高二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)試題匯編之空間向量與立體幾何(理科) - 教師版

1、高二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)試題匯編之空間向量與立體幾何（理科）一、 選擇題1.平面的一個法向量為v1(1,2,1)，平面的一個法向量為v2(2，4，10)，則平面與平面A平行 B垂直 C相交 D不確定答案及解析：1.B略2.已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），點Q在直線OP上運動，則當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為（） A B C D 答案及解析：2.C 考點： 空間向量的數(shù)量積運算 專題： 空間向量及應(yīng)用 分析： 可先設(shè)Q（x，y，z），由點Q在直線OP上可得Q（，2），則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得=2（328+5），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求，取得最小值時的，進(jìn)而可求Q 解答： 解：設(shè)Q

2、（x，y，z） 由點Q在直線OP上可得存在實數(shù)使得，則有Q（，2） ， 當(dāng)=（1）（2）+（2）（1）+（32）（22）=2（328+5） 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，取得最小值此時Q 故選：C 點評： 本題主要考查了平面向量的共線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點Q在直線OP上可得存在實數(shù)使得，進(jìn)而有Q（，2），然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識求解最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用 3.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的主視圖時，以平面為投影面，則得到主視圖可以為（ ）A. B. C. D.答

3、案及解析：3.A4.在空間直角坐標(biāo)系中，過點作直線的垂線，則直線與平面的交點的坐標(biāo)滿足條件ABCD答案及解析：4.C5.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 給出編號為、的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 第7題圖A和 B和 C和 D和答案及解析：5.D6.如圖，直二面角中，垂足分別為，且，則的長等于 （ ）A BC D答案及解析：6.B7.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是(

4、 )ABCD0答案及解析：7.D【考點】用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角 【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用【分析】以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得和的坐標(biāo)，進(jìn)而可得cos，可得答案【解答】解：以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0）=（1，0，1），=（1，1，1）設(shè)異面直線A1E與GF所成角的為，則cos=|cos，|=0，故選：D【點評】本題考查異面直線所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題8.在四棱錐中

5、，底面是菱形，底面，是棱上一點. 若，則當(dāng)?shù)拿娣e為最小值時，直線與平面所成的角為（ ）A B. C. D.答案及解析：8.D9.已知正方體的棱長為1，點是平面內(nèi)的動點，若點到直線的距離等于點到直線的距離，則動點的軌跡所在的曲線是 （ ）A. 拋物線B. 雙曲線C. 橢圓 D. 圓答案及解析：9.B10.九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖2,在鱉臑PABC中，PA 平面ABC，ABBC，且AP=AC=1，過A點分別作AE 1 PB于E、AFPC于F，連接EF當(dāng)AEF的面積最大時，tanBPC的值是A B. C. D答案及解析：10.B顯然，則，又，則，于是，結(jié)合條件得，所

6、以、均為直角三角形，由已知得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，所以，當(dāng)時，的面積最大，此時，故選B.11.如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是A1， B， C， D，答案及解析：11.B12.如圖在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，則這個二面角的度數(shù)為( )A30°B60°C90°D120°答案及解析：12.B考點：二面

7、角的平面角及求法 專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：首先利用平行線做出二面角的平面角，進(jìn)一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后確定結(jié)果解答：解：在平面內(nèi)做BEAC，BE=AC，連接DE，CE，所以四邊形ACEB是平行四邊形由于線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，所以AB平面BDECEABCE平面BDE所以CDE是直角三角形又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，則：DE=2cm進(jìn)一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD22BEBDcosDBE解得cosDBE=所以DBE=60°即二面角的度數(shù)為：60°故選：B點評

8、：本題考查的知識要點：余弦定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)，二面角的應(yīng)用13.如圖，正方體的棱長為，點在棱上，且，點是平面上的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則動點的軌跡是（ ）A圓 B拋物線 C雙曲線D直線答案及解析：13.B過點作平面的垂線，垂足為，在平面上過作的垂線，垂足為，連接，由三垂線定理知：，線段的長即為點到直線的距離 ，,過點在平面上作，垂足為，連接， 則平面 ， ,又點是平面上的動點，由拋物線的定義知軌跡為拋物線，選B14.如圖所示，五面體中，正的邊長為，平面，且.設(shè)與平面所成的角為，若，則當(dāng)取最大值時，平面與平面所成角的正切值為（A）（B）（C）（

9、D）答案及解析：14.C二、填空題15. 已知空間四邊形OABC，如圖所示，其對角線為OB，ACM，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且，現(xiàn)用基向量表示向量，并設(shè)，則_答案及解析：15.16.由空間向量，構(gòu)成的向量集合，則向量的模的最小值為 . 答案及解析：16.17.在各棱長都等于1的正四面體中，若點P滿足,則的最小值為_.答案及解析：17.18.在棱長為1的正方體中，若，則的最小值為 答案及解析：18.略19.正方體的棱長為，是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的最大值是 答案及解析：19.2因為是它的內(nèi)切球的

10、一條弦，所以當(dāng)弦經(jīng)過球心時，弦的長度最大，此時.以為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)直徑的任意性，不妨設(shè)分別是上下底面的中心，則兩點的空間坐標(biāo)為，設(shè)坐標(biāo)為，則,所以，即.因為點為正方體表面上的動點，所以根據(jù)的對稱性可知，的取值范圍與點在哪個面上無關(guān)，不妨設(shè)，點在底面內(nèi)，此時有，所以此時，,所以當(dāng)時，此時最小，當(dāng)?shù)挥谡叫蔚乃膫€頂點時，最大，此時有，所以的最大值為2. 20.如圖，已知邊長為2的正，頂點在平面內(nèi)，頂點在平面外的同一側(cè)，點分別為在平面上的投影，設(shè)，直線與平面所成的角為若是以為直角的直角三角形，則的范圍為_答案及解析：20.21.已知矩形的長，寬，將其沿對角線折起，得到三棱錐，給出

11、下列結(jié)論： 三棱錐體積的最大值為； 三棱錐外接球的表面積恒為定值； 若分別為棱的中點，則恒有且； 當(dāng)二面角為直二面角時，直線所成角的余弦值為； 當(dāng)二面角的大小為60°時，棱的長為其中正確的結(jié)論有 (請寫出所有正確結(jié)論的序號)答案及解析：21.22.設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上，記當(dāng)APC為鈍角時，則的取值范圍是 答案及解析：22.（，1）【考點】用空間向量求直線間的夾角、距離 【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用APC不是平角，可得APC為鈍角等價于cosAPC0，即，從而可求的取值范圍【解答】解：由題設(shè)，建立如圖所

12、示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）=（1，1，1），=（，），=+=（，）+（1，0，1）=（1，1）=+=（，）+（0，1，1）=（，1，1）顯然APC不是平角，所以APC為鈍角等價于cosAPC0（1）（）+（）（1）+（1）2=（1）（31）0，得1因此，的取值范圍是（，1）故答案為：（，1）【點評】本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題23.已知空間四點共面，則= 答案及解析：23. 24.在正方體中，點是上底面的中心，點在線段上運動，則異面直線與所成角最大時， .答案及解析：24.【知

13、識點】異面直線所成的角G9 解析：由題意可判斷出BC在平面的射影為BD,可知當(dāng)在平面內(nèi)越遠(yuǎn)離射影時面直線與所成角越大，所以當(dāng)Q與P點重合時，異面直線與所成角最大，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則,根據(jù)余弦定理，故答案為?！舅悸伏c撥】由題意可判斷出BC在平面的射影為BD,可知當(dāng)在平面內(nèi)越遠(yuǎn)離射影時面直線與所成角越大，所以當(dāng)Q與P點重合時，異面直線與所成角最大，再結(jié)合余弦定理即可。25.設(shè)四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且直線PA平面ABCD過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E，當(dāng)三棱錐EBCD的體積取到最大值時，側(cè)棱PA的長度為 25.三、解答題26.在如圖所示的空間幾何體

14、中，平面平面，與是邊長為的等邊三角形，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上（）求證：平面；（）求二面角的余弦值答案及解析：26.解：（）由題意知，都是邊長為2的等邊三角形，取中點，連接，則，又平面平面，平面，作平面，那么，根據(jù)題意，點落在上，易求得，4分四邊形是平行四邊形，平面 （）解法一：作，垂足為，連接，平面，又，平面，就是二面角的平面角中，即二面角的余弦值為.解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為則，可求得所以，又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，所以二面角的余弦值為略27.在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面，是的

15、中點（）求證：/平面； （）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.NADMBEC答案及解析：27.（I）CM與BN交于F，連接EF由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，所以F是BN的中點因為E是AB的中點，所以ANEF 又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC （II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DEAB又四邊形ADNM是矩形，面ADNM面ABCD，DN面ABCD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，-1，h），=（，-2，0），=（0，-1，h），設(shè)平面PEC的法向

16、量為=（x，y，z）則，令y=h，=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），cos，=，解得h=，在線段AM上是否存在點P，當(dāng)h=時使二面角P-EC-D的大小為28.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將AED、DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A，連接EF，AB（1）求證：ADEF；（2）求二面角AEFD的余弦值答案及解析：28.（1）證明：在正方形ABCD中，有ADAE，CDCF則A'DA'E，A'DA'F又A'EA'F=A'A'D平面A'EF而EF平面A&

17、#39;EF，A'DEF（2）方法一：連接BD交EF于點G，連接A'G在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，BE=BF，DE=DF，點G為EF的中點，且BDEF正方形ABCD的邊長為2，A'E=A'F=1，A'GEFA'GD為二面角A'EFD的平面角由（1）可得A'DA'G，A'DG為直角三角形正方形ABCD的邊長為2，又A'D=2二面角A'EFD的余弦值為方法二：正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點，BE=BF=A'E=A'F=1，A

18、9;E2+A'F2=EF2，A'EA'F由（1）得A'D平面A'EF，分別以A'E，A'F，A'D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)'xyz，則A'（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），D（0，0，2），設(shè)平面DEF的一個法向量為，則由，可取又平面A'EF的一個法向量可取二面角A'EFD的余弦值為29.（本小題滿分12分）如圖，平面ABC，EB/DC，AC=BC=EB=2DC=2，P、Q分別為DE、AB的中點。（）求證：PQ/平面ACD；（）求幾何體BADE的體積； （）求平

19、面ADE與平面ABC所成銳二面角的正切值。答案及解析：29.（本小題共12分）*K*s*5*u（）證明：取的中點，連接，易證平面又（分）（）（分）（分）（） （10分） （12分）注：用向量法請對應(yīng)給分.（法2）解：以C為原點，CA、CB、CD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則A（2，0，0）B（0，2，0）C（0，0，0）D（0，0，1）E（0，2，2）則 設(shè)面ADE法向量為則可取即面ADE與面ABC所成的二面角余弦值為易得面ADE與面ABC所成二面角的正切值為 （12分）30.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60°，F(xiàn)C平面AB

20、CD，AEBD，CB=CD=CF.（）求證：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值.答案及解析：30.解析：（）在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知,即,在中，DAB=60°，則為直角三角形，且又AEBD，平面AED，平面AED，且，故BD平面AED；分（）由（）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，向量為平面的一個法向量.設(shè)向量為平面的法向量，則,即，取，則，則為平面的一個法向量.，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則二面角F-BD-C的余弦值為分31.如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC=6

21、0°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°（）證明：BDAA1；（）求二面角DA1AC的平面角的余弦值；（）在直線CC1上是否存在點P，使BP平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由答案及解析：31.【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質(zhì) 【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離【分析】法一：（）連接BD交AC于O，則BDAC，連接A1O，可證A1O底面ABCD，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，證明向量的數(shù)量積為0 即可得到BDAA1；（）確定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角DA1AC的平面角的

22、余弦值；（）解：假設(shè)在直線CC1上存在點P，使BP平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用數(shù)量積為0，即可求得結(jié)論法二：（）先證明BD平面AA1O，即可證得AA1BD；（）過O作OEAA1于E點，連接OE，則DEO為二面角DAA1C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角DA1AC的平面角的余弦值；（）存在這樣的點P，連接B1C，在C1C的延長線上取點P，使C1C=CP，連接BP，可得四邊形BB1CP為平行四邊形，進(jìn)而利用線面平行的判定可得結(jié)論【解答】法一：（）證明：連接BD交AC于O，則BDAC，連接A1O，在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60°A1O2=AA

23、12+AO22AA1Aocos60°=3AO2+A1O2=A12A1OAO，平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCD=AOA1O底面ABCD以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，） ，BDAA1（）解：OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量設(shè)平面AA1D，則由得到，所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是（）解：假設(shè)在直線CC1上存在點P，使BP平面DA1C1設(shè)，則得設(shè)平面DA1C1，則由得到，又因為平面DA1C1，則，=1即點P在C1C的延

24、長線上且使C1C=CP （13分）法二：（）證明：過A1作A1OAC于點O，由于平面AA1C1C平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A1O平面ABCD，A1OBD又底面為菱形，所以ACBDA1OAC=OBD平面AA1OAA1平面AA1OAA1BD（）解：在AA1O中，A1A=2，A1AO=60°，AO=AA1cos60°=1所以O(shè)是AC的中點，由于底面ABCD為菱形，所以O(shè)也是BD中點由（）可知DO平面AA1C過O作OEAA1于E點，連接OE，則AA1DE，故DEO為二面角DAA1C的平面角 在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60°AC=AB=BC=2，AO=

25、1，DO=在RtAEO中，OE=OAsinEAO=DE=cosDEO=二面角DA1AC的平面角的余弦值是（）解：存在這樣的點P，連接B1C，A1B1ABDC，四邊形A1B1CD為平行四邊形，A1DB1C在C1C的延長線上取點P，使C1C=CP，連接BP B1BCC1，BB1CP四邊形BB1CP為平行四邊形BPB1C，BPA1DBP平面DA1C1，A1D平面DA1C1，BP平面DA1C1 （13分）【點評】本題考查線面位置關(guān)系，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、垂直的判定方法，正確作出面面角，考查利用向量方法解決立體幾何問題，屬于中檔題32.（14分）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為

26、平行四邊形，PA底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2， （）求證：CD平面PAC；（）求二面角MABC的大?。唬ǎ┤绻鸑是棱AB上一點，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為，求的值答案及解析：32.考點： 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 專題： 空間位置關(guān)系與距離分析： （）連結(jié)AC，由已知數(shù)據(jù)和勾股定理可得ABAC，可得ACCD，再由線面垂直關(guān)系可得；（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積和垂直關(guān)系可得平面MAB的法向量=（0，1，1），又可得=（0，0，2）是平面ABC的一個法向量，計算可得cos，可得二面角；（）設(shè)N（x，0，0），由題意可得x的方程=，解方

27、程可得解答： 證明：（）連結(jié)AC，在ABC中，AB=AC=2，BC2=AB2+AC2，ABAC，ABCD，ACCD，又PA底面ABCD，PACD，ACPA=A，CD平面PAC；（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（2，2，0），M是棱PD的中點，M（1，1，1），=（1，1，1），=（2，0，0），設(shè)=（x，y，z）為平面MAB的法向量，即令y=1，則，平面MAB的法向量=（0，1，1）PA平面ABCD，=（0，0，2）是平面ABC的一個法向量cos，=二面角MABC 為銳二面角，二面角MABC的大小為；（）N是在棱AB上一點

28、，設(shè)N（x，0，0），=（x，2，0），設(shè)直線CN與平面MAB所成角為，因為平面MAB的法向量=（0，1，1），=，解得x=1，即AN=1，NB=1，=1點評： 本題考查空間位置關(guān)系，涉及向量法和線面垂直的證明，屬中檔題33.如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，PACD，PA=1，PD=，E為PD上一點，PE=2ED（）求證：PA平面ABCD；（）求二面角DACE的余弦值；（）在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由答案及解析：33考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 專題：計算題；

29、證明題；綜合題分析：（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，得到PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PAAD，再結(jié)合PACD，AD、CD 相交于點D，可得PA平面ABCD；（II）過E作EGPA 交AD于G，連接BD交AC于O，過G作GHOD，交AC于H，連接EH利用三垂線定理結(jié)合正方形ABCD的對角線互相垂直，可證出EHG為二面角DACE的平面角分別在PAB中和AOD中，求出EH=，GH=，在RtEHG中利用三角函數(shù)的定義，得到tanEHG=最后由同角三角函數(shù)的關(guān)系，計算得cosEHG=（III）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系分別給出點A、B、C、P、E的坐標(biāo)，從而得出=（1

30、，1，0），=（0， ），利用向量數(shù)量積為零的方法，列方程組可算出平面AEC的一個法向量為=（1，1，2 ）假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，使得BF平面AEC，則=+=（，1，），且有=0所以=+12=0，解之得=，所以存在PC的中點F，使得BF平面AEC解答：解：（）PA=AD=1，PD=，PA2+AD2=PD2，可得PAD是以PD為斜邊的直角三角形PAAD又PACD，AD、CD 相交于點D，PA平面ABCD（）過E作EGPA 交AD于G，EGPA，PA平面ABCD，EG平面ABCD，PAB中，PE=2EDAG=2GD，EG=PA=，連接BD交AC于O，過G作GHOD，交AC于H，連接EHODAC

31、，GHODGHACEG平面ABCD，HG是斜線EH在平面ABCD內(nèi)的射影，EHAC，可得EHG為二面角DACE的平面角RtEGH中，HG=OD=BD=，可得tanEHG=由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得cosEHG=二面角DACE的平面角的余弦值為（）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，），=（1，1，0），=（0， ）設(shè)平面AEC的法向量=（x，y，z），根據(jù)數(shù)量積為零，可得，即：，令y=1，得=（1，1，2 ）假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，且=，（01），使得：BF平面AEC，則=0又=+=（0，1，0

32、）+（，）=（，1，），=+12=0，=，所以存在PC的中點F，使得BF平面AEC點評：本題給出一個特殊的棱錐，通過證明線面垂直和求二面角的大小，著重考查了用空間向量求平面間的夾角、直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題34.（12分）（2015大連模擬）如圖，在四棱錐EABCD中，底面ABCD為正方形，AE平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線段DE的中點（）求證：CD平面ADE；（）求二面角CBFE的平面角的余弦值答案及解析：34.考點： 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角分析： （1）由正方形性質(zhì)得CDAD，

33、由線面垂直得AECD，由此能證明CD平面ADE（2）以D為原點，DC為x軸，DE為y軸，過點D平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCF的法向量和平面BEF的法向量，由此能求出二面角CBFE的平面角的余弦值解答： （1）證明：底面ABCD為正方形，CDAD，AE平面CDE，CD平面CDE，AECD，又ADAE=A，CD平面ADE（2）解：由CD平面ADE，得CDDF，以D為原點，DC為x軸，DE為y軸，過點D平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意AD=2，C（2，0，0），B（2，2，2），E（0，2，0），F(xiàn)（0，1，0），=（2，1，2），=（2，1，0），=（

34、0，1，0），設(shè)平面BCF的法向量=（x，y，z），則，取x=，得=（，4，4），設(shè)平面BEF的法向量=（a，b，c），則，取a=，得=（，0，2），設(shè)二面角CBFE的平面角為，cos=|cos|=|=|=，二面角CBFE的平面角的余弦值為點評： 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用35.如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點將ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（1）求證：ADBM；（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角EAMD的余弦值為答案及解析：35.考點：用空間向量求

35、平面間的夾角；平面與平面垂直的性質(zhì)；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題 專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（1）先證明BMAM，再利用平面ADM平面ABCM，證明BM平面ADM，從而可得ADBM；（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面AMD、平面AME的一個法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角EAMD的余弦值為，即可得出結(jié)論解答：（1）證明：長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點，AM=BM=，BMAM，平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCMBM平面ADMAD平面ADMADBM；（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則平面AMD的一個法向量，設(shè)平

36、面AME的一個法向量為，取y=1，得，所以，因為求得，所以E為BD的中點點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用面面垂直的性質(zhì)，掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法是關(guān)鍵36.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB側(cè)面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，BCC1=（）求證：C1B平面ABC；（）設(shè)=（01），且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為30°，試求的值答案及解析：36.考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（）由已知條件推導(dǎo)出ABBC1，BCBC1，由此能證明C1B平面ABC（）以B為原點，BC、BA、BC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出的值解答：（）證明：AB側(cè)面BB1C1C，BC1側(cè)面BB1C1C，ABBC1，在BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，BCC1=，由余弦定理得：BC12=BC2+CC122BCCC1cosBCC1=12+222×1×2×cos=3，BC1=，BC2+=C，BCBC1，BCAB=B，C1B平面AB