第十章對(duì)坐標(biāo)的曲面積分ppt課件

1、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面. .曲面的投影問(wèn)題曲面的投影問(wèn)題: :在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊 曲曲面面 S 面面在在xoyS ,為為上上的的投投影影xyS

2、)( .0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 類似地可定義類似地可定義zxyxSSzoxyozS)()( 和和面面上上的的投投影影及及在在二、概念的引入二、概念的引入實(shí)例實(shí)例: : 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. .( (1 1) ) 流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為常常向向量量 v, ,有有向向平平面面區(qū)區(qū)域域A A, ,求求單單位位時(shí)時(shí)間間流流過(guò)過(guò)A A的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 ( (假假定定密密度度為為 1 1) ). .A Av 0nAvnvAvA 0cos 流量流量( (2 2) ) 設(shè)設(shè)穩(wěn)穩(wěn)定

3、定流流動(dòng)動(dòng)的的不不可可壓壓縮縮流流體體( (假假定定密密度度為為 1 1) )的的速速度度場(chǎng)場(chǎng)由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給給出出, ,是是速速度度場(chǎng)場(chǎng)中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函數(shù)數(shù)),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上連連續(xù)續(xù), , 求求在在單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 . .xyzo 1. 分割分割 把把曲曲面面分分成成n小小塊塊is ( (is 同同時(shí)時(shí)也也代代表表第第i小小塊塊曲曲面面的的面面積積) ), ,在在is 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)),(iii , ,xyzo in),(i

4、ii iS iv則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv法向量為法向量為 .in,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 該該點(diǎn)點(diǎn)處處曲曲面面的的單單位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通過(guò)過(guò)is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為)., 2 , 1(niSnviii 2. 求和求和通通過(guò)過(guò)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取極限取極限0 .的精

5、確值的精確值取極限得到流量取極限得到流量 三、概念及性質(zhì)三、概念及性質(zhì)定義定義 設(shè)為光滑的有向曲面設(shè)為光滑的有向曲面, ,函數(shù)在上有函數(shù)在上有界界, ,把分成把分成n塊小曲面塊小曲面iS ( (iS 同時(shí)又表示第同時(shí)又表示第 i塊小曲面的面積塊小曲面的面積),),iS 在在xoy面上的投影為面上的投影為xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上任意取定的一點(diǎn)上任意取定的一點(diǎn), ,如如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0 時(shí)時(shí), , nixyiiiiSR10)(,(lim 存存在在, , 則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(zyxR在在有有向向曲曲面面上上對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)

6、標(biāo)yx,的的曲曲面面積積分分( (也也稱稱第第二二類類曲曲面面積積分分) ) 記記作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 積分曲面積分曲面被積函數(shù)被積函數(shù)有向面積元有向面積元類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydz

7、zyxP),(),(),( 物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 性質(zhì)性質(zhì):由定義可知對(duì)坐標(biāo)的曲面積分具有與由定義可知對(duì)坐標(biāo)的曲面積分具有與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分相類似的性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分相類似的性質(zhì)1。 可加性可加性 2121 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz2 。 反向性反向性 dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),()(21的側(cè)要相容的側(cè)要相容與與 四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

8、的計(jì)算法 設(shè)積分曲面是由設(shè)積分曲面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉閤yD, ,函數(shù)函數(shù)),(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連續(xù). .xyzo ),(yxfz xyDxys)( nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),

9、(即即,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .這就是把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分的計(jì)算公式這就是把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分的計(jì)算公式概括為：概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入代：將曲面的方程表示為二元顯函

10、數(shù)，然后代入 被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素如投：將積分曲面投影到與有向面積元素如dxdy）中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上如中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上如xoy 面）面）定號(hào)：定號(hào)： 由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分 的正負(fù)號(hào)的正負(fù)號(hào)一代、二投、三定號(hào)一代、二投、三定號(hào)注注積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù) 否則分片計(jì)算，結(jié)果相加否則分片計(jì)算，結(jié)果相加確定正負(fù)號(hào)的原則：確定正負(fù)號(hào)的原則： 曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正 曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)曲

11、面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)例例1 計(jì)算計(jì)算 ydzdxxdydzzdzdy30122 zzyx及及被被平平面面是是柱柱面面 所截得的在第一卦限的部分的前側(cè)所截得的在第一卦限的部分的前側(cè)解解0的投影區(qū)域的面積為的投影區(qū)域的面積為在在由于由于xoy 0zdxdy故故面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠趛oz 10,30: yzDyz yzDdydzyxdydz21故故 301021dyydz43 面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠趜ox 10 ,30: xzDzx zxDdzdxxydzdx4312故故 23ydzdxxdydzzdxdy 計(jì)算計(jì)算 xyzdxdy 其中是球面其中是球面1222 zyx外

12、側(cè)外側(cè) 在在0, 0 yx的部分的部分. . xyz1 2 解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 例例2 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 例例3 計(jì)算計(jì)算 yzdzdxxydydzxzdxdy是是其中其中 平面平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所圍成的所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)oxyz解解 分成四個(gè)部分分成四個(gè)

13、部分1, 0:1 zxy 左側(cè)左側(cè)1, 0:2 yxz 下側(cè)下側(cè)1, 0:3 zyx 后側(cè)后側(cè)所所截截得得的的部部分分被被0, 0, 01:4 zyxzyx 上側(cè)上側(cè)1 2 3 4 上上在在1 10 yzdzdxxydydzxzdxdy)0, 0,(1 zzoxyozxoy面面上上而而在在面面上上的的投投影影為為在在因因 同理同理 20 yzdzdxxydydzxzdxdy 30 yzdzdxxydydzxzdxdy上上在在4 4)1( xyDdxdyyxxxzdxdy 1010)1(xdyyxxdx241 同理同理 4241 xydydz 4241 yzdzdx yzdzdxxydydzxz

14、dxdy81 注注對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性被積表達(dá)式具有輪換對(duì)稱性，即將被積被積表達(dá)式具有輪換對(duì)稱性，即將被積 表達(dá)式中的所有字母按表達(dá)式中的所有字母按xyz順序代換后原式不變順序代換后原式不變積分曲面及其側(cè)具有對(duì)稱性，這是指曲面積分曲面及其側(cè)具有對(duì)稱性，這是指曲面 在各坐標(biāo)面上的投影區(qū)域均相同，且配給在各坐標(biāo)面上的投影區(qū)域均相同，且配給 的符號(hào)也相同的符號(hào)也相同五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD, , 函函數(shù)數(shù)),(yxzz 在在xyD

15、 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). . ),(yxfz xyzoxyDdsn對(duì)坐標(biāo)的曲面積分為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分為 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(曲面的法向量的方向余弦為曲面的法向量的方向余弦為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 對(duì)對(duì)面面積積的的曲曲面面積積分分為為 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的兩兩側(cè)側(cè)均均成成立立) ) 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的

16、聯(lián)系dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 向量形式向量形式 dSASdAdSnASdAn或或其其中中cos,cos,cos, nRQPA為為有有向向曲曲面面上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的單單位位法法向向量量, , ,dxdydzdxdydzdSnSd 稱稱 為為 有有 向向 曲曲 面面元元, ,nA為為向向量量A在在n上上的的投投影影. . 例例4 計(jì)算計(jì)算zdxdydydzxz )(2, ,其中是旋轉(zhuǎn)其中是旋轉(zhuǎn)拋物面拋物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及 2 z之間的部分的下側(cè)之間的部分的下側(cè). . 解解 dydzxz)(2 dsxz cos)(2 dx

17、dyxz coscos)(2有有上上在曲面在曲面, .11cos,1cos2222yxyxx dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.8 注注此例的解法具有普遍性此例的解法具有普遍性Dyxyxzz ),( , ),(的的方方程程為為設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲面面 取上側(cè)取上側(cè) 上上連連續(xù)續(xù)在在 RQP, RdxdyQdzdxPdydz DyzyxzyxQxzyxzyxP),(,),(, dxdyyxzyxR ),(, 六、小結(jié)六、小結(jié)1 1、物理意義、物理意義

18、2 2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)曲面的側(cè)“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”思考題思考題 設(shè)設(shè) 為球面為球面1222 zyx， 若以其球， 若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問(wèn)面的外側(cè)為正側(cè)，試問(wèn)221zxy 之之左側(cè) （即左側(cè) （即oy軸與其法線成鈍角的一側(cè)） 是正軸與其法線成鈍角的一側(cè)） 是正側(cè)嗎？那么側(cè)嗎？那么221zxy 的左側(cè)是正的左側(cè)是正側(cè)嗎？側(cè)嗎？ 思考題解答思考題解答此時(shí)此時(shí) 的左側(cè)為負(fù)側(cè)，的左側(cè)為負(fù)側(cè)，221zxy 而而 的左側(cè)為正側(cè)的左側(cè)為正側(cè).221zxy 練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 dzdxzyxQdzdxzyxQ),(),( = =_. .2 2、第二類曲面積分、第二類曲面積分dxdyRQ