2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷含解析）

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)理第I卷（選擇題共50分）一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合 （ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于 ( )A B C D 【答案】C【解析】試題分析：由已知得，故，故選C考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的概念；2、集合的運(yùn)算2下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )A B C D 【答案】D考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性3若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】試題分析：由雙曲線定義得，即，解得，故選B考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義4為了解某社區(qū)居民的家庭年

2、收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入 （萬元）8.28.610.011.311.9支出 （萬元）6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程 ，其中 ，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為( )A11.4萬元 B11.8萬元 C12.0萬元 D12.2萬元【答案】B考點(diǎn)：線性回歸方程5若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A【解析】試題分析：畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過可行域，盡可能向上移到過點(diǎn)時(shí)，取到最小值，最小值為，故選A考點(diǎn)：線性規(guī)劃6閱讀如圖所示的程序

3、框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為( )A2 B1 C0 D 【答案】C【解析】試題分析：程序在執(zhí)行過程中的值依次為：；，程序結(jié)束，輸出，故選C考點(diǎn)：程序框圖7若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B考點(diǎn)：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系8若 是函數(shù) 的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】試題分析：由韋達(dá)定理得，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，必為等比中項(xiàng)，故，當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)

4、列時(shí)，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，解得，綜上所述，所以，選D考點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)9已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【答案】A考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式10若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 【答案】C考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第II卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11 的展開式中，的系數(shù)等于 （用數(shù)字作答）【答案】【解析】試題分析： 的展開式中項(xiàng)為，所以的系數(shù)等于考點(diǎn)：二項(xiàng)式定

5、理12若銳角的面積為 ，且 ，則 等于_【答案】【解析】試題分析：由已知得的面積為，所以，所以由余弦定理得，考點(diǎn)：1、三角形面積公式；2、余弦定理13如圖，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，函數(shù) ，若在矩形 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 【答案】【解析】試題分析：由已知得陰影部分面積為所以此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于考點(diǎn)：幾何概型14若函數(shù) （ 且 ）的值域是 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 【答案】考點(diǎn)：分段函數(shù)求值域15一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼 的碼

6、元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為： 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 【答案】考點(diǎn)：推理證明和新定義三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.()求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；()設(shè)當(dāng)天小王用該銀

7、行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】()；()分布列見解析，期望為【解析】試題分析：()首先記事件“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為則銀行卡被鎖死相當(dāng)于三次嘗試密碼都錯(cuò)，基本事件總數(shù)為，事件包含的基本事件數(shù)為，代入古典概型的概率計(jì)算公式求解；()列出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別求取相應(yīng)值的概率，寫出分布列求期望即可試題解析：（）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則（）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3又所以X的分布列為所以考點(diǎn)：1、古典概型；2、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望17如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=

8、EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).()求證：平面 ； ()求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值【答案】()詳見解析；() 試題解析：解法一：（）如圖，取的中點(diǎn)，連接，又G是BE的中點(diǎn)，又F是CD中點(diǎn)，由四邊形ABCD是矩形得，所以從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為解法二：()如圖，取中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，可知，又面，面，所以平面在矩形ABCD中，由，分別是，的中點(diǎn)得又面，面，所以面又因?yàn)?，面，面，所以面平面，因?yàn)槊?，所以平面（）同解法一考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質(zhì)；3、二面角18.已知橢圓E：

9、過點(diǎn)，且離心率為()求橢圓E的方程； ()設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由【答案】()；() G在以AB為直徑的圓外在圓上試題解析：解法一：()由已知得解得所以橢圓E的方程為故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：()同解法一.()設(shè)點(diǎn)，則由所以從而 所以不共線，所以為銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系19已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長度.()求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸

10、方程；()已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解 （1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2)證明：【答案】() ，；()（1）；（2）詳見解析【解析】試題分析：()縱向伸縮或平移： 或；橫向伸縮或平移：（縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?時(shí)，向左平移個(gè)單位；時(shí)，向右平移個(gè)單位)；() （1)由()得，則，利用輔助角公式變形為（其中），方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，等價(jià)于直線和函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)結(jié)合圖像可得和，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式結(jié)合已知條件求解試題解析：解法一：(1)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到的圖像，故，從

11、而函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為(2)1) （其中）依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是.2)因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 所以解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 所以于是考點(diǎn)：1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)；2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式20已知函數(shù)，()證明：當(dāng)；()證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)()確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有【答案】()詳見解析；()詳見解析；() 【解析】試題分析：()構(gòu)造函數(shù)只需求值域的右端點(diǎn)并和0比較即可；()構(gòu)造函數(shù)即，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀和最

12、值，證明當(dāng)時(shí)，存在，使得即可；()由()知，當(dāng)時(shí)，對(duì)于故，則不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，只需說明，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，故不存在；當(dāng)時(shí)，由()知，存在,使得對(duì)任意的任意的恒有，此時(shí)不等式變形為，構(gòu)造，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，代入證明即可試題解析：解法一：(1)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，(2)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, 故對(duì)任意正實(shí)數(shù)均滿足題意.當(dāng)時(shí)，令得取對(duì)任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即.綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對(duì)任意的恒有(3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于故，令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的任

13、意的恒有此時(shí),令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故，令，從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，取由（2）知存在,使得.此時(shí),令，此時(shí) ,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意綜上，.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用21本題設(shè)有三個(gè)選考題，請(qǐng)考生任選2題作答.選修4-2：矩陣與變換已知矩陣(

14、)求A的逆矩陣；()求矩陣C，使得AC=B.【答案】()； ()【解析】試題分析：因?yàn)?，得伴隨矩陣，且，由可求得；()因?yàn)椋?，進(jìn)而利用矩陣乘法求解試題解析：(1)因?yàn)樗?2)由AC=B得,故考點(diǎn)：矩陣和逆矩陣選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為()求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；()設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值【答案】() ，；() 【解析】試題分析：()將圓的參數(shù)方程通過移項(xiàng)平方消去參數(shù)得 ，利用，將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；()利用點(diǎn)到直線距離公式求解試題解析：