次正交矩陣及其性質(zhì)【全套畢業(yè)作品】

1、木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN.艾WEN獻XIAN綜ZONG述SHU.開KAI題TI報BAO告GAOBI YE SHE JI（20 屆）次正交矩陣及其性質(zhì)所在學(xué)院專業(yè)班級信息與計算科學(xué)學(xué)生姓名學(xué)號指導(dǎo)教師職稱完成日期年 月木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、'艾WEN獻XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO扌商要：本文中敘述了矩陣的來山，并給出了矩陣的概念。最開始對正交矩陣的 基本性質(zhì)以及它的一些定理做出介紹是必不可少的。然后，結(jié)合對稱矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、 特征向量等相關(guān)知識，深入了解并得出次正交矩陣的性質(zhì)以及一些相關(guān)命題。其中， 研究了它與次對稱矩陣、

2、反對稱矩陣間的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)“次正交”的定義 拓展開，給出丿-次正交矩陣的性質(zhì)。同時，進一步提出了丿-擬次正交矩陣的性質(zhì)。 充分體現(xiàn)次正交矩陣的概念以及應(yīng)用。關(guān)鍵i司：矩陣；對稱矩陣；次正交矩陣；轉(zhuǎn)置；丿-次正交矩陣；丿-擬次正交 矩陣Sub-orthogonal Matrix and Their PropertiesAbstract： In this paper, the matrix of arises are introduced, and the matrix of concepts are given And it is necessary to study the orth

3、ogonal Matrix of concepts. Combining symmetric matrices, transposed matrices, eigenvector and so on related knowledge, reader through understanding to learn sub-orthogonal Matrix of properties and some proposition The relation between sub-symmetric Matrix and sub-antysymmetrix Matrix is studied On t

4、he basis, according the definition of Hsub-orthogonal H, J-sub-orthogonal Matrix of properties is given At the same time, the properties of J-Anti-sub-orthogonal Matrix are given.Key words： Matrix; Symmetric matrices; sub-orthogonal matrix; transposeJ of sub-orthogonal matrix; J-Anti-sub-orthogonal1

5、緒論1. 1問題的背景11. 2問題的意義12矩陣的介紹32. 1矩陣簡史32.2矩陣的槪念32.3正交變換以及正交矩陣43次正交矩陣及其性質(zhì)63. 1 預(yù)備知識63.2次正交矩陣的定義及英性質(zhì)7321次正交矩陣的性質(zhì)73.2.2次正交矩陣的判定83.3丿-次正交矩陣的定義及其性質(zhì)94次正交矩陣性質(zhì)的開拓以及延伸124.1次正交矩陣與次對稱矩陣的聯(lián)系124.2丿-擬次正交矩陣及其性質(zhì)165結(jié)論21致謝22參考文獻231緒論1.1問題的背景數(shù)學(xué)學(xué)科是人們在學(xué)習(xí)中必不可少的一門學(xué)科。任何一門學(xué)科或多或少都牽涉到數(shù)學(xué)。英中, 矩陣是數(shù)學(xué)中的一項非常重要的環(huán)節(jié)。矩陣不僅是各種數(shù)學(xué)學(xué)科，而且也是許多理工

6、學(xué)科的重要 數(shù)學(xué)工具。就英本身的研究而言，矩陣理論和線性代數(shù)也是極富創(chuàng)造性的領(lǐng)域。它們的創(chuàng)造性又 極大的推動和豐富了其他眾多學(xué)科的發(fā)展：許多新的理論、方法和技術(shù)的誕生于發(fā)展就是矩陣理 論和線性代數(shù)的創(chuàng)造性應(yīng)用于推廣的結(jié)果。可以亳不夸張地說，矩陣理論和線性代數(shù)在物理、上 木、電機、航空、和航天等眾多學(xué)科中是最富創(chuàng)造性和靈活性，并起著不可代替作用的數(shù)學(xué)工具。作為數(shù)學(xué)的一個重要的分支，矩陣理論具有極其豐富的內(nèi)容。在解決許多數(shù)學(xué)難題時，它起 到了化腐朽為神奇或者化簡為易的功能。得到許多數(shù)學(xué)家的青睞。作為一種基本的工具，矩陣理 論在數(shù)學(xué)學(xué)科以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，如數(shù)值分析、最優(yōu)化理論、概率統(tǒng)汁、運籌學(xué)、

7、控制理論、 力學(xué)、電學(xué)、信息科學(xué)與技術(shù)、管理科學(xué)與工程等學(xué)科都有十分重要的應(yīng)用。因此，學(xué)習(xí)和掌握 矩陣的理論和應(yīng)用對于工程研究生來說是必不可少的工。由于矩陣論既是一門發(fā)展完善、理論嚴謹、方法獨特的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，又廣泛應(yīng)用于工程科學(xué)的各 個領(lǐng)域，故下而的基本內(nèi)容在碩士研究生的培養(yǎng)過程中是不可缺少的組成部分，對培養(yǎng)學(xué)生的邏 輯能力、推理能力及解決實際問題的能力等方而具有極其重要的地位和作用。學(xué)習(xí)矩陣應(yīng)腳踏實 地的學(xué)習(xí)，一點一點的學(xué)習(xí)他的性質(zhì)。首先要了解它的概念，了解一些基本的矩陣比如單位矩陣, 三角形矩陣等等。同時了解一些矩陣中常見的轉(zhuǎn)化方法，比如矩陣轉(zhuǎn)置，矩陣的逆等等。然后， 因為在矩陣中有著很多

8、特殊矩陣，它們能幫助我們更好的了解矩陣的性質(zhì)及英應(yīng)用。所以由必要 一個一個的都去學(xué)習(xí)。在矩陣中有著許多特殊矩陣，例如對稱矩陣，正交矩陣，對角矩陣等等， 學(xué)習(xí)它們的性質(zhì)可以幫助我們更好的了解矩陣的作用。但僅僅是這樣是遠遠不夠的，因此為了能 更加體現(xiàn)矩陣的作用，我們應(yīng)研究更多特殊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用。苴中正交矩陣是特殊矩陣很重 要的矩陣，學(xué)習(xí)研究正交矩陣的性質(zhì)與左理對我們能更好的了解矩陣有著很大的幫助。為了能了 解更多的特殊矩陣。我們對正交矩陣進行進一步的研究，提出次正交矩陣的龍義以及性質(zhì)，還有 與它相近的矩陣概念：J-次正交矩陣。1.2問題的意義分析并了解矩陣性質(zhì)及應(yīng)用的一個意圖是，它要包括由于數(shù)

9、學(xué)分析（例如，多元元微積分、 復(fù)變量、微分方程、最優(yōu)化和逼近理論等）的需要而產(chǎn)生的線性代數(shù)中的論題。矩陣分析的另一 個意圖是，它是解決實的和復(fù)的線性代數(shù)問題的一種方法，這種方法果斷地采用諸如極限、連續(xù) 和幕級數(shù)這些來自分析的概念，這些概念有時比純代數(shù)方法更為有效或更為自然。矩陣分析的這 兩個出發(fā)點影響下而的討論和分析。我們認為采用術(shù)語矩陣分析比線性代數(shù)更能準(zhǔn)確地反映該領(lǐng) 域的廣泛內(nèi)容和研究方法。矩陣是數(shù)學(xué)中一個極其重要的、應(yīng)用廣泛的槪念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象和重要工具。木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO 它廣泛應(yīng)

10、用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等多個領(lǐng)域，因而也就使矩陣成為代數(shù)，特別是線性代數(shù)的 一個主要研究對象。近年來，人們對次對角線方向的矩陣理論（如次對稱性、次正交性）展開的 研究正日益增多，有關(guān)次對角線方向的矩陣理論在信息論、線性系統(tǒng)論、現(xiàn)代經(jīng)濟數(shù)學(xué)、矩陣方 程論、物理學(xué)等眾多學(xué)科中均有應(yīng)用，因此研究次正交矩陣及英性質(zhì)有重要的意義。下面將給岀 次正交矩陣的概念及其性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上給出J-次正交矩陣的概念及其性質(zhì)和K-次正交矩陣 的概念及其性質(zhì)。在其中，次正交矩陣是一種很特殊的矩陣，它類似于正交矩陣。因此研究次 正交矩陣的前提，必須先學(xué)習(xí)正交矩陣的一些性質(zhì)及左理。同時，對于次正交矩陣的判泄進行了 詳細的

11、開展和研究。在此基礎(chǔ)上，為了更好的學(xué)習(xí)次正交的概念，分別引用了 J-次正交矩陣，并 在此論文中，研究并給出了 J-擬次正交矩陣的一些相關(guān)性質(zhì)。這里我們所給出的次正交矩陣等的 性質(zhì)都是其基礎(chǔ)且極為重要的性質(zhì)，能充分的表現(xiàn)了它們在矩陣中的重要性。所以，通過這些特 姝矩陣的學(xué)習(xí)，我相信對于矩陣在數(shù)學(xué)中的重要性，我們能理解的更加透徹和明白。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí) 是永無I匕境的，對于次正交矩陣的性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們要秉著不斷創(chuàng)新的精神，不斷挖掘矩陣的性 質(zhì)以及苴左理，讓它們更好的為我們解決實際問題提供方便。木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、'艾WEN獻XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO

12、告GAO2矩陣的介紹2. 1矩陣簡史在最開始，矩陣并非如同一種容易產(chǎn)生的猜想那樣直接源自線性方程組系數(shù)的研究。系數(shù)陣 列導(dǎo)致數(shù)學(xué)家們發(fā)展了行列式而不是矩陣。微積分創(chuàng)建者Leibniz在1963年使用了行列式，先 于矩陣成為獨立研究對象約150年。Cramer 1750年建立線性方程組的行列式基本公式，Guass 在1820年左右提出了消去法。這些事件都出現(xiàn)在矩陣概念存在之前。隨著行列式的逐漸被人們認知，數(shù)學(xué)家開始不斷深入對行列式的研究。為了滿足更容易的應(yīng)用行 列式。數(shù)學(xué)家確左了矩陣槪念和產(chǎn)生“矩陣” 一詞，動機是試圖為研究行列式提供適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)語 言。1848年J. JSylvester引進術(shù)語

13、“矩陣”,作為數(shù)的陣列的名稱。它用"womb”是因為他視矩 陣為行列式的生成體。在圍繞行列式研究而尋求好的記號期間» Sylvester在1851年提提議把方形矩陣寫成如下形 式：恥加”a2a a2a2 a2aaMi ana2 anan隨著無數(shù)數(shù)學(xué)家的不斷研究和創(chuàng)新。人們不僅左義了矩陣的概念，還分類了許多不用的特殊 矩陣比如單位矩陣、三角形矩陣、正交矩陣、正立矩陣等等。這些矩陣都有它們自己獨特的性質(zhì)。 它們能幫助我們解決許多數(shù)學(xué)難題?，F(xiàn)在的矩陣的研究處于火熱狀態(tài)，為了能挖掘更多特殊矩陣的性質(zhì)以及圮理。學(xué)者紛紛都在 報刊上發(fā)表了自己的研究成果或者自己的寶貴建議。這為矩陣的發(fā)展

14、提供了強大的動力。2.2矩陣的概念左義2. 2.1： 由m xii個數(shù)切e PQ = 1,2,，加J = 1,2,n）排成的加行、"列的長方形 表S an a2 a 22a2n_am aml a,nn_稱為數(shù)域P上的一個in X n矩陣（matrix）。其中的切稱為這個矩陣的元。矩陣通常用一個大寫字母A表示，如果矩陣的行數(shù)川與列數(shù)相等，則稱它為“階方陣。數(shù) 域P上的所有加"矩陣的集合記為所有階方陣的集合記為M“（P）,元全為零的 矩陣稱為零矩陣，記為0。矩陣A的位于第/行、第J列的元簡稱為A的（ij）元，記為A（iJ）a 如果矩陣A的（/, J）元是勺（i = 12,m,

15、j = 1,2,，則可以寫成A =（5）叭對于對角線以外的元都等于0的矩陣我們稱為對角矩陣。特別的對于對角線上的元素都為1 的對角矩陣我們稱為單位矩陣。其中，單位矩陣的行列式等于1。設(shè)A =仙）是一個加x n矩陣。則A的轉(zhuǎn)置矩陣為A1 =（牛）o從這可以看岀轉(zhuǎn)置矩陣就是把原矩陣的行列對調(diào)而得到的矩陣。上（或下）三角形矩陣的轉(zhuǎn) 這矩陣是下（或上）三角形矩陣。特別地，行向量a二（,©,，©）被看成一個lx”矩陣， 它的轉(zhuǎn)置矩陣是一個"X1的矩陣，可以被看作一個列向量。類似地，列向雖的轉(zhuǎn)置可以被看作一 個行向呈:。2. 3正交變換以及正交矩陣泄義2. 3.1：設(shè)WwEn

16、dR （V ）是歐幾里得空間V的線性變換，如果W保持內(nèi)積，也就是 說，對任意的a、p已丫，有下而（W （a ）, W （0 ）二 la、卩）。則稱W是正交變換。從上述左義可以看出正交變換的乘積仍然是正交變換。正交變換把規(guī)范正交基變成規(guī)范正交基。因為正交變換是保持內(nèi)枳的，所以正交變換也保持 向量的長度以及向疑的夾角不變。從而它把正交的向量仍變成正交的向量。這就是"正交”名稱 的由來。但是反過來，把正交的向量仍變成正交的向量的線性變換不一左是正交變換。不過一個 線性變換只要保持向量的長度不變，它就能保持內(nèi)積不變，從而是正交變換，就是說得到下而的 命題。命題2. 3.1：如果歐幾里得空間V

17、的線性變換W保持所有的向量的長度不變，即（W （ a ）, W （ a ）二（a , a ）,對所有的a e V。那么W泄就是正交變換了。（1）正交變換的特征值為1或-1：（2）正交矩陣的實特征值為1或-1：（3）正交矩陣的特征值的模等于1。設(shè)用（,）二工“皿，）=1,2,.,"。那么正交變換W關(guān)于取左的規(guī)范正交基的矩陣A = <atj ）。 i=l我們把正交變換關(guān)于規(guī)范正交基的矩陣稱為正交矩陣。泄理2. 3.1：矩陣A是正交變換W關(guān)于規(guī)范正交基的矩陣的充分必要條件是AtA = E. 因此下而得出正交的左義。泄義2. 3.2：如果有矩陣A，滿足條件A7A = E,則稱矩陣A為正

18、交矩陣。推論2. 3.1：正交變換一泄是可逆的，而且他的逆變換仍然是正交變換。推論2. 3.2：設(shè)A是一個"階實數(shù)方陣，那么下而條件都是等價的：（1）A是正交矩陣：（2）AA1' = E :（3）以=屮。A的每個列的元素的平方和等于1，不同列的對應(yīng)元素的乘積之和等于0。（1）A的每個行的元素的平方和等于1，不同行的對應(yīng)元素的乘積之和等于0。（2）推論：正交矩陣的行列式等于±1。對應(yīng)正交矩陣的行列式等于1的正交變換稱為第一類正交變換，行列式等于-1的正交變換稱為第二類正交變換。還有對于正交矩陣有這幾種運算性質(zhì)：（1）正交矩陣之枳為正交矩陣；（2）正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交矩

19、陣；（3）正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣。3次正交矩陣及其性質(zhì)3. 1預(yù)備知識在學(xué)習(xí)次正交矩陣前。首先先介紹次正交矩陣中用到了相關(guān)知識。幫助讀者更容易的學(xué)習(xí)次正交矩陣。在下而，用E表示單位矩陣，用丿表示次單位矩陣，即次對角線上的元素都是1, 其余位登上的數(shù)字都是0的方陣：用det A和/nA分別表示方陣A的轉(zhuǎn)置矩陣、次 轉(zhuǎn)置矩陣、伴隨矩陣、行列式和的跡。定義3. 1. 1：設(shè)? X"矩陣41"12a.n-an"12 «2.n-la2nA =:dLllaml則稱如下的mx n矩陣% ai.n-l% a“ai25訂«2i«11為矩陣人的次轉(zhuǎn)

20、置，記為如果記=(/? )則% = Um Q = 12 /； j = 12 ,tn)。定義3. 1.2： 一個"階方陣A =(切)叫做次對稱矩陣：假若血=41+"觸(心=1,2,-,”)： 一個n階方陣A = («)叫做反次對稱矩陣,假若切=-4_+"泊(i, j = 1,2,“)。顯然，一個階反次對稱矩陣A=(aij)中，有幻”* =0(, = 1,2,例如：A =了1/24-54/71/27-5V3是一個三階次對稱矩陣。-4-50_B =3050-34是一個三階反次對稱矩陣。顯然，設(shè)E是“階單位矩陣，則EST 次轉(zhuǎn)宜矩陣的一些重要性質(zhì)：(1) (A5

21、7)57 = A：(2) (4 + 3)燈=4" + 3刃(A與3是同級矩陣);(3) (幾4)"=凡4"(人是常數(shù))：(4) (4 是加 xs 矩陣，B 是 s x n 矩陣)。3.2次正交矩陣的定義與性質(zhì)3. 2.1次正交矩陣的性質(zhì)下面介紹次正交矩陣的基本性質(zhì)。開始讀者對次正交矩陣的認識以及加深了解。泄義3. 2.1：如果在數(shù)域P上的"階方陣滿足AAst = E .則稱A為次正交矩陣。顯然，A的次轉(zhuǎn)nAST=A顯然，泄義3. 2.1中的條件AAst = E也可以用AS,A = E代替；且單位矩陣E是次正交矩陣。例如，矩陣4-2-1/2A =-431-

22、221 .是實域P上的一個三階次正交矩陣。證：已知A,可求得1-1/223-2-2-44則可求得/1AST = E o性質(zhì)3. 2.1：如果A是”階次正交矩陣，則A刃也是次正交矩陣。 證： 因為A是次正交矩陣；所以= E a兩邊取次轉(zhuǎn)宜得(A81)51 AST = AA = E。證畢性質(zhì)3. 2.2：如果A是"階次正交矩陣，貝ij| A| = 1或| A|=-lo 證：因為A是次正交矩陣，所以AAst = E.兩邊取行列式得AA5T| = | A| 41 = 1 A|2=K證畢所以|仆1或| A| = l。性質(zhì)3. 2.3：如果A是“階次正交矩陣，則A可逆，且A"也是次正交

23、矩陣。證：因為A是次正交矩陣，所以= E .由性質(zhì)2知所以A可逆。同理A57可逆，且(A57)-1 =(”)"° 因(A-,)S7(A-,) = (AS7)-,A-1 =(A457)-' = £-* = £,所以A"也是次正交矩陣。證畢性質(zhì)3. 2.4：如果A、3均是階次正交矩陣，則A3也是次正交矩陣。證：因為aaJebb = E，可得(AB)(佔嚴=(AB)(少了 屮)=a(3滬)屮=AAsr = Eo從而AB也是次正交矩陣。證畢3.2.2次正交矩陣的判定上而介紹了次正交矩陣的基本性質(zhì)。下而利用這些性質(zhì)。介紹次正交矩陣的一些立理以及相

24、 關(guān)命題。加深讀者對次正交的理解。泄理3. 2.1：數(shù)域P上的"階方陣A是次正交矩陣的充分必要條件是A-1 =。證： 必要性 因為A是次正交矩陣，所以AAst = E ,由性質(zhì)3可知A與人可均可逆， 且屮=疋。充分性 因為A-1 = 4",將等式A" = A57兩邊左乘A可得AA" = AA5T ,即AAST = E , 所以A是次正交矩陣。證畢命題3. 2.1：對"階方陣4,如果下列三個條件中任意兩個條件成立，則另一個條件也成立。(1) Ast = A , (2) A = E , (3) A2 = E o證：(1)當(dāng) A5T=A,A5TA =

25、 E 時，A2 =AA = AS1 A = E .(2) 當(dāng) AS7=A,A2=E時，A = AA = A2 =E (3) 當(dāng)AS1A = E,A2 = £時，A57 = AS1E = ArA2 = AstA)A = EA = A. 證畢 命題3. 2.2：如果A是"階次對稱陣，0是“階次正交矩陣，則Q'AQ是次對稱矩陣。證： 因為A是次對稱矩陣，Q是次正交矩陣，所以Ast =A,QQsr =E,Q =QsrQ-'AQ = QstAQst = QAQ = Q-'AQ 0證畢所以Q-'AQ是次對稱矩陣。命題3. 2.2：如果久是次正交矩陣A的特

26、征值，則1/兄也是A'7的特征值。證：設(shè)a是A的屬于人的特征向量，所以Aa = Aa.由性質(zhì)3知A可逆，且A"也是次正交矩陣，將等式Aa = Aa兩邊左乘得a = A_, (Aa) = A(Ala)即 A'a = (1/A)a所以川的特征值為1/2。證畢由建理3. 2. 1可知A'1 = A57 ,從而1 /久也是A57'的特征值。命題3. 2. 3：如果A是九階方陣，且滿足”是奇數(shù)，A| = 1，貝iJ|E-A| = Oa命題3. 2.4：如果A是”階方陣，且滿足人/產(chǎn)=E,| 4|=1,貝9|E + q| = o。命題3. 2. 5：設(shè)人3是兩個&

27、quot;階次正交矩陣，且AB = -,貝ij| 4|=| AB' = AsrBST = -.命題3. 2.6：設(shè)A是"階實次對稱矩陣，3為"階實反次對稱矩陣，且AE = BA, A-B可 逆，貝iJ(4+B)(4 B尸是次正交矩陣工。3.3 J-次正交矩陣的定義及其性質(zhì)上而介紹了次正交矩陣，下面對次正交矩陣進行拓展，得到丿-次正交矩陣的一些概念以及基 本性質(zhì)。定義3.3.1：設(shè)A,B,C,Dw/r",如果§為A的全轉(zhuǎn)置矩陣，則記為B = A若C為A 的右轉(zhuǎn)置矩陣，則記為C = AK ,若D為4的左轉(zhuǎn)程矩陣，則記為D=A泄義3. 3.2：設(shè)A =

28、(«.)e/?wxw,稱其次對角線元素之和為A的次跡，記為S/M,即 nStrA =。r=l定義3. 3.3：設(shè)A=()e/?wxn,如果AA57 = A57 A = J ,則稱A為"階丿-次正交矩陣。容易得出，如果A為"階J-次正交矩陣，則A必立為當(dāng)4/“或4/“ 1時的階實矩陣， 以下所提到的階丿-次正交矩陣，均指此類型矩陣。性質(zhì)3. 3.1：設(shè)A = ©)wR"：如果A為丿-次正交矩陣，則A建可逆，且A'1 = JAsr 0推論3. 3.1：設(shè)A w胖",如果A為丿-次正交矩陣，則A"與A57可互換。證：由性質(zhì)

29、 3. 3. 1 可知 A'1 =訶=屮7,可得= JAS1A = AsrJA = AsrA即44" = AWAT,所以A"與A57可互換。性質(zhì)3. 3.2 :設(shè)Ae ,如果A為丿-次正交矩陣，則(1) A'1也是丿-次正交矩陣；(2) 都是八次正交矩陣；(3) detA二±1。性質(zhì)3. 3. 2：如果A e肥"是j_次正交矩陣，則當(dāng)b e Rmxn為丿-次正交矩陣時,BA1 B及 B"AB均為丿-次正交矩陣。性質(zhì)3. 3.3：設(shè)人3為丿-次正交矩陣，則有(1) det(A5TB) = det(A5TB5T) = det(AB)

30、:(2) 如果det(AB) = -l,則det(A + B) = O；(3) 如果detA+detB = O,則det(A-B) = O；(4) 如果(-l)Mdet(AB)=-l,RiJdet(A)-det(B) = O, det(A-B) = O：(5) 如果"為奇數(shù)，則det(A + B)(A-B) = Oo性質(zhì)3. 3.4：設(shè)丘腫為可逆矩陣,則A57 A = BJB的充分必要條件是:存在丿-次 正交矩陣P使得A = PB.性質(zhì)3. 3. 5：設(shè)A e Rmxn為八次正交矩陣，則對任意B e Rmxn有(1) Str(Ay,BA) = SfMABA ):(2) Str(A&#

31、39;BA) = Str(ABAi) (3) StrBA) = Str(ABA)。性質(zhì)3. 3.6：設(shè)兄是"階丿-次正交矩陣A的特征值，則(1) 20；木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻XIAN綜ZONG述SHU.開KAI題TI報BAO告GAO（2）滬是（且是卅和卅）的特征值：（3）入蟲，&是A的特征值，則人兒&=±1。丿-次正交矩陣的性質(zhì)不僅僅是這些，還有很多性質(zhì)，有待我們進一步討論*木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、'艾WEN獻XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO4次正交矩陣的拓展以及延伸4. 1次

32、正交矩陣與次對稱矩陣的聯(lián)系大家熟悉的正交矩陣與對稱矩陣緊密相關(guān)。而次正交矩陣的性質(zhì)與正交矩陣的性質(zhì)很相似， 因此研究次正交矩陣與次對稱矩陣的聯(lián)系非常重要。因此下面提出次正交矩陣與次對稱矩陣的若 干泄理。泄理4. 1. 1：設(shè)"為“維實列向量且= 1,則H = E 2譏嚴為實次對稱矩陣、次正交矩 陣且證 因= （E 2i儀燈嚴=E-2譏嚴二H ,所以H為次對稱矩陣，又uSTu = 1,故（E-2iaiST）（E-2m ）=E-2uust -2ui +4譏產(chǎn)譏嚴=已 o同理可證得：HHst = E ,因而H為次正交矩陣。再由第二降地理有|H| = | E-2uE i鬥 | = |E|-|

33、 1-2hstm| = 1（1-2） = -1。泄理4.1.2：設(shè)c為非零實數(shù)，如果方陣A滿足下列三個條件中的任意兩個條件，則必滿足 第三個條件：（1）A為次正交矩陣：（2）A為實擬對稱矩陣（A" = o4）；（3）A2 =cE a證 （1）設(shè)條件（1）,（2）滿足，則有A'1 = A57 = cA，故A2=cE,即（3）滿足。（2）設(shè)條件（1）, （3）滿足，則有即條件（2）滿足。（3）設(shè)條件（2）, （3）滿足，則有 A457 = A（cA） = cA2 = cE） = E :同理，ArA=E,所以A為次正交矩陣，即條件（1）滿足。由此可推出以下推論。推論4.1.1：如果

34、方陣A滿足下列三個條件中的任意兩個條件時，則必滿足第三個：(1) A為次正交矩陣：(2) A為實次對稱矩陣(A51二A)；(3) A為對合矩陣(屮二£)。推論4.1.2：如果方陣A滿足下列三個條件中的任意倆個條件，則必滿足第三個：(1) A為次正交矩陣；(2) A為實反次對稱矩陣(A"=A)；(3) A2 =- Eo泄理4.1. 3:設(shè)A,B為"階實可逆矩陣，那么AA" = BBS,的充要條件是存在"階次正交矩 陣p使得A = PB°證 充分性 因A = PB,故=BstPstPB=BstB.必要性 因為 A5TA = BsrB ,所

35、以 A = (A_1)y/ B57B。令 P = (/f1)57 BST, 5!iJPs1P = BA-A-f,=B(B$7 B)t=闕為刃=E所以P為次正交矩陣且有A = PBB。泄理4.1.4：設(shè)A為實對稱矩陣，B也為實反對稱矩陣，AB = BA且有A + B可逆，則+為次正交矩陣。證 由條件可得：As, =A,BS, =-B,所以(A-B)( A + B)l (A - B)( A + B)l n'=(A+ B尸(A57- + B57 )W -滬)=(A -B)(A + B)A - B)T (A + B) =(A - B)( A - 3)( A + B)-1 (A + 3)=(A

36、- B)( A + 3)( A _ B)-1 (A + 3)=A-B)(A-B)A + B)“(A + B) = E。同理(A 3)( A + BY' S1A 一 B)( A + B)_, = E。故可得岀(A - B)( A + B)-1為次正交矩陣。定理4.1.5： (1)設(shè)A為反次對稱矩陣，E+A可逆，則B = E-A)E + A) = (E + A)l (I-A)o為次正交矩陣。(2)設(shè)3為次正交矩陣，E+B可逆，則存在反次對稱矩陣A,使得E+A可逆且3可表示成B = (E - A)(E + A)" = (E + A)" (E - A) 0證(1)因為單位矩

37、陣E為次對稱且EA = AE，所以由泄理4可知：B = (E-A)(E + A)- 為次正交矩陣。又(E + A)(E-A) = (E-A)(E + A),故(E A)(E +A)“ = (E +A)"(E A)。(2)由條件可令A(yù) = (E-B)(E+B)i =(E + B)E-B) 。(*)又2E-(E + B) = E-B,兩邊右乘(E + B)l可得2(E + B)l-E = (E-B)(E + B)“ = A。于是E + A = 2(E + B)-1可逆且有E + B = 2(E + A)“，從而3 = 2(/ + A)l-E = 2E(E + A)'(E + A)

38、(E + A)l =2E-(E + A)(E + A)l =(E-A)(E + A)l o再由(*)式得：A(E + B)= EB,兩邊取次轉(zhuǎn)置可得：(E + BjAW =E-B ,兩邊左乘 B可得：+= B E。兩邊左乘(E + B)“，再利用(* )式可得：ASi =(E + B)l(B-E) = -A,所以4為反次對稱矩陣，使得E+A可逆，且有B = (E-A)(E + A)_, = (E + A)_,(E - A)。立理4.1.6：設(shè)A為次正交矩陣，則(1) ABA為次對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B為次對稱矩陣。(2) AlBA為反次對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B為反次對稱矩陣。證因 A 為次正交矩陣，所以

39、A" =,因而(AlBA)sr = As/(A'1 )sr =,于是：(1) 因為 AlBA為次對稱矩陣，A'BstA = ABA)st = A'BA, iti = B ,于是 為次對稱矩陣，反之亦然。同理可證(2)成立。定理4.1.7：設(shè)A3為"次正交矩陣，那么(1) 如果| AB| = _1,貝!J| A+B| = O：(2) 如果 | A| + |B|=O,貝 ij| A + B| = O證由條件有A457 = BBst = E,于是I A + B| = | ABstB + AAB I 十 3" + q")引=I A|-|

40、(A + B)st |-|b| = | ab- a + b =_|A+B|故I A + B| = O,即(1)成立。因為I A| = -|B|,由條件可推出I A2 | = 1,于是由(1)的證明過程可知A + B = A |.|04 + 3嚴卜| 3| = -| A A + B | = -| A + B故|A+B| = O,即(2)成立。推論4.1.3：第二類次正交矩陣A| A = -必有特征根-1.證 因為單位矩陣E為次正交矩陣，且有E| + MI=O,所以由左理7中的(2)可知： |£+A| = 0,從而|(1)E A| = 0,故-1為A的特征根。泄理4.1. 8：任何二階次

41、正交矩陣都可表示為50、<0心< 0)證設(shè)A = a為二階次正交矩陣，則2 d)A"d b ad + bclabi 2cd cb + da于是 ad + bc = .2ab = 0.2c d = 0。當(dāng)b = 0時，必有aHO,c = O,=a",當(dāng)bHO時，必有a = 0.d = 0,c = Z?-1o- (a 0)0 c") 所以A= c 或02 "丿匕0丿泄理4.1.9： (1)以下對角矩陣與次對角矩陣必為2/階次正交矩陣:(2) 以下對角矩陣與次對角矩陣必為2廣+ 1階次正交矩陣(其中方為1或-1)：b-i-i4.2丿-擬次正交矩陣及

42、其性質(zhì)次正交矩陣的作用不僅僅只有本身，它還可以延伸出苴他許多矩陣例如上而的J-次正交矩陣 和未介紹了 K-次正交矩陣。下面參照丿-次正交矩陣的概念，對英進行進一步的加深研究，著手 于學(xué)習(xí)其通用性。給出J-擬次正交矩陣的槪念，并討論它的基本性質(zhì)。定義4.2：設(shè)A已,如果AA =AsrA = cJ(cOJX單位矩陣”則稱A為丿-擬次 正交矩陣。不難看出，當(dāng)c = l時，A為丿-次正交矩陣；當(dāng)c1時，A為J-反次正交矩陣。因此丿- 次正交矩陣和丿-反次正交矩陣是丿-擬次正交矩陣的特例。所以研究丿-擬次正交矩陣可以幫助 讀者了解丿-(反)次正交矩陣，甚至加深對次正交矩陣的理解。如果A為丿-擬次正交矩陣

43、，則A可逆，且有A 7=1z4"(cH0),特別的，當(dāng)A為丿-次 c正交矩陣時，A-1 = JAsr :當(dāng)A為丿-反次正交矩陣時，A-1 = -JA 0定理4. 2.1：設(shè)A e R,xn , 0工cwR,則下列三個條件是等價的。(1) A是J-擬次正交矩陣：(2) AJ=JA,且有AAsr =cJ(AA = cJ)；(3) AJA = AS1JA = cE o證 (/)(1) => (2),如果A是丿-擬次正交矩陣，則AAst = AstA = cJ,AJ = A(- AsrA) = - (AAst )A = - (cJ)A = JAccc故(2)成立。(”)(2) =>

44、; (3),如果 AJ=JA 且九4" =c/(A"A = c/),則 A = JAJ，從而AJAr = cE :同理可得，Al JA = cE,故(3)成立。(加)(3) => (1),如果 AJA1 = Asl JA = cE, JAAsr = ASTAJ =cJ2=cE,兩邊都乘J得= A57 A = cJ ,故(1)成立。推論4.2.1：設(shè)A e R計,則下列三個條件是等價的(1) A是丿-次正交矩陣；(2) AJ=JA 且 A4" =J(A"A = J);(3) AJAS, = AS1 JA = E a推論4.2.2：設(shè)A w R&quo

45、t;",則下列三個條件是等價的(1)A是丿-反次正交矩陣：(2) AJ=JA且A457 =-心"人=一丿);(3) AJA57 = A57Z4 = -E 定理4.2.2：設(shè)A e R,m,如果A是丿-擬次正交矩陣，即AAS, = Asl A = cJ(c 0),貝ij(1) (detA)2=(-l)n(w_,)/2cn；(2) A57 , A7', A",aA(a H 0)都是丿-擬次正交矩陣；(3) 丿與 A”, A1, A_,aA(a H 0)均可交換。證 如果A是丿-擬次正交矩陣，即AA1 =AstA=cJ(c0),(1) (det A)2 = (d

46、et A)(det A") = det(A4s /) = det(cJ) = cn det J = (-l)H<n_1/2)cn。(2) (A5T)(A57)5r=A5TA = cJ ,同理(Asr)srA' = AA' = cJ ,即 A” 是丿-擬次正交矩陣。類似可證出“A, A7. A"1都是J -擬次正交矩陣。(1) 只需證 AstJ =-Ast(AAst) = -(AstA)Ast = -(cJA37 = JA，其余類似可證得。 cccm 泄理4.2.3：設(shè)外£，九丘用也，且都是八擬次正交矩陣，則當(dāng)? = 2« + 11時

47、，口4 注1為丿-擬次正交矩陣(上= 1,2,加)。證 如果£4,人都是丿-擬次正交矩陣，則存在/?(/ = 1,2,-,/«),使得mmmtnm44" = 4" = ctJ(i = 12,7),而( A 嚴(口 A) =(nA>(n VJ =( q)廣。 r-1r-1r-1/-ir-1m 當(dāng)m=2k+l時，Jm=J .則匸4為丿-擬次正交矩陣。注1m 推論4. 2.3：設(shè)人,£人工疋畑，且都是八次正交矩陣，則當(dāng)加= 2k + l時，口人 注1為丿-次正交矩陣。(上= 1,2,加)。m 推論4. 2.4： 4M2,-sA.e/?2/,x2

48、%且都是丿-反次正交矩陣，則當(dāng)加=2£ + 1時，口人 hi為丿-反次正交矩陣。(£ = 12,2)。泄理4. 2.4：設(shè)A.BwRf 如果扎B都是八擬次正交矩陣，則(1) BAB'BABW ；(2) B"AB、BAB7；(3) B7 AB, BAB1都是丿-擬次正交矩陣。證 如果 A, B 都是丿-擬次正交矩陣，則 A457 = q J.ST = Bs, B = c2Jcc2 0) o(1) (BSTAB)(BAB)sr = BABBAS,B = cxc2Jy = c.cJ。(Bs，AB)siBs, AB) = qc22 J ,故AB是丿-擬次正交矩陣，

49、同理可證BAB'?也是 丿-擬次正交矩陣。(2), (3)類似證明即可。推論4. 2.5：設(shè)AHRf 如果43都是丿-次正交矩陣，則(1) B AB'BABW ：(2) B"AB、BAB“；(3) B1 AB.BAB1都是丿-次正交矩陣。推論4. 2.6：設(shè)A、BeR"6,如果幾3都是丿-反次正交矩陣，則(1) BAB'BABW；(2) B"AB、BAB7；(3) BAB、BAB都是丿-反次正交矩陣。泄理4.2.5：設(shè)AwRH 都是非零常數(shù)，如果下列三個條件中的任意兩個條件成立，則 第三個條件一定成立。(1) A是丿-擬次正交矩陣(AyIA

50、 = AAyI =cJ)；(2) A是擬次對稱矩陣(A"=bA)：(3) A2=-J ob證 (d)(1), (2) => (3)。如果(1), (2)成立，則 AAsr =A A = aJ ,且有 A5T = bA , 從而A2=-J ,故(3)成立。b木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、'艾WEN獻XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO（”）（1）, （3） => （2）o 如果（1）, （3）成立，則AAst = A31 A = aJ .且A2=-J 9 b從而= BA2.又因A是可逆矩陣，兩邊同時左乘A"可得A57 =b

51、A ,故（2）成立。(iii)由(2), (3)=如果，成立，則且汨，從WW AA57* = aJ ,及 A = aJ ,故（1）成立。推論4. 2.7：設(shè)A e 7?nxM ,如果下列三個條件中的任意兩個條件成立，則的三個條件一立成 立。（1）A是丿-次正交矩陣；（2）A是次對稱矩陣；（3）A2=J .推論4. 2. 8：設(shè)A w ,如果下列三個條件中的任意兩個條件成立，則的三個條件一左成 立。（1）A是J-反次正交矩陣；（2）A是次對稱矩陣：(3) A2 =-J。5結(jié)論矩陣在高等代數(shù)中有著不可比擬的重要性，對矩陣的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)髙等代數(shù)的第一步。它有著 其他領(lǐng)域所無法比擬的功能。本文中首先介紹

52、了矩陣的來由以及矩陣的基本概念，讓我們初步了 解矩陣的基本情況。矩陣在數(shù)學(xué)上跟代數(shù)緊密相關(guān)，了解矩陣不僅能幫助我們更好的了解數(shù)學(xué)， 還鍛煉了我們的思維邏輯。很多數(shù)學(xué)問題的解決都要靠建立矩陣的模型才能更簡便的加以定義及 解決。同時了解一些基本矩陣，以及矩陣的性質(zhì)。例如單位矩陣的了解和轉(zhuǎn)置矩陣的泄義。這些 對于下而次正交矩陣的研究有一泄的幫助。然后歸納了正交矩陣以及次對稱矩陣的泄義，幫助本 次論文中次正交矩陣的性質(zhì)的闡述。該矩陣通全轉(zhuǎn)宜、次轉(zhuǎn)這，矩陣可逆等知識與正交矩陣，次 對稱矩陣等特殊矩陣緊緊相關(guān)，在矩陣論中有著必不可缺的作用。然后，在此基礎(chǔ)上，進一步拓 廣，提出了 J-次正交矩陣的性質(zhì)。更全

53、而的揭示了次正交矩陣在矩陣中的作用。因為次正價品矩 陣與一些特殊矩陣緊密相關(guān)，所以研究次正交矩陣的性質(zhì)不僅僅只是對其本身的了解，還幫助我 們對更多特殊矩陣進行深入研究，進一步幫助我們對矩陣的了解與探索。在學(xué)習(xí)探索中，有特殊 矩陣：擬正交矩陣的出現(xiàn)，接下來出現(xiàn)很多相似的矩陣猶如擬對稱矩陣、擬對角矩陣等等，因此 為了探索次正交矩陣更多的性質(zhì)，接下來本文中研究了丿-擬次正交矩陣的基本性質(zhì)，其中J-次 正交矩陣知識其特例。所以研究J-擬次正交矩陣有一泄的重要性，可以幫助讀者更好的學(xué)習(xí)J- 次正交矩陣，更好的理解次正交矩陣，為將來人們學(xué)習(xí)次正交矩陣更加的容易以及方便。層層的 深入學(xué)習(xí)更多的特殊矩陣的性質(zhì)

54、及其應(yīng)用，我們將能更透徹的了解到矩陣在數(shù)學(xué)中的重要性。當(dāng) 然，學(xué)習(xí)是永無止境的，次正交矩陣、丿-（擬）次正交矩陣的性質(zhì)不僅僅只有這些，進一步的 學(xué)習(xí)需要我們不要的努力學(xué)習(xí)，努力研究，更多的性質(zhì)相信將會被我們所挖掘，給我們提供它們 的教學(xué)價值。參考文獻11陳景良，陳向暉特殊矩陣M北京：淸華大學(xué)出版社.2000.2 劉丁酉矩陣分析M貳漢：武漢大學(xué)出版社,2003.3 秦兆華矩陣的次轉(zhuǎn)宜及實次對稱矩陣的次正定性J渝州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1991.11： 14-18.4 袁暉坪次正交矩陣與次對稱矩陣J西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1998, 23:11-15.5王文藝關(guān)于次正交矩陣J渝州大學(xué)學(xué)報：自

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