零，初始速度為，初始速度為， 試求該薄膜的振動規(guī)律。試求該薄膜的振動規(guī)律。 問題歸結(jié)為求解如下定解問題：問題歸結(jié)為求解如下定解問題：例例2: 求解圓形薄膜軸對稱振動問題求解圓形薄膜軸對稱振動問題22/1Rr0,| ), 0(| , 0),(,1)0 ,( , 0)0 ,(0,),1(2222222ttutRuRrRrrurutRrrurruaturtHUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)Tu TrTaT12 222rrrTaT02 TaT0222 rrr)0(,

27、 0)(R002 rrrBAln00A02)()(00rBYrAJ)(0rAJRn)1(, 3 , 2 , 1,2)1(nRnn)()1(0rRJAnnn022 rrr0,| ), 0(| , 0),(,1)0 ,( , 0)0 ,(0,),1(222ttutRuRrRrrurutRruruaurtrrrtt0)()()(10RJARJARP令令HUST HUST 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)02 TaT000A, 3 , 2 , 1,2)1(nRnn)()1(0rRJAnnn000 T000TC tD00000uTE tF 0022)1( n