山東省濟寧市2015屆高考數(shù)學專題復習 第34講 絕對值不等式及柯西不等式練習 新人教A版

1、第五節(jié)絕對值不等式及柯西不等式(選修45)考情展望1.考查含絕對值不等式的解法.2.利用不等式的性質(zhì)求最值.3.利用柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值一、絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立定理1的放縮功能|a±b|a|b|，從左到右是一個放大過程，從右到左是一個縮小過程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值絕對值不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時還需要通過適當?shù)淖冃问蛊浞辖^對值不等式的條件定理2的推論推論1：|a|

2、b|ab|.推論2：|a|b|ab|.二、絕對值不等式的解法1含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集分類解集不等式a>0a0a<0|x|<ax|axa|x|>ax|xa或xaxR|x0R2|axb|c、|axb|c(c0)型不等式的解法3|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：解絕對值不等式的基本方法：零點分段討論法是求解絕對值不等式的基本方法其操作程序是：找零點、分區(qū)間、分段討論含絕對值不等式的常見類型及其轉(zhuǎn)化方法1形如|f(x)|g(x)|型不等式|f(x)|g(x)|f(x)2f(x)2.2形如|f(x)|g(x)，|f(x)|

3、g(x)型不等式(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)3形如a|f(x)|b(ba0)型不等式a|f(x)|baf(x)b或bf(x)a.4形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式|f(x)|f(x)f(x)0；|f(x)|f(x)x.5含有兩個或兩個以上絕對值的不等式的解法(1)零點分段法，通過討論去掉絕對值符號(2)利用|xa1|±|xa2|的幾何意義求解三、柯西不等式1二維形式的柯西不等式內(nèi)容等號成立的條件代數(shù)形式若a、b、c、dR，則(a2b2)·(c2d2)(acbd)2當且僅

4、當adbc時，等號成立向量形式設(shè)、是兩個向量，則|·|當且僅當是零向量或存在實數(shù)k，使k時，等號成立三角形式設(shè)x1，y1，x2，y2R，那么(x1x2)2(y1y2)2當且僅當P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三點共線且P1，P2在O兩旁時，等號成立2.一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.當且僅當b1b2bn0或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立1設(shè)ab>0，下面四個不等式中，正確的是()|ab|>|a|；|ab|<|b|；|ab|&

5、lt;|ab|；|ab|>|a|b|.A和B和C和 D和【解析】ab0，即a，b同號，則|ab|a|b|，正確，錯誤【答案】C2不等式|x2|x2的解集是()A(，2) B(，)C(2，) D(，2)(2，)【解析】|x2|x2同解于x20，x2.【答案】A3已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無解，則實數(shù)k的取值范圍是_【解析】|x1|x|x1x|1，當k1時，不等式|x1|x|k無解，故k1.【答案】(，1)4已知非負實數(shù)x，y，z滿足x2y2z2x2y3z，則xyz的最大值為_【解析】由已知可得2(y1)22，則2(121212)3，從而xyz.當且僅當xy1z時，等號成立即當x1，y

6、，z0時，xyz取得最大值.【答案】5(2013·大綱全國卷)不等式|x22|2的解集是()A(1,1) B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)【解析】由|x22|2，得2x222，即0x24，所以2x0或0x2，故解集為(2,0)(0,2)【答案】D6(2013·重慶高考)若關(guān)于實數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|<a無解，只需a8.【答案】(，8考向一 105絕對值三角不等式的應(yīng)用(2013·南昌質(zhì)檢)對于實數(shù)x

7、，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_【思路點撥】思路一將|x2y1|變形，設(shè)法用x1與y2表示，利用絕對值三角不等式求最大值思路二由|x1|1，|y2|1分別求x、y的取值范圍，然后運用不等式的性質(zhì)和絕對值的意義求解【嘗試解答】法一|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|21225，當且僅當x0，y3時，|x2y1|取最大值5.法二|x1|1，1x11，0x2.又|y2|1，1y21，1y3，從而62y2.由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值為5.【答案】5規(guī)律方法1(1)利用絕對值三角不等式求最值時，要指明取到等號的條件；(2

8、)若注意到|x2y1|，亦可由點(x，y)到直線x2y10的距離求解.對點訓練(2012·陜西高考)若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.【答案】2,4考向二 106含絕對值不等式的解法(2013·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當a2時，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值【思路點撥】絕對值不等式，分段討論求解；將a看做已知，求解|f(2xa

9、)2f(x)|2，將結(jié)果與已知結(jié)果對比確定a值【嘗試解答】(1)當a2時，f(x)|x4|當x2時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當2<x<4時，f(x)4|x4|無解；當x4時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為.(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為，所以于是a3.規(guī)律方法21.|xa|xb|c、|xa|xb|c型不等式的解法，解這類含絕對值的不等式的一般步驟：a令每個絕對值符號里的一次式為0，求出相應(yīng)的根b把這些根由小到大排序，它們把實數(shù)軸分為若干個區(qū)間c在所分

10、區(qū)間上，根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，討論所得的不等式在這個區(qū)間上的解集d這些解集的并集就是原不等式的解集2求解該類問題的關(guān)鍵是去絕對值符號，本題中運用零點分段法去絕對值，此外還常利用絕對值的幾何意義求解對點訓練(1)(2012·江西高考)在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x1|2x1|6的解集是_(2)不等式x|2x1|3的解集是_【解析】(1)原不等式化為3.其幾何意義是數(shù)軸上到與兩點的距離之和不超過3的點的集合又點或到兩點與的距離之和恰好為3，數(shù)形結(jié)合，不等式的解集為.(2)由x|2x1|3，得|2x1|3x.原不等式化為或解得x或2x.所以原不等式的解集是.【答案】(1)(2)考向三

11、 107絕對值不等式的綜合應(yīng)用(2013·大連調(diào)研)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【思路點撥】(1)求出f(x)3的解集與集合x|1x5對比即可求得a的值(2)只需求出f(x)f(x5)的最小值，方法一：利用函數(shù)的單調(diào)性方法二：利用絕對值不等式的性質(zhì)【嘗試解答】(1)由f(x)3，得|xa|3.解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5所以解得a2.(2)法一由(1)知a2，此時f(x)|x2|，設(shè)g(x)f(x)f(x5)|x2|x

12、3|，于是g(x)利用g(x)的單調(diào)性，易知g(x)的最小值為5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m對xR恒成立，知實數(shù)m的取值范圍是(，5法二當a2時，f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當且僅當3x2時等號成立)，g(x)的最小值為5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m對xR恒成立，知實數(shù)m的取值范圍是(，5規(guī)律方法31.第(2)問求解的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求f(x)f(x5)的最小值，法一是運用分類討論思想，利用函數(shù)的單調(diào)性；法二是利用絕對值不等式的性質(zhì)(應(yīng)注意等號成立的條件).2.將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透

13、，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向.對點訓練(2013·課標全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當a2時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1時，且當x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍【解】 (1)當a2時，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示，由圖象可知，當且僅當x(0,2)時，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)當x時，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化為1ax3，所以xa2對x都成立，故a2，即a.從而a的取值范圍是.考向四

14、108柯西不等式的應(yīng)用已知正數(shù)x，y，z滿足5x4y3z10.(1)求證：5.(2)求9x29y2z2的最小值【思路點撥】(1)只需證明的最小值為便可(2)是用平均值不等式，再用柯西不等式證明【嘗試解答】(1)根據(jù)柯西不等式，得(4y3z)(3z5x)(5x4y)·(5x4y3z)2.當且僅當，即x，y，z時等號成立因為5x4y3z10，所以5.(2)根據(jù)平均值不等式，得9x29y2z222·3x2y2z2，當且僅當x2y2z2時，等號成立根據(jù)柯西不等式，得(x2y2z2)(524232)(5x4y3z)2100.即x2y2z22，當且僅當時，等號成立綜上，9x29y2z2

15、2·3218.當且僅當x1，y，z時，等號成立所以9x29y2z2的最小值為18.規(guī)律方法41.用柯西不等式求最大(小)值，要創(chuàng)造使用定時的條件，二要注意等號成立的條件.2.用柯西不等式求最大(小)值的關(guān)鍵是構(gòu)造其特征.對點訓練已知正數(shù)x，y，z滿足xyz1.(1)求證：；(2)求4x4y4z2的最小值解：(1)證明：因為x0，y0，z0，所以由柯西不等式得(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2.又因為xyz1，所以；當且僅當時取等號(2)由三個正數(shù)的平均值不等式得4x4y4z23，因為xyz1，所以xyz21zz22.故4x4y4z233.當且僅當xy，z時等號成立所以4x4y4z2的最小值為3.規(guī)范解答之十一絕對值不等式中逆向問題的求解策略1個示范例1個規(guī)范練(10分)(2012·遼寧高考)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍【規(guī)范解答】(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，2分當a0時，不合題意當a>0時，x，因此2且1，a2.5分(2)由(1)知f(x)|2x1|記h(x)f(x)2f()|2x1|2|x1|則h(x)8分所以|h(x)|1，因此k1.10分【名師寄語】(1)逆向問題可正向求解，以本題為例，求出不等式的解集后，與已知