2015年南通市高三數(shù)學(xué)一模試卷(大市)

1、南通市2015屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），滿分為160分，考試時間 為120分鐘。考試結(jié)束后，請將答題卡交回。2 .答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上。3 .作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 . 已知集合 A= 2,1, B= 1

2、, 2, 3,則 AI B .2 .已知復(fù)數(shù)z滿足（3 4i）z 1 （i為虛數(shù)單位）,則z的模為 .3 .某中學(xué)共有學(xué)生2800人，其中高一年級970人，高二年級930人，高三年級900人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，抽取 280人進行體育達標檢測，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為.（第5題）4 .函數(shù)f（x） lg（ x2 2x 3）的定義域為.5 .右圖是一個算法流程圖，則輸出的x的值是 6 .同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標有1,2,3, 4, 5, 6個點的正方體玩具），觀察向上的點數(shù)，則 兩個點數(shù)之積不小于 4的概率為.7 .底面邊長為2,高為1的正四棱錐的側(cè)面積為 一8 .在平面

3、直角坐標系 xOy中，以直線y 2x為漸近線，且經(jīng) 過拋物線y2 4x焦點的雙曲線的方程為.9.在平面直角坐標系xOy中，記曲線y 2x (m R，m 2)在x 1處的切線為直線l .若直線l在兩坐標軸上的截距之和為12,則m的值為 A10.已知函數(shù)f(x) sin 2x 6 .若y f(x )(02)是偶函數(shù)，則11.在等差數(shù)列an中，已知首項a10,公差d 0 .若a1a260 ,a?a3100 ,則54a5的最大值為 12.已知函數(shù)yax b (b 0)的圖象經(jīng)過點P(1, 3),如下圖所示，則冷(的最小值13. 如上圖，圓。內(nèi)接 ABC中，M是BC的中點,AC=3.若uuir AOuu

4、urAM 4 ,則 AB=A14. 已知f(x)是定義在1,上的函數(shù)，且f(x)1 |2x 3|1 f , x) ,1 2,在區(qū)間1 , 2015上零點的個數(shù)為 內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在4ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c.已知bcosC ccosB 2acosA .(1)求A的大小;Uli UUT -(2)若 AB AC = V3 ,求 ABC 的面積.16 .(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC, CCi= 4, M是CC

5、i上的一點.(1)求證：BC AM ;(2)若N是AB的中點，且 CN/平面AB1M ,求CM的長.17 .(本小題滿分14分)22如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1, F2分別是橢圓 與當 1(a b 0)的左、右焦點，a b頂點B的坐標為(0, b),且 BF1F2是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程；(2)過右焦點F2的直線l與橢圓相交于 A, C兩點，記 ABF2, 4BCF2的面積分別為 S1,S2.若S1=2S2,求直線l的斜率.(第17題)18 .(本小題滿分16分)在長為20 m,寬為16 m的長方形展廳正中央有一圓盤形展臺(圓心為點C),展廳入口位于長方形的長邊的中間

6、.在展廳一角B點處安裝監(jiān)控攝像頭，使點 B與圓C在同一水平面上，且展臺與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(nèi)(如圖陰影所示)(1)若圓盤半徑為2&m,求監(jiān)控攝像頭最小水平攝像視角的正切值；(2)若監(jiān)控攝像頭最大水平攝像視角為60。，求圓盤半徑的最大值.19 .(本小題滿分16分)若函數(shù)y=f(x)在x=xo處取得極大值或極小值，則稱xo為函數(shù)y=f(x)的極值點.已知函數(shù)3f (x) ax 3xln x a (a R).(1)當a 0時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間1, e上有且只有一個極值點，求實數(shù) a的取值范圍. e(注：e是自然對數(shù)的底數(shù).)20.(本小題滿分16分)a設(shè)數(shù)列an的前

7、n項和為3.若1-. bc ca ab a b c【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.本本小題滿分10分）如圖，在四棱錐 A BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，平面 ABE 平面BCDE , AB AE ,CD（第22題）AEDB DE , BAE BDE 90 .（1）求異面直線 AB與DE所成角的大小;（2）求二面角B AE C的余弦值.23.本本小題滿分10分）、1 . . . * 設(shè)an是滿足下述條件的自然數(shù)的個數(shù)：各數(shù)位上的數(shù)字之和為n（n N ）,且每數(shù)位上的數(shù)字只能是1或2.(1)求

8、a1，a2, a3, a4 的值;*求證：a5n 1（n N ）是5的倍數(shù).南通市2015屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)I參考答案及評分建議、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 . 已知集合 A= 2,1, B= 1, 2, 3,則 AI B .【答案】 12 .已知復(fù)數(shù)z滿足（3 4i）z 1 （i為虛數(shù)單位）,則z的模為 .【答案】1 53 .某中學(xué)共有學(xué)生2800人，其中高一年級970人，高二年級930人，高三年級900人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，抽取 280人進行體育達標檢測，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為 A【答案】934 .函數(shù)f（x） lg（

9、 x2 2x 3）的定義域為.【答案】（1,3）5 .右圖是一個算法流程圖，則輸出的x的值是一【答案】596 .同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標有1,2, 3, 4, 5, 6個點的正方體玩具），觀察向上的點數(shù)，則兩個點數(shù)之積不小于 4的概率為.7 .底面邊長為2,高為1的正四棱錐的側(cè)面積為一一8 .在平面直角坐標系 xOy中，以直線y 2x為漸近線，且經(jīng)過拋物線 y2 4x焦點的雙曲線的方程為 49.在平面直角坐標系xOy中，記曲線y 2x里m R, m2)在x 1處的切線為直線l .若直線l在兩坐標軸上的截距之和為 12,則m的值為 A10.已知函數(shù)f(x)sin2x鼠若 y

10、f(x )(0 62)是偶函數(shù)，則11.在等差數(shù)列an中,已知首項a1 0 ,公差d 0 .若q a260 ,a2a3 2則函數(shù)y 2xf (x) 3在區(qū)間1, 2015上零點的個數(shù)為 A【答案】11解答時應(yīng)寫出文字說二、解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分14分)在4ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c.已知bcosC ccosB 2acosA .(1)求A的大??；(2)若 AB AC = 73 ,求 ABC 的面積.【解】（1）解法一：在 ABC中，由正弦定理，及 bcosC ccosB 2acosA,得 si

11、n BcosC sinC cosB 2sin AcosA, 3分即 sin A 2sin AcosA ,1 因為A? (0,4,所以sin A 0 ,所以cosA ,2所以A -3解法二：在 ABC中，由余弦定理，及 bcosC ccosB 2acosA ,222得bf222a c bc20T-2ab2bc所以 a2 b2 c2 bc,222所以cosA bc2bc6分8分3分6分因為A? （0,力，所以A .3nui由ABLuurAC=cbcosA=心,得bc2向11分所以 ABC 的面積為 S=1bcsin A 1 23sin 60o 3 . 14 分22216.(本小題滿分14分)如圖，

12、在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC, CC1= 4, M是CC上的一點.因為 AC BC , CC11AC C , CC1 , AC 平面 ACC1Al ,所以BC 平面ACC1Al.4分所以CNMP .12分所以四邊形CNPM為平行四邊形,所以CM Np衿1 2.證法二：如圖2,設(shè)NC與CC1確定的平面交連結(jié)NP, PM .因為CN /平面AB1M , CN 平面CNPM平面AB1M I平面CNPM PM ,14分8分所以CNMP .因為 BB1 CM , BB1 平面 CNPM , CM 平面 CNPM ,所以BB1 平面CNPM .10分又B0 平面ABB1 ,平面ABB1

13、I平面CNPM NP ,所以BB NP ,所以CM NP,所以四邊形CNPM為平行四邊形. 12分因為N是AB的中點,所以.忤揄1證法三：如圖3,取BB1的中點Q ,BQ圖3B1連結(jié)NQ , CQ .因為N是AB的中點，所以NQAB1,因為NQ 平面AB1M , AB1平面AB1M ,所以NQ 平面ABiM .因為 CN/平面 ABiM , NQ I NC N , NQ, NC平面NQC ,所以平面NQC 平面ABiM ,10分因為平面 BCCiB I平面NQCQC ,平面 BCCi Bi I 平面 AB1Mi4分又因為CM / BBi ,同理可得,SM MBi ,所以CM抻i2CCi2 .i

14、4分所以 CQMBi. I2 分 因為BBi/CCi ,所以四邊形CQBiM是平行四邊形,i所以 CM BiQ -CCi 2 . 2i7.(本小題滿分i4分)頂點(i)求橢圓的方程;2如圖，在平面直角坐標系B的坐標為(0, b),且4(2)過右焦點F2的直線記ABF2, ABCFZ的面積分別為Si, S2.若S1=2S2,求直線l的斜率.【解】（1）由題意，得 a=2c=2, b2=a2c2=3,2.2所求橢圓的方程為勺2 1 43（2）設(shè)B到直線AC的距離為h,由于S = 2S2,所以，1aF2 h 2 1 F2C h ,即 AF2 2F2cuuuu所以，AF2uuiir2F2c .解法一：

15、設(shè)A (xi , y), C(X2，幻，又 F 2(1,0則(1 X1 ,yO2(X21,y2）,即x1 3 2x2,2y2.2X2由4(32”132X2)24(2y2)23解得,1X2y27王3.5812分所以，直線i的斜率為3,5 87 1414分解法二：由（1）知,設(shè)點A （Xi , y）到橢圓2y- 1右準線X 4的距離為d, 3則等1,所以AF222整,同理 CF22 2 X2 ,10分由 AF2 2F2c 得，2 2為=2(2 2X2),即 *2=2+1為.12分所以X2 4 （以下同解法一） 解法三：橢圓的右準線為直線 X 4,分別過A, C作準線的垂線，垂足分別為 A, C ,

16、過C作CH，AA阻 AF2 于 CC AABCXC 1O / F2,垂足為H.（如圖）10分y所以 tan ABE tan( ABCCBE)4 _55 61 4 _5561蒙,10又 AF2 2F2c ,在 RTA CAH 中,AC 3F2C, AH 2F2C ,所以 CH 府2c ,所以tan CAH 卑12分根據(jù)橢圓的對稱性知，所求直線斜率為號. 14分18 .（本小題滿分16分）在長為20 m,寬為16 m米的長方形展廳正中央有一圓盤形展臺（圓心為點C）,展廳入口位于長方形的長邊的中間.在展廳一角B點處安裝監(jiān)控攝像頭，使點B與圓C在同一水平面上， 且展臺與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(nèi) （

17、如圖陰影所示）.（1）若圓盤半徑為2萬 m,求監(jiān)控攝像頭最小水平攝像視角的正切值;（2）若監(jiān)控攝像頭最大水平攝像視角為60。，求圓盤半徑的最大值.（注：水平攝像視角指鏡頭中心點水平觀察物體邊緣的視線的夾角.）【解】（1）解法一：如圖，過 B作圓C的切線BE, 切點為 巳 設(shè)圓C所在平面上入口中點為 連結(jié) CA, CE, CB,則 CE BE , CA 則攝像水平視角為/ ABE時， 水平攝像視角最小.在 RtA ABC中，4AB 10, AC 8 , tan ABC -, 512 , tan CBE ,4 分6在 RtA BCE 中，CE 2 而,BE 7CB_CE78分所以最小攝像視角的正切

18、值為 125.10解法二：過B作圓C的切線BE,切點為E,設(shè)圓C所在平面上入口中點為A,連結(jié) CA, CE, CB,則 CE BE, CA AB則攝像視角為/ ABE時，攝像視角最小.在平面ABC內(nèi)，以B為原點，BA為x軸建立直角坐標系，則 C（10, 8 ,設(shè)直線BE的方程為y kx ,由圓C與直線BE相切得,2y20 m16 mB口（第18題） 舍去）.解得，k 1誓（其中k 1嚓不合題意,答：所以最小攝像視角的正切值為1 3-510（2）解法一：當 ABE=60時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大.在平面ABC內(nèi)，以B為坐標原點，BA為x軸建立平面直角坐標系,所以直線BE方程為：y

19、 73x,12分所以CE10/3 8573- 4,則圓C的最大半徑為573- 4 m.16分解法二：設(shè)圓盤的最大半徑為 r,當 ABE = 60時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大.在 RtABC 中，AB410, AC 8, tan ABC -,5在 RtBCE 中，CEBECB2 CE2164 r2tan CBE一r16410分由 tan ABE tan(ABCCBE)得，-14545r施工人,r164 r212分即 4 164 r2 5r73(54164 r2 4r),91 40 3 (5 3 4)215分答：圓C的最大半徑為5邪-4 m. 16分19 .(本小題滿分16分)若函數(shù)

20、y f(x)在x=x。處取得極大值或極小值，則稱xo為函數(shù)y f(x)的極值點.已知函數(shù) f(x) ax3 3xln x a (a R).(1)當a 0時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間1, e上有且只有一個極值點，求實數(shù) a的取值范圍. e(注：e是自然對數(shù)的底數(shù).)【解】(1)當 a 0 時，f(x) 3xlnx,所以 f(x) 3(ln x 1). 2 分令 f (x) 0 ,得 x 1 , e當 x (0,e)時，f (x) 0 ;當 x 已)時，f (x) 0,所以f (x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞減增. 4分ee所以，當x 1時，f(x)有極小值f(1)

21、3. 6分ee e(2)解法一：設(shè) g(x) f (x) 3(ax2 1 Inx) , D 1, e . e由題意，g(x)在D上且只有一個零點 七 ,且x兩側(cè)g (x)異號.當a0時，g(x)在D上單調(diào)遞增，且g(x) g(1) 0 , e所以g(x)在D上無零點； 8分當a 0時，在(0,)上考察g(x)：6a(x . 2a)(x 2a)g (x) rx，令g0,得用房.g(x)在(0,為)上單調(diào)遞增，在(Xi,+ )上單調(diào)遞減. 10分當g(e) g(1) 0,即(ae2 2)隅 0 ,即今 a 0時，eeeg(x)在D上有且只有一個零點 X0,且在X0兩側(cè)異號. 13分(ii)令g(1

22、) 0 ,得綽0,不可能. ee(iii)令 g(e) 0,得 a 4，所以 J11 e D , e12a 2g(OF)g(e)3( 111n 9 3(1 喈)0,2a 22222又因為g(1) 31 0, e e所以g(x)在D上有且只有一個零點X0 ,且小兩側(cè)g(x)異號.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是馬，0 . 16分e解法二：令 f (x) 3(ax2 1 1nx) 0,得 a n . 8 分X1設(shè) h(x) 1 lnx ,由 h(x) 1 23n x，令 h (x) 0 ,得 x0 e 1,e , xxe當x (%,e), h (x) 0 ,所以h(x)在(,e)上為減函數(shù)；當x (1

23、, x0), h (x) 0,所以h(x)在(1，%)上為增函數(shù)， ee所以5為h(x)的極大值點. 11分又嗎)0, h(e) er, h(x0) 1e,所以02e,即2e-13分1 一 一2e時,f (x)3(12 ex 121n x).設(shè) m(x)1 22 ex則 m (x)1ex 一 x2 exxe(x，)(x .Ix，令 m (x)當x (1, e 2) , m (x) 0 ,所以m(x)在(1, e 2)上為增函數(shù); ee11當x (e 2, e), m (x) 0 ,所以m(x)在(e 2, e)上為減函數(shù).1所以 m(x) m(e 2)0 ,即f (x) 0在e e恒成立,所以

24、f(x)在e e上單調(diào)遞減.所以當a2e時,f(x)在e，e上不存在極值點.所以實數(shù)a的取值范圍是馬，0 .e16分20.(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為3.若2an “緊密數(shù)列”，取值范圍.【解】(1)由數(shù)列an的前n項和S,2*4(n2 3n)(n N),彳曰 a 一 &， n = 1，信 an Sn-Sn-1, n21 1 1 2n+2n2=2n+2 (n N)所以,an+13+an11n+1n+12n+21 一因為對任意nCN*, 0n+1an+1.所以，1募=1+n+1所以，9手2anW 2, 即an是緊密數(shù)列”.(2)解法一：由數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，得q=a”，

25、an一，1C因為an是緊密數(shù)列，所以2WqW2.Sn+1 n + 11當 q=1 時，Sn=na1, Sn =1+n,1 一 . Su+1 n+11 - c所以，產(chǎn) 1Sn=nT = 1+1210分當qwi時,Sn =ai(1 qn)Sn+i 1 - qn+1i-qSn1-qn故q= 1時，數(shù)列Sn為 緊密數(shù)列，故q= 1滿足題意.因為數(shù)列Sn為緊密數(shù)列所以，1w S+41 q n W2對于任意n N*恒成立.2Sn1 - q當1wq1 時，1(1-qn)1-qn+1 - 1*意n N恒成立.一、， n3 一 八 因為 0Vq Wqv1, 0W2q1v1, ?wq- 2V 1,133,所以 q

26、 (2q-1)qq(q-2)-(-) = -4-所以，當2WqvI時，qn(2q二2：對于彳i意n N*恒成立.13分2q (q 2)1(ii)當 1qW2 時，1(qn_1)Wqn+1 _ 1W2(qn_1),即 (乃二?1；對于 2rq (q 2)q1, 2q- 1 1, - 1 q-2 1, /口, .一 一 ，.所以 。、：，解得q=1,又1q2,此時q不存在q(q2尸一1綜上所述，q的取值范圍是2,1 . 16分1解法二：因為an是 緊密數(shù)列，所以2WqW2. 8分Sn+1 n+111Sn+1 n+11當q= 1時,Sn=na1，Sn= n =1 + n,所以,zWSn= n =1

27、+ n210分故q= 1時，數(shù)列Sn為 緊密數(shù)列，故q= 1滿足題意.當qwi時,Sn=1)則受1+11 - qSn1 - q因為數(shù)列Sn為緊密數(shù)列”，1 S+1 1 - qn+1,*所以，/V= d 2n W2對于任息n N恒成立.2 Sn 1 q 1 一 1(i)當 2wqv1 時，2(1-qn)1-qn+12(1-qn),即qn(2q1):1對于彳意n N*恒成立.q (2-q) 1所以q(2q17J解得六q1. 13分q(2- q) 1.2(ii)當1wq1.綜上所述，q的取值范圍是2, 1 . 16分數(shù)學(xué)n (附加題)參考答案及評分建議21.【選做題】本題包括 A、B、C、D四小題，

28、請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖，已知 AB是。的直徑，CD是。O的弦，分別延長AB, CD相交于點 M, N為。上一點，AN=AC,證明：/ MDN=2/OCA.【解】連結(jié)ON,因為AN=AC, ON=OC, OA是公共邊，所以ANOACO,故/ OAC=/OAN. 3分又/ OAC=Z OCA,所以/ NAC= / OAC+ / OAN= / OCA + / OAC= 2/ OCA .因為A, C, D, N四點共圓，所以/ MDN=ZNAC,所以，/ MDN

29、 =2ZOCA. 10 分B.選彳4 2:矩陣與變換(本小題滿分10分)m 21n 2已知矩陣M的逆矩陣M 1,求實數(shù)m , n.737 m【解】由 MMmn 140107n 2114 3m 01mn 14 110分所以7 n 21 0 ,解得14 3m 1C .選彳4f- 4 - 4:坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為it24t。為參數(shù))，曲線與直線l： y 2 x相交于A, B兩點，求線段 AB的長.”,【解】解法：將曲線C的參數(shù)方程2 化為普通方程為x 8y2,1t4方程組x 8y2解得X 0或x x 2yy 0 y所以 A(0,0),

30、B(1,1),所以 ABx解法二：將曲線C的參數(shù)方程為12 . 6 分14（2）2（4）2 10分1tI2 代入直線l ,得Jt 1t2 ,It444解得 ti 0 , t2 1 . 3 分可得 A（0,0）, B（2,l）, 6 分所以AB I? （1）2 中. 10分D.選彳4 5:不等式選講（本小題滿分10分）已知a, b, c均為正數(shù).求證：1 1 . bc ca ab a b c【解】因為a, b, c都是為正數(shù)，ablabx2c 八所以二一（）一 3 分bccac bac同理可得 2 , 2 .ca ab a ab bc b將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以 2,行 abc111

31、信 一 . 10 分bccaababc內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖，在四錐 A BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，平面ABE 平面BCDE , AB AE ,DBDE , BAE BDE= 90 .(1)求異面直線 AB與DE所成角的大小;(2 )求二面角B AE C的余弦值.設(shè)BE的中點為O,連結(jié)AO, DO,由于 AB=AE, BO=OE ,所以AOXBE,同理DO BE .所以AO,平面又因為平面 ABEL平面BCDE,平面ABE I 平面 BCDE=BE ,BCDE ,由題意，BE2

32、 2AB2 2DB2,所以 AB BD DE以O(shè)為坐標原點,第22題圖所以異面直線 AB與DE所成角為5分60 .解法一：(1)不妨設(shè)OA a(2)設(shè)平面ACE的法向量為uuni(x, y,z)，uur因為 AE (0,a,uura), EC(a,3a, 0),uu uur所以n1 AE 0 ,uurEC 0 ,所以，y z且x 3y ,取y3,ur所以，n,(3,1,1),又平面 ABE的法向量為uu% (1, 0,0),設(shè)二面角B AE C的平面角為，由cosIUurn1n2uuuu|n1n23_113 1111 ，因此，二面角B AE C的余弦值為久且1110分解法二:(1)不妨設(shè)AB 1 ,以B為原點,建立如圖所示空間直角坐標系B-xyz,則B(00 0)C(1,Q 0),則 D(0,1, 0)A(uuu 則AB1 2(1,0,0)uur因為cos ABuuirDEuuu UULT AB-DUE AB DE12F4 4uuuuuir所以AB與D