華東師大數(shù)學(xué)分析答案

1、第四章函數(shù)的連續(xù)性1第四章函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性概念1 按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù):1(1) f(x)二；X(2) f(X)= X。D =(-：,O)(O,：)，當(dāng) x,xo D 時(shí)，有1 1X Xox Xo|x|xo|時(shí)，有1證：(1) f (X)的定義域?yàn)閄由三角不等式可得：X蘭X。-x - xo|,故當(dāng)X - X0< X0對(duì)任意給的正數(shù)；，?。憾(x)-可見(jiàn) f(X)在Xo連續(xù),X1；Xof(Xo)= 一Xo<Xox Xo2 - X - Xo| Xo>0,則 6 < Xo，當(dāng) X D 且 X-Xo <b 時(shí),1 _ 1x Xo由Xo的任意性知：f (x

2、)在其定義域內(nèi)連續(xù)。f(x)=x的定義域?yàn)?-00,畑),對(duì)任何的Xo(-°o，畑)，由于X - x0蘭x xo，從而對(duì)任給正數(shù) W ,取6=8，當(dāng)X xo時(shí),f(x) - f(Xo)= X - Xo-xo故 f (x)在Xo連續(xù)，由Xo的任意性知,f (x)在(：)連續(xù)。2指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型:(1)f(x)f (X)二(3) f(x) = cosx；(4)f(x)=sg nx ;(5)f(x)二 sgn(cosx);(6)f(x)X，X為有理數(shù)；(7) f(x)H 廠X, X為無(wú)理數(shù)x,-:：:x ： -7一7 乞 x1(x _1)sinx111解:(1) f (x)在x=0間

3、斷，由于lim (x -)不存在，故x=0是f (x)的第二類間斷點(diǎn)。xsin x(2) f(x)在 x=0間斷，由于 limf(x) = lim1 ,7+ xsin xlim f(x) = lim 二1 故x =0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。(3) f (x)在 x二n 二間斷,(n =0, 一1,_2，)由于lim *f (x) = lim co s =0 , lim f (x) = lim cosx =0 x_nx_nx_n 二x ：n ：X jn：-x=n二是f (x)的可去間斷點(diǎn)(n =0,_1,_2，)。(4)f (x)在 x=0 間斷，由于 lim f(x) = limsgn0丁0

4、Tx =1 ,lim f (x) = lim sgn x=1，故 x = 0 是 f(x)的可去間斷點(diǎn)。n(5) f(x)在 x=2k (k =0,_1,_2,)間斷，由于2Xfikm f(x)/， 肌.心)一1，tkm.fb)"x 2x 2x 2 二冗故 x =2k：_(k=0,_1,_2)是 f (x)的跳躍間斷點(diǎn)。2(6) f (x)在x = 0的點(diǎn)間斷且若x0 = 0，貝U lim f (x)不存在，故x = 0是f (x)的第二 類間斷點(diǎn)。(7) f (x)在 x = -7及 x =1 間斷，且 lim f(x)-7 , lim f (x)不存在，故 x = -7 是_Z-

5、7_1f (x)的第二類間斷點(diǎn)。又因1呵.f (x) = 1呵(x-1)s in0，lim_f(x) = 1，故X =1是f (x)的跳躍間斷點(diǎn)。3.延拓下列函數(shù)，使在x3 -8(1) f(x)二 cx -21(3) f(X)= XCOS-x(2)f(X)二3-cosx2x解：(1)當(dāng)x = -2時(shí)，f (x)沒(méi)有定義,而limxTx3 -8x -2=limx ：2(x2 2x 4) =12X于是函數(shù)(2 )當(dāng)函數(shù)(3 )當(dāng)函數(shù)x3 -8x工2F(x)二x -2'是f (x)的延拓，且在 (-：)上連續(xù)。12, x=2=o 時(shí)，f(x)沒(méi)有定義，而 xm f(x)='im0Co

6、SXrC0SX xH02X,x = 0i2是f(X)的延拓，且在(一匚叮：)上連續(xù)。x=0時(shí)，f (x)沒(méi)有定義，而xm f(x)='xmo xcos=0，于是xi xcos-, F(x)= x0, xX7"0是f (x)的延拓，且在二 0(：)上連續(xù)。4 若f在Xo點(diǎn)連續(xù)，則f2,f是否也在X。連續(xù)？又若f或f2在I上連續(xù)，那么f在I上是否連續(xù)?解：(1 )若f在xo點(diǎn)連續(xù)，則f與f2在x0連續(xù)。(i) f在X0點(diǎn)連續(xù)。事實(shí)上，由于f在X0點(diǎn)連續(xù)，從而對(duì)任給正數(shù)£ ,存在正數(shù)6 ,當(dāng) X X0時(shí)，有 f(X)- f (x0 ) £ E ,而f(x) |f

7、(x°)| 蘭|f(x) f(x°) o故當(dāng)X XqIS時(shí)，有I f (x) - f(X0)| £名，因此f在X0點(diǎn)連續(xù)。2(ii) f在X0點(diǎn)連續(xù)。事實(shí)上，由于f在X0點(diǎn)連續(xù)，從而由局部有界性知：存在M 0及>0 使當(dāng) XX0V® 時(shí)， 有 f(x) ,(1)有連續(xù)性定義知：對(duì)任給正數(shù)呂，存在正數(shù)62，當(dāng)X-x0 £爲(wèi)有|f(x) f(X0)| £土(2)M先取& =min和，則當(dāng)|x x°| <6，上(1)與(2)式同時(shí)成立，因此f2(x) f2(x°) =|f(x) f(x°)

8、f(x)+f(x°)玄 f (x) f (X°) ( f (x) + f (X0) <E2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。(2)逆命題不成立。例如設(shè)f(X)=丿1,X為有理數(shù)1,X為無(wú)理數(shù)，則f2,f均為常數(shù)，故是連續(xù)函數(shù),2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。但f (x)在(-7 任一點(diǎn)都不連續(xù)。5設(shè)當(dāng)x=0時(shí)，f(x)二g(x)，而f(O) = g(O)，試證f與g這兩個(gè)函數(shù)中至多有一個(gè)在 x = 0連續(xù)。證明：(反證)假設(shè) f(x)與 g(x)均在 x=0 連續(xù)，則 limf(x) = f(0) , lim g(x)二 g(0)，x _ 0x )0又因 x 0 時(shí)，f (x

9、)三 g (x)，于是 lim f (x) = lim g (x),_00從而 f(0)=g(0) 這與f(0)=g(0)相矛盾。故f與g這兩個(gè)函數(shù)中至多有一個(gè)在 X = 0連續(xù)。6證明：設(shè)f為區(qū)間I上的單調(diào)函數(shù)，且 x0 I為f的間斷點(diǎn)，貝V x0必是f的第一類間斷點(diǎn)。證:不妨設(shè)f為區(qū)間I上的遞增函數(shù)，于是當(dāng)X，I，且X :： X。時(shí)，f(X):： f(x。),從而由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理可知:f(X0 -0)存在，且 f(X0 -0)= lim f(x) 一 f(X0)同理可證f(x0 0)存在，且 f (X0 0)= lim f(x) 一 f(x°)因此，x0是f的第一類間斷點(diǎn)

10、。2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。7設(shè)函數(shù)證：設(shè) f的定義域?yàn)閰^(qū)間I，則g(x)在I上處處有定義(因f只有可去間斷點(diǎn)，從而極限處處存在)，任取X。 I ,下證g(x)在X0連續(xù)。由于g(x°)=lim f (y)y >X0且 g(x) =lim f (y) ( x Iyjx),從而對(duì)任給正數(shù)S，存在正數(shù)&，當(dāng) 0y _ x°| £ 6 時(shí)有f只有可去間斷點(diǎn)，定義 g(x) =lim f (y)，證明g為連續(xù)函數(shù)。2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。2故f在X0點(diǎn)連續(xù)。E£g(X0) jf(八 g(X0)2，r U(x,)時(shí)，由不等式性任取x U0(

11、X0，)，則必存在U(x, ) U0(X0)。于是當(dāng)質(zhì)知g(xo)g(x) =lim f (y)乞 g(xo)2t2因此當(dāng)XEU0(X0左) 時(shí)，有 g (x)g(xo) £名，故g(x)在Xo處連續(xù)。&設(shè)f為R上的單調(diào)函數(shù)，定義 g(x f (x 0)，證明函數(shù)g在R上每點(diǎn)都連續(xù)。證：由于f為(：，：)上的單調(diào)函數(shù)，故f只有第一類間斷點(diǎn)，故右極限處處存在。于是g(x)處處有定義，任取 x0(-：，：)，下證g在x0右連續(xù)。由于g(x0) = f (x00) = lim f (y)且 g(x) = lim f (y)，( -： : x ：)從而對(duì)任給正數(shù)yTo十y十:，存在正數(shù)、：，當(dāng) 0 :： y -X。：時(shí)，有 g(x°)f(y) ： g(x°) 2 2任取 xU *&0,6)，則必存在 U (x/1 U r(X0,6)。于是當(dāng)U °(x,)時(shí)，上不等式成立。由極限不等式性質(zhì)知g(x。) g(x) = lim f (y)乞 g(x。)2ix 十2因此當(dāng)xU r(X0,6)時(shí)，有 g(x) g(X0)£名，故g(x)在x°處右連續(xù)。9.舉出定義在0,1上符合下列要求的函數(shù)：1 1 1(1 )在 和三點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；2341 1 1(2) 只在一，一和