第四章地球橢球數(shù)學(xué)變換ppt課件

1、15高斯平面直角坐標(biāo)系 15.1高斯投影概述高斯投影概述 15.1.1控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求應(yīng)當(dāng)采用等角投影應(yīng)當(dāng)采用等角投影(又稱為正形投影又稱為正形投影) 長(zhǎng)度和面積變形不大長(zhǎng)度和面積變形不大 能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體把各區(qū)域聯(lián)成整體 15.1.2高斯投影描述 想象有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面 。我國(guó)規(guī)定按經(jīng)

2、差6和3進(jìn)行投影分帶。 工程測(cè)量控制網(wǎng)也可采用.5帶或任意帶，但為了測(cè)量成果的通用，需同國(guó)家6或3帶相聯(lián)系。 高斯投影6帶，自0子午線起每隔經(jīng)差6自西向東分帶，依次編號(hào)1，2，3，。 我國(guó)6帶中央子午線的經(jīng)度，由69起每隔6而至135，共計(jì)12帶，帶號(hào)用n表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，它們的關(guān)系是 高斯投影3帶， L 在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸 在我國(guó)x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前

3、面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。 Y=19 123 456.789m，該點(diǎn)位在19帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500 000m，最后得y=-376 543.211m。 高斯投影由于是正形投影，故保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上的長(zhǎng)度比的同一性。由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長(zhǎng)度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡(jiǎn)便公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進(jìn)行。 15.1.3橢球面元素化算到高斯投影面 橢球面三角形投影后變?yōu)檫呴L(zhǎng)si的曲線三角形，且這些曲線都凹向縱坐標(biāo)軸

4、 將橢球面三角系歸算到高斯投影面將橢球面三角系歸算到高斯投影面 1) 將起始點(diǎn)P的大地坐標(biāo)(L，B)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x,y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x,y反算B，L，這項(xiàng)工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計(jì)算。 2) 將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊PK的坐標(biāo)方位角，這是通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改化實(shí)現(xiàn)的。 3)將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改化即方向改化來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 4) 將橢球面上起算邊PK的長(zhǎng)度S歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)度s。這是通過(guò)計(jì)算距離改化實(shí)現(xiàn)的。 要將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、

5、距離改化和子午線收斂角等項(xiàng)計(jì)算工作。 當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫В约盀閷⒏魍队皫?lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。 15.2正形投影的一般條件 在正形投影中長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān) 15.2.1長(zhǎng)度比的通用公式 22222222222cos)cos()cos()(dlBNMdBBNdydxBdlNMdBdydxdSdsmBNMdBdqcosBBNMdBq0cos),(),(qlyyqlxx15.2.2柯西.黎曼條件 dldqrdlMdBPPPPA3132)90tan(AdqdltanGEF , 0 xlMBNyBylMBNxBcoscos15.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式 15.3.1高斯投

6、影坐標(biāo)正算公式高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件：(1)中央子午線投影后為直線；(2)中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；(3)投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。 由第一個(gè)條件可知，由于地球橢球體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體，所以高斯投影必然有這樣一個(gè)性質(zhì)，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線。 x為l的偶函數(shù)，而y則為l的奇函數(shù)。 第三個(gè)條件 qylxqxly和 m0=? 由第二條件可知，位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午弧長(zhǎng)，即當(dāng)l=0時(shí)， Xm 015.3.2高斯投影坐標(biāo)反算公式 在高斯投影坐標(biāo)反算時(shí)，原面是高斯平面，投影面是橢球面，已知的是平面坐標(biāo)(x,y)，要求的

7、是大地坐標(biāo)(B，L)，相應(yīng)地有如下投影方程同正算一樣，對(duì)投影函數(shù)提出三個(gè)條件：(1)x坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對(duì)稱軸(2)x軸上的長(zhǎng)度投影保持不變；(3)正形投影條件。 ),(),(21yxlyxBfBn 015.3.3高斯投影正反算公式的幾何解釋 高斯投影的特點(diǎn) (1)當(dāng)l等于常數(shù)時(shí)，隨著B(niǎo)的增加x值增大，y值減小；又因，所以無(wú)論B值為正或負(fù)，y值不變。這就是說(shuō)，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還對(duì)稱于中央子午線和赤道。 (2)當(dāng)B等于常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對(duì)稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對(duì)稱的曲線，同時(shí)與

8、子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。(3)距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長(zhǎng)度變形也愈大。15.4高斯投影坐標(biāo)計(jì)算的實(shí)用公式及算例高斯投影坐標(biāo)計(jì)算的實(shí)用公式及算例 1.高斯投影正算公式高斯投影正算公式 2.高斯投影反算公式 3. 算例A001 22o1558”.98294 111o2852”.15387L0=111oWGS84 (6378137,298.257223563)A001 2463376.6502 49592.0721GDZ80 (6378140,298.257)A001 2463377.7973 49592.0955BJ54 (6378245,298.3)A001 246

9、3420.5657 49592.908415.5平面子午線收斂角公式平面子午線收斂角公式 15.5.1平面子午線收斂角的定義 15.5.2公式推導(dǎo) 1.由大地坐標(biāo)L、B計(jì)算平面子午線收斂角的公式 544232422cossin)242(151cossin)231 (31sintanBlBttBlBtlB(1)為l的奇函數(shù)，而且l愈大，也愈大；(2)有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)，為正；在西時(shí)，為負(fù)；(3)當(dāng)l不變時(shí)，則隨緯度增加而增大。2.由平面坐標(biāo)x,y計(jì)算平面子午線收斂角的公式 15.6方向改化公式 15.6.1方向改化近似公式的推導(dǎo)在球面上四邊形ABED的內(nèi)角之和等于360+ 由于是

10、等角投影，所以這兩個(gè)四邊形內(nèi)角之和應(yīng)該相等，即15.6.2方向改化較精密公式 首先為計(jì)算方向改正的數(shù)值，必須預(yù)先知道點(diǎn)的平面坐標(biāo)。然而要精確知道點(diǎn)的平面坐標(biāo)，卻又要先算出方向改正值，所以這是一個(gè)矛盾。解決這個(gè)矛盾的辦法，就要采用逐次趨近計(jì)算。 令0.1，并設(shè)350km，x2-x1=10km，則得0.1km。概略坐標(biāo)計(jì)算至0.1km，即可滿足三等方向改化計(jì)算精度的要求 cCcbBbaAa)(cbaCBAcba180cba180CBAcba15.7距離改化公式 DsS15.7.1 s與D的關(guān)系 vdsdDcossvdsD0cos221cosvvssdsvDs2)21 (202 當(dāng)取最大40，s=5

11、0km時(shí)，代入上式得。因而，用D代替s在最不利情況下，誤差也不會(huì)超過(guò)1mm。而實(shí)際上，邊長(zhǎng)要比50km短得多，此時(shí)誤差將會(huì)更小。所以在應(yīng)用上，完全可以認(rèn)為大地線的平面投影曲線的長(zhǎng)度s等于其弦線長(zhǎng)度D。 15.7.2長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形 1.用大地坐標(biāo)(B,l)表示的長(zhǎng)度比m的公式 dSdsm 2.用平面坐標(biāo)(x,y)表示的長(zhǎng)度比m的公式 (1)長(zhǎng)度比m只與點(diǎn)的位置(B，l)或(x,y)有關(guān) (2)中央子午線投影后長(zhǎng)度不變 (3)當(dāng)y0(或l)時(shí)， m恒大于1 (4)長(zhǎng)度變形(m-1)與y或l成比例地增大 ,而對(duì)某一條子午線來(lái)說(shuō)，在赤道處有最大的 變形 15.7.3距離改化公式將橢球面上大地線長(zhǎng)度S描寫在高斯投影面上，變?yōu)槠矫骈L(zhǎng)度D 15.8高斯投影的鄰帶坐標(biāo)換算 (1)位于兩個(gè)相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個(gè)投影帶(東、西帶)的控制網(wǎng) (2)在分界子午線附近地區(qū)測(cè)圖時(shí)，往往需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中 (3)當(dāng)大比例尺(1 10 000或更大)測(cè)圖時(shí)，特別是在工程測(cè)量中，要求采用3帶、1.5帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有6帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了6帶同3帶(或1.5帶、任意帶)之間的相互坐標(biāo)換算問(wèn)題。 用高斯投影正、反算公式進(jìn)行鄰帶換算 利用高斯投影正反算公式進(jìn)行鄰帶坐標(biāo)換算的實(shí)質(zhì)是把橢球面上的