自由曲線曲面造型技術(shù)ppt課件

1、自由曲線曲面造型技術(shù)自由曲線曲面造型技術(shù)講講述：宋述：宋來(lái)來(lái)忠忠1、綜述、綜述2、簡(jiǎn)單技術(shù)、簡(jiǎn)單技術(shù)1、綜述、綜述自由曲線曲面造型技術(shù)是自由曲線曲面造型技術(shù)是CAx的理論的理論基礎(chǔ)基礎(chǔ)CAx計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)，包括計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)，包括 CAD,CAM,CAE,CAPP,CAD computer aided design 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)CAM computer aided manufacturing 計(jì)算機(jī)輔助制造計(jì)算機(jī)輔助制造CAE computer aided engineering 計(jì)算機(jī)輔助工程計(jì)算機(jī)輔助工程CAFD computer aided fixture design

2、計(jì)算機(jī)輔助夾具設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助夾具設(shè)計(jì)CAPP computer aided process planning 計(jì)算機(jī)輔助工藝設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助工藝設(shè)計(jì)CAQ computer aided quality assurance 計(jì)算機(jī)輔助質(zhì)量保證計(jì)算機(jī)輔助質(zhì)量保證CATD computer aided tool design 計(jì)算機(jī)輔助刀具設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助刀具設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)的應(yīng)用范圍：計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)的應(yīng)用范圍：宇航、汽車、船舶、計(jì)算機(jī)、宇航、汽車、船舶、計(jì)算機(jī)、機(jī)械、模具、地質(zhì)、氣象、機(jī)械、模具、地質(zhì)、氣象、醫(yī)學(xué)等等。醫(yī)學(xué)等等。從數(shù)學(xué)的角度講從數(shù)學(xué)的角度講 曲線曲線=一元函數(shù)的圖象表示）一元函數(shù)的圖

3、象表示） 曲面曲面=二元函數(shù)的圖象表示）二元函數(shù)的圖象表示）所謂所謂“自在自在”，亦即，亦即“不依賴坐標(biāo)架不依賴坐標(biāo)架的選取的選取” 圖象表示是函數(shù)的表示方式之一，圖象表示是函數(shù)的表示方式之一，特別函數(shù)沒有解析表達(dá)的時(shí)候。特別函數(shù)沒有解析表達(dá)的時(shí)候。 市面上 超人CAD/CAM系統(tǒng) 是集幾何造型與數(shù)控編程于一體的集成化軟件,具有統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),數(shù)據(jù)管理和用戶界面.系統(tǒng)采用NURBSNon Uniform Rational B-Spline)方法為造型核心,統(tǒng)一表示二次曲線曲面和自由曲線曲面.從根本上解決了不規(guī)則的任意邊界的曲面造型問(wèn)題,解決了復(fù)雜零件的四,五坐標(biāo)加工編程問(wèn)題,適用于各種刀具端銑

4、和側(cè)銑,大大提高了系統(tǒng)的數(shù)控編程能力.可以大面積切除毛坯余量,提高加工效率.系統(tǒng)具有良好的開放性. 自由曲面理論的發(fā)展經(jīng)歷了長(zhǎng)期的實(shí)踐醞釀，早在二戰(zhàn)期間，飛機(jī)工業(yè)就成功創(chuàng)造了成套的飛機(jī)外形及其主要結(jié)構(gòu)件的數(shù)據(jù)定義方法。20世紀(jì)60年代Coons和Bzier通過(guò)長(zhǎng)期從事飛機(jī)汽車的外形設(shè)計(jì)加工，提出更加完美、通用的曲面表達(dá)式，最終導(dǎo)致了完備的非均勻有理B樣條(NURBS)曲面理論體系的誕生。 但人們并不安于現(xiàn)狀，繼續(xù)探索新的造型方法。相繼出現(xiàn)了自由變形造型、偏微分方程造型、能量法造型、小波技術(shù)等。這些方法目前還處于深入研究階段，有望于21世紀(jì)得到廣泛的應(yīng)用。 插值插值(interpolation)

5、、擬合、擬合fitting)和和迫近迫近approximation)，一直是曲線曲，一直是曲線曲面造型基本的方法。面造型基本的方法。 自由曲線曲面造型技術(shù)是與計(jì)算機(jī)技自由曲線曲面造型技術(shù)是與計(jì)算機(jī)技術(shù)同步發(fā)展的。術(shù)同步發(fā)展的。 樣條函數(shù)由樣條函數(shù)由Schoenberg于于1946年年提出；第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)提出；第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)1946年年2月問(wèn)月問(wèn)世。并非是巧合。世。并非是巧合。1.1 研究現(xiàn)狀研究現(xiàn)狀1.1.1 曲面變形曲面變形（Deformation or Shape Blending) 傳統(tǒng)的NURBS模型僅允許調(diào)整控制頂點(diǎn)或權(quán)因子來(lái)局部改變曲面形狀。 計(jì)算機(jī)動(dòng)畫業(yè)和實(shí)體造型業(yè)需要與曲面

6、表示方法無(wú)關(guān)的變形方法或性狀調(diào)配方法。1.1.2 曲面重建Reconstuction) 從曲面上的部分采樣信息來(lái)恢復(fù)原始曲面的幾何模型。稱為曲面重建。 轎車車身設(shè)計(jì)和人臉類雕塑曲面的動(dòng)畫制作中，常先用油泥制模，在作三維型值點(diǎn)采樣； 醫(yī)學(xué)圖像可視化中，先用CT切片來(lái)得到人體臟器表面三維數(shù)據(jù)。1.1.3 曲面簡(jiǎn)化Surfaces Simplification) 從三維重建后的離散曲面或造型軟件的輸出結(jié)果中除去冗(rong)余信息而又保證模型的準(zhǔn)確度，以利于圖形的實(shí)時(shí)性、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的經(jīng)濟(jì)性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩浴?.1.4 曲面轉(zhuǎn)換(Conversion) 同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學(xué)形式，這一思想不僅

7、有理論意義，而且具有工業(yè)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)意義。1.1.5 曲面等距性(offset) 在計(jì)算機(jī)圖形及加工中有廣泛的應(yīng)用。 （如：平面到柱面）clear,close;close;x=-3:0.1:3;y=1:0.1:5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=(X+Y);figure(1)plot3(X,Y,Z)figure(2)N=100;R=1 1;X,Y,Z = CYLINDER(R,N);plot3(X,Y,Z);hold on;plot3(X(1,:),Y(1,:),Z(1,:);hold onplot3(X(2,:),Y(2,:),Z(2,:);1.2 發(fā)展趨勢(shì)1.2.1 能量?jī)?yōu)化法1.2

8、.2偏微分方程法(PDE)1.2.3流1.2.4小波技術(shù)略）這些技術(shù)21世紀(jì)有望被CAD/CAM技術(shù)所采用。1.2.1 能量?jī)?yōu)化法 1987，加那大Terzopoulos, 基于物理能量模型的可變形曲線曲面造型技術(shù)引人計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，用Lagrange方程建立能量模型，并用差分法解偏微分方程。有時(shí)問(wèn)題會(huì)化為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題.由柔性的薄膜形成的表面被最優(yōu)化問(wèn)題決定: min c*x+0.5*x*H*x : low = x 其中 c*x + 0.5*x*H*x 能量函數(shù)不連續(xù)的近似值 H = delsq(numgrid(S,30+2); (numgrid數(shù)據(jù)格子)h = 1/(30-1);c = -h

9、2*ones(302,1);1.2.2偏微分方程法(PDE) 主要用于船體、飛機(jī)、螺旋槳葉片等外形。1.2.3 流 人們希望所設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)物體外型具有“流線型”2、 簡(jiǎn)單技術(shù)(插值與擬合)2.12.1曲曲 線線 擬擬 合合 問(wèn)問(wèn) 題題 的的 提提 法法已知一組二維數(shù)據(jù)，即平面上已知一組二維數(shù)據(jù)，即平面上 n n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)xi,yi) xi,yi) i=1,n, i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)曲線尋求一個(gè)函數(shù)曲線y=f(x), y=f(x), 使使 f(x) f(x) 在某種在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi

10、)i i 為點(diǎn)為點(diǎn)xi,yi) 與曲線與曲線 y=f(x) 的距離的距離曲線插值的定義曲線插值的定義知知 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn), 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)),10bxxxan求任一插值點(diǎn)求任一插值點(diǎn))(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點(diǎn)可視為由節(jié)點(diǎn)可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,，g表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜,，或無(wú)封閉形式或無(wú)封閉形式,，或未知或未知.。*x*y 構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè)(相對(duì)簡(jiǎn)單的相對(duì)簡(jiǎn)單的)函數(shù)函數(shù)),(xfy 通過(guò)全部節(jié)點(diǎn)通過(guò)全部節(jié)點(diǎn), 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即

11、).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y擬合與插值的關(guān)系擬合與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到X和和 f之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？x124791 21 31 51 7f1 .53 .96 .611 .71 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .1MATLAB(cn)問(wèn)題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面問(wèn)題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：解決方案：若不要求曲線面通過(guò)所有數(shù)

12、據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線面通過(guò)所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問(wèn)題；最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：曲線擬合的方法有很多種，主要有曲線擬合的方法有很多種，主要有1、多項(xiàng)式擬合、多項(xiàng)式擬合2、線性最小二乘法、線性最小二乘法3 、非線性最小二乘法、非線性最小二乘法4、根據(jù)具體情況取指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函、根據(jù)具體情況取指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等擬合數(shù)等擬合5、分段擬合、分段擬合 等等等等曲線擬合問(wèn)題最常用的解法曲線擬合問(wèn)題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步:

13、先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。 第二步第二步: 確定確定a1,a2, am 的準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則）：的準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則）：使使n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)xi,yi) 與曲線與曲線 y=f(x) 的距離的距離i 的平方和最小的平方和最小 。記記 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 問(wèn)題歸結(jié)為，求問(wèn)題歸結(jié)為，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。+xyy=f(x)(xi,yi)i i

14、為點(diǎn)為點(diǎn)xi,yi) 與曲線與曲線 y=f(x) 的距離的距離2、插值、插值曲線插值的方法也很多曲線插值的方法也很多, 主要有主要有1)多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值2)樣條插值樣條插值(B樣條樣條,三次樣條三次樣條)3)最臨近值插值最臨近值插值4)線性插值線性插值等等等等比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子。樣條插值樣條插值 三次樣條插值三次樣條插值, 1,),()(1n

15、ixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng(x)g(x)為被插值函數(shù)。為被插值函數(shù)。用用MATLABMATLAB作插值計(jì)算作插值計(jì)算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點(diǎn)被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xixi處的插處的插值結(jié)果值結(jié)果n

16、earest ：最鄰近插值：最鄰近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時(shí)：缺省時(shí)： 分段線性插值。分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xixi不不能夠超過(guò)能夠超過(guò)x x的范圍。的范圍。xy機(jī)翼下輪廓線X035791 11 21 31 41 5Y01 . 21 . 72 . 02 . 12 . 01 . 81 . 21 . 01 . 6例例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x x每改變每改變0.10.1時(shí)的時(shí)的y

17、 y值。值。To MATLAB(plane)二維插值二維插值一、二維插值定義一、二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法三、用三、用MatlabMatlab解插值問(wèn)題解插值問(wèn)題最鄰近插值最鄰近插值分片線性插值分片線性插值雙線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值二維插值的定義二維插值的定義 xyO O第一種網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：第一種網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）： 知知 mn個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)bxxxam 21dyyycn 21 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)

18、),(yxfz 通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn)通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即即再用再用),(yxf計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 第二種散亂節(jié)點(diǎn)）：第二種散亂節(jié)點(diǎn)）： yx0 0已知已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn)通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即即),1 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即).,(*yxfz 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：)dcy)

19、(bax()y, x(f其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù)。雙線性插值雙線性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取為矩陣，或可取為矩陣，或x x取取行向量，行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點(diǎn)插值方法用用MATLABMATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插

20、值點(diǎn)的函數(shù)值nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值linear linear 雙線性插值雙線性插值cubic cubic 雙三次插值雙三次插值缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值例例 山區(qū)地貌：山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測(cè)得一些地點(diǎn)的高程如下表。平面區(qū)域?yàn)樵谀成絽^(qū)測(cè)得一些地點(diǎn)的高程如下表。平面區(qū)域?yàn)?1200=x=4000,1200=y=3600)試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對(duì)幾種插值方法進(jìn)行比較。試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對(duì)幾種插值方法進(jìn)行比較。 X Y120016002000240028003200360040001200113012501280123010409

21、00500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980 通過(guò)此例對(duì)最近鄰點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進(jìn)行比較。To MATLAB (moutain) 插值函數(shù)griddata格式為: cz =gri

22、ddatax，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量。取為列向量。被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值linear linear 雙線性插值雙線性插值cubic cubic 雙三次插值雙三次插值v4- Matlabv4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值 例例 汽車外形。汽車外形。clear;closex1= -2.1 0 2.1 2.1 2.1 -2.1 -2.1 -2.

23、1 -2.1;x2= -2,0,2,2,2,0,-2,-2,-2;x3=-1.5,1.5;x4=-1.5,1.5,1.5,1.5,-1.5,-1.5,-1.5;x5=-2,2,2,-2,0;y1=-4-.1 -4-.1 -4-.1 0 4+.1 4+.1 4.1 0 -4-0.1;y2=-4,-4,-4,0,4,4,4,0,-4;y5=-2,-2,2,2,0;y3=-3,-3;y4=-2,-2,0,2,2,0,-2;z1=0 0 0 0 0 0 0 0 0;z2=1,1,1,1,1,1,1,1,1;z3=1.2,1.2;z4=1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5;z5=1,1,1,1,1.7figure(1);plot3(x1,y1,z1);hold on