平行四邊形(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三章 證明（三）1平行四邊形（一）山東省青島市第四十七中學(xué) 竇建偉本節(jié)主要探索、證明平行四邊形的性質(zhì)、判定，三角形中位線等結(jié)論，學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)推理論證的方法，加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)證明意義的體會(huì)授課時(shí)，證明的方法和過程會(huì)對(duì)學(xué)生更具挑戰(zhàn)性。本節(jié)內(nèi)容共分三課時(shí)：第一課時(shí)，主要證明平行四邊形的性質(zhì)以及與等腰梯形有關(guān)的性質(zhì)和判定；第二課時(shí)，主要證明平行四邊形的判定；第三課時(shí)，主要證明三角形的中位線及其運(yùn)用，如四邊形的四條邊中點(diǎn)連線的有關(guān)結(jié)論。第一課時(shí)與第二課時(shí)中涉及的很多命題，在前幾冊(cè)中已由學(xué)生們通過一些直觀的方法進(jìn)行了探索，所以學(xué)生們了解這些結(jié)論，對(duì)于這些命題，可在課前準(zhǔn)備中嘗試讓學(xué)生們進(jìn)行

2、專題總結(jié)，例如利用手抄報(bào)的方式。根據(jù)學(xué)生的能力不同，可以進(jìn)行平行四邊形性質(zhì)結(jié)論的匯總，可以進(jìn)行知識(shí)體系的歸納，可以歸納不同的思維方法、不同的探究方法，也可以分析不同性質(zhì)結(jié)論之間的了解，形式多樣。然后授課中利用公理和已有的定理證明它們，以完善證明體系。在證明的過程中，可讓學(xué)生分組探究驗(yàn)證，讓每一個(gè)小組選擇不同的任務(wù)，同時(shí)應(yīng)力爭(zhēng)將證明的思路展現(xiàn)出來，而原來結(jié)論的探索方法，往往會(huì)對(duì)證明的思路有所提示，所以也建立了直觀與抽象的結(jié)合。此外，教師還應(yīng)注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，如特殊結(jié)論到一般結(jié)論的歸納思想、類比、轉(zhuǎn)化的思想方法等。如在證明等腰梯形的兩個(gè)底角相等時(shí)，在分析證明思路時(shí)可指出將等腰三角形的兩個(gè)底角轉(zhuǎn)

3、化為等腰三角形的兩個(gè)底角，從而證明其相等。同樣，在第三課時(shí)中還涉及到一些以前沒有探索過的命題，如“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”等，對(duì)于這些命題，我們盡可能地創(chuàng)設(shè)一些問題的情景，為學(xué)生提供自主探索發(fā)現(xiàn)的空間，然后再進(jìn)行證明，從而將證明作為探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，使學(xué)生經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，體會(huì)合情推理與邏輯推理在獲得結(jié)論中各自發(fā)揮的作用。此外還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生探索證明的不同思路和方法，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，如在一種證明結(jié)束后提出問題“你還有其他的證明方法嗎？與同伴交流”一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：證明（三）是證明

4、（一）、證明（二）的繼續(xù)，平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)在前幾冊(cè)中讓學(xué)生通過直觀的方法探索過了，學(xué)生對(duì)其結(jié)論都已經(jīng)有所了解，本節(jié)課主要是對(duì)這些結(jié)論進(jìn)行理論的證明。前面學(xué)生借助折紙、畫圖等方法進(jìn)行直觀探索的過程為本章的證明提供了鋪墊，為學(xué)生提供了相應(yīng)的定理證明思路。縱觀整個(gè)初中平面幾何教材，本部分內(nèi)容是在學(xué)生掌握了平行線、三角形及簡(jiǎn)單圖形的平移和旋轉(zhuǎn)等平面幾何知識(shí)，并且具備了初步的觀察、操作等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上講授的。本節(jié)課既是前面所學(xué)知識(shí)的繼續(xù)，又是后面學(xué)習(xí)菱形、矩形及正方形等知識(shí)的基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：北師大教材對(duì)于圖形認(rèn)識(shí)的教材處理基本采用“2階段”的方式：“實(shí)驗(yàn)操作-演繹”，第

5、1階段，實(shí)驗(yàn)、操作、測(cè)量+說理，認(rèn)識(shí)圖形的基本性質(zhì)；第2階段，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)，重點(diǎn)是證明意義的體會(huì)和學(xué)習(xí)演繹推理論證。證明（三）是第二階段的內(nèi)容，是證明（一）和證明（二）的延續(xù)，是對(duì)八年級(jí)所探索、猜想出的平行四邊形性質(zhì)的有關(guān)結(jié)論做邏輯推理論證，是初中幾何證明階段的完結(jié)篇。本節(jié)課從學(xué)生年齡特征、文化知識(shí)的實(shí)際水平出發(fā)，讓學(xué)生動(dòng)腦思考，與同伴交流、探索、總結(jié)歸納，這樣的安排使抽象的定理讓學(xué)生更易于接受，并能在整個(gè)教學(xué)過程中真正享受到探索的樂趣。二、教學(xué)任務(wù)分析基于平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)在前幾冊(cè)中讓學(xué)生通過直觀的方法探索過了，提出本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：1、利用證明（一）和證明（二）中已有結(jié)論來證明

6、平行四邊形的性質(zhì)中有關(guān)的結(jié)論。在熟悉大量幾何事實(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)幾何證明的基本要求和范式，以提高其準(zhǔn)確表達(dá)論證過程的技能；同時(shí)，還讓學(xué)生感受探究幾何事實(shí)的過程對(duì)證明思路的啟發(fā)與影響，使活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)真正成為發(fā)現(xiàn)證明思路的支持系統(tǒng)。2、讓學(xué)生經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過程除了學(xué)生已經(jīng)探索過的命題外，還有一些命題是新學(xué)習(xí)的，對(duì)這些命題創(chuàng)設(shè)一些問題情景，由問題情境出發(fā)，使學(xué)生經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，體會(huì)合情推理與論證推理在獲得結(jié)論中各自發(fā)揮的作用，使學(xué)生意識(shí)到證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展。3、關(guān)注命題的拓展、引申，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)展概括抽象的能力，感受到“抽象與拓廣”是重要的數(shù)學(xué)

7、思維方式。4、倡導(dǎo)學(xué)生探索證明思路和不同的證明方法。在授課中和例題后經(jīng)常設(shè)置這樣提問，“你還有其他的證明方法嗎？”“你是怎樣思考的，請(qǐng)與同伴交流”，以及在練習(xí)和習(xí)題中也編排了一些可以變式訓(xùn)練或可一題多解的題目，讓學(xué)生呈現(xiàn)他的證明思路和求異思維，關(guān)注學(xué)生證明思路獲得的過程和方法的多樣性。5、展示證明思路、知識(shí)之間的了解，滲透數(shù)學(xué)思想方法。使本節(jié)課中轉(zhuǎn)化、類比、歸納、方程等思想得到很好的滲透。如把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來處理。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1、掌握平行四邊形的概念、性質(zhì)及條件，了解它們之間的關(guān)系。2、能夠用綜合法證明平行四邊形性質(zhì)定理及等腰梯形相關(guān)結(jié)論。3

8、、經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證能力和深化對(duì)證明必要性的理解。4、體會(huì)在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)計(jì)算和證明在解決問題中的作用。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一、課前準(zhǔn)備專題總結(jié)；二、情景引入，提出問題；三、分組驗(yàn)證，明確定理；四、活動(dòng)探究；五、運(yùn)用鞏固；六、課堂小結(jié)；七、布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備活動(dòng)內(nèi)容：專題總結(jié)（提前一周布置）布置課前任務(wù)：以4人合作小組為單位，整理手抄報(bào)，總結(jié)有關(guān)平行四邊形的知識(shí)（根據(jù)學(xué)生的能力不同，通過不同的角度）：（1）可以進(jìn)行平行四邊形性質(zhì)結(jié)論的匯總（2）可以進(jìn)行知識(shí)體系的歸納（3）可以歸納不同的思維方法、

9、不同的探究方法（4）也可以分析不同性質(zhì)結(jié)論之間的了解，形式多樣。在必要的情況下，教師可以對(duì)學(xué)生的專題總結(jié)給予一定的指導(dǎo)，使其更合理?；顒?dòng)目的：在八年級(jí)，平行四邊形的性質(zhì)已由學(xué)生們通過一些直觀的方法進(jìn)行了探索，所以學(xué)生們了解這些結(jié)論，對(duì)于這些命題，教師可利用專題總結(jié)的方式使學(xué)生們聯(lián)想回憶起它們，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、樂于探索研究的學(xué)習(xí)品質(zhì)及與他人合作交流的意識(shí)；在活動(dòng)中，學(xué)生通過對(duì)他們感興趣的問題進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性；專題總結(jié)，為學(xué)生提供了知識(shí)前后銜接的空間，引導(dǎo)學(xué)生將證明作為探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展的過程，體會(huì)合情推理與論證推理在獲得

10、結(jié)論中各自發(fā)揮的作用?；顒?dòng)的實(shí)際效果：活動(dòng)充分展現(xiàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究的高漲熱情和小組團(tuán)結(jié)合作的精神，取得了較好的效果。第二環(huán)節(jié)：情景引入，提出問題活動(dòng)內(nèi)容：ABCD圖311、各個(gè)活動(dòng)小組派代表展示專題總結(jié)，其他同學(xué)補(bǔ)充，分析不同專題總結(jié)的切入點(diǎn)、思維方法。（幻燈片展示）2、針對(duì)平行四邊形性質(zhì)結(jié)論的匯總提出問題：（1）右圖是什么圖形？有什么特征？（2）平行四邊形的定義是什么？活動(dòng)目的：通過展示各個(gè)活動(dòng)小組的專題總結(jié)，先讓各個(gè)小組代表發(fā)言，再互相補(bǔ)充，從而得到結(jié)論，充分發(fā)揮學(xué)生們的探究意識(shí)和合作交流習(xí)慣，同時(shí)也鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力；同時(shí)這些知識(shí)也是后續(xù)要證明的內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備?；顒?dòng)的實(shí)際效

11、果：在展示各個(gè)活動(dòng)小組的專題總結(jié)過程中，通過黑板、Z+Z 教育平臺(tái)、ppt課件交互使用，發(fā)揮各自長(zhǎng)處，ppt課件中的圖形力求形象、美觀，以引起同學(xué)們的注意，對(duì)平行四邊形的邊、角(線段、角)特別用醒目的色彩、動(dòng)感的畫面、悅耳的聲音，牢牢抓住學(xué)生的注意力，激發(fā)起學(xué)生探求未知的欲望；同時(shí)借助現(xiàn)代教育技術(shù)手段，營(yíng)造一個(gè)創(chuàng)新的學(xué)習(xí)環(huán)境，創(chuàng)設(shè)自由、全面發(fā)展的時(shí)間和空間。第三環(huán)節(jié)：分組驗(yàn)證，明確定理活動(dòng)內(nèi)容：1、如何運(yùn)用公理和已有的定理證明平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)？可以分小組探究驗(yàn)證，每一小組選擇一個(gè)不同的的任務(wù)，對(duì)平行四邊形的各個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明。然后，小組間交流展示證明思路、一題多解等。證明過程中注意（1）平行

12、四邊形的定義既是性質(zhì)又是判定，可直接應(yīng)用；（2）幫助學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)幾何證明的基本要求和范式，提高其準(zhǔn)確表達(dá)論證過程的技能。2、明確定理如下：平行四邊形的定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的性質(zhì)：定理1:平行四邊形的對(duì)邊平行.(由定義得)定理2:平行四邊形的對(duì)邊相等.定理3:平行四邊形的對(duì)角相等.定理4:平行四邊形的對(duì)角線互相平分.活動(dòng)目的：利用公理和已有的定理證明平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)定理并明確定理?；顒?dòng)的方法與實(shí)際效果：在證明的過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生探索證明的不同思路和方法，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，如在一種證明結(jié)束后提出問題“你還有

13、其他的證明方法嗎？與同伴交流”；展示各個(gè)活動(dòng)小組的證明過程時(shí)，要讓學(xué)生暢所欲言，談自己的想法，切身感受在活動(dòng)的過程中的實(shí)際收獲，確保學(xué)生主體作用得到充分發(fā)揮，讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)。ABCD圖32第四環(huán)節(jié)：活動(dòng)探究 活動(dòng)內(nèi)容：1、等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角有什么關(guān)系？ 結(jié)論：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等2、這個(gè)命題的逆命題成立嗎？如果成立，請(qǐng)你證明它。學(xué)生證明。明確結(jié)論：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。3、證明：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等活動(dòng)目的：展示證明思路，明白等腰梯形與所學(xué)知識(shí)之間的了解，滲透數(shù)學(xué)思想方法（把等腰梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來處理，使本節(jié)課中轉(zhuǎn)化、類比

14、、歸納、方程等思想得到了很好的滲透）。EFHGABDC圖33活動(dòng)的實(shí)際效果：由問題情境出發(fā)，驗(yàn)證等腰梯形結(jié)論過程中，使學(xué)生經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，體會(huì)合情推理與論證推理在獲得結(jié)論中各自發(fā)揮的作用，使學(xué)生意識(shí)到證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展。第五環(huán)節(jié)：運(yùn)用鞏固活動(dòng)內(nèi)容：1、證明:夾在兩條平行線間的平行線段相等.已知:如圖,ABCD,EFGH.求證:EF=GH2、學(xué)生獨(dú)立練習(xí)。（1）已知：如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線與AD,BC分別相交于點(diǎn)E,F.ABCDEFO圖34求證:OE=OF.（2）已知:如圖,AC,BD是ABCD的兩條對(duì)角線,且AEBD,CFBD,

15、垂足分別為E,F,ABCDEF圖35求證:AE=CF.（3）已知:在ABCD中,點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上,且AF=CE.線段BE與DF之間有什么關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 若去掉題設(shè)中的AF=CE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使BE與DF有以上同樣的性質(zhì).DABCFE圖36活動(dòng)目的：本部分內(nèi)容以邏輯證明為主，在題目的選取上盡可能地增強(qiáng)代表性與挑戰(zhàn)性，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的興趣和掌握綜合法的信心，同時(shí)也使學(xué)生體會(huì)到邏輯證明嚴(yán)密性。對(duì)于一些綜合性，靈活性比較強(qiáng)的題，學(xué)生能夠順利解決,對(duì)培養(yǎng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心大有好處。第（3）小題是條件型開放題，答案不唯一。設(shè)計(jì)此題的目的是：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，力求使學(xué)生不停留在重復(fù)

16、與模仿的階段。活動(dòng)的實(shí)際效果：本部分內(nèi)容關(guān)注了命題的拓展、引申，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，發(fā)展了邏輯證明能力。使學(xué)生感受到“抽象與拓廣”是重要的數(shù)學(xué)思維方式。第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：平行四邊形的主要性質(zhì)有： v定理 平行四邊形的對(duì)邊平行.v定理 平行四邊形的對(duì)邊相等.v定理 平行四邊形的對(duì)角相等.v定理 平行四邊形的對(duì)角線互相平分.v定理 夾在兩條平行線間的平行線段相等v定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等v定理 同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形v定理 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等活動(dòng)目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想活動(dòng)的實(shí)際效果：學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲。第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1、課本習(xí)題2、體會(huì)本堂課你所獲得成功的經(jīng)驗(yàn)，寫好數(shù)學(xué)日記，同學(xué)交流?；顒?dòng)目的：讓學(xué)生寫“數(shù)學(xué)日記”這種作業(yè)形式，能夠培養(yǎng)學(xué)生善于歸納總結(jié)的能力，逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。四、教學(xué)反思1、 創(chuàng)造性地使用教材教材只是為教師提供最基本的教學(xué)素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。我們所涉及的很多命題在前幾冊(cè)中已由學(xué)生們通過一些直觀的方法進(jìn)行了探索，而且普遍掌握較好，因此沒有必要再逐一證明。2、相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機(jī)會(huì)通過專題總結(jié)以及問題的證明，為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會(huì)，這一過程，有利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題解決問題的獨(dú)到見解，以及思維的誤區(qū)，以