高一數(shù)學(xué)教案：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積教案

1、【課題】平面向量基本定理【教學(xué)目標(biāo)】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；3.能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量基本定理【教學(xué)難點(diǎn)】平面向量基本定理的理解與應(yīng)用【教學(xué)過程】一.復(fù)習(xí)引入實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）|=|；（2）>0時(shí)與方向相同；<0時(shí)與方向相反；=0時(shí)=2運(yùn)算定律結(jié)合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3.向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=.4.由火

2、箭升空和小練習(xí):已知向量，,求作向量-2.5+3引入二.新課講解1平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使其中我們把不共線的向量，叫做表示這一平面所有向量的一組基底。注：，均非零向量； ，不唯一（事先給定）； ，唯一；時(shí)，與共線；時(shí)，與共線；時(shí)，一個(gè)平面向量用一組基底表示成的形式,稱它為向量的分解.當(dāng)所在直線互相垂直時(shí)這種分解稱為的正交分解.2例題分析：例1.書例1變式練習(xí):1.已知的對(duì)角線交于點(diǎn)C,且.如果,試用表示.2.已知中,M,N分別是DC,BC的中點(diǎn)且用表示.例2. 書例3.變式練習(xí):1.如果向量與共線,求.2.如果其中

3、為基底,向量問是否存在這樣的實(shí)數(shù)和,使與共線?例3. 書例2.【課堂小結(jié)】1.熟練掌握平面向量基本定理；2會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的幾何表示。【課后作業(yè)】【課題】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1理解向量的坐標(biāo)表示法,掌握平面向量與一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2正確地用坐標(biāo)表示向量，對(duì)起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等的關(guān)系來用坐標(biāo)表示；3掌握兩向量的和、差,實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)表示法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)難點(diǎn)】向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性【教學(xué)過程】一.復(fù)習(xí)：1平面向量的基本定理：；2在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)表示，那

4、么，每一個(gè)向量可否也用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示？二.新課講解：1向量的坐標(biāo)表示的定義：分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對(duì)于任一向量，（），實(shí)數(shù)對(duì)叫向量的坐標(biāo)，記作其中叫向量在軸上的坐標(biāo)，叫向量在軸上的坐標(biāo)。說明：（1）對(duì)于，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)；（2），；（3）從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)。2.(1)如，,則等價(jià)于.(2)已知向量，且點(diǎn)，則3.坐標(biāo)運(yùn)算:已知，(1)(2)(3)例1.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)。變式練習(xí):1.已知,以為一組基底來表示向量.2.設(shè)向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量4a、4b2c、2(a

5、c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為( )3.設(shè)點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度向量,設(shè)起始P(-10,10),則5秒鐘后點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ).例2.書例4.變式練習(xí):設(shè)滿足(1)為何值時(shí),點(diǎn)P在直線上?(2)設(shè)點(diǎn)P在第三象限,求的范圍.【課堂小結(jié)】1正確理解平面向量的坐標(biāo)意義；2掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3能用平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算解決一些實(shí)際問題【課后作業(yè)】【課題】向量平行的坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】1掌握兩向量平行時(shí)坐標(biāo)表示的充要條件；2能利用兩向量平行的坐標(biāo)表示解決有關(guān)問題?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)難點(diǎn)】利用向量平行的坐標(biāo)表示解題【教學(xué)過程】一.復(fù)習(xí)1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)

6、算2.向量與非零向量平行的充要條件是：.二.新課向量平行的坐標(biāo)表示：設(shè)，（），且，則，.，.歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達(dá)形式：；且設(shè)，（）例1.已知，且，求.變式練習(xí):1.已知,且,求.2.已知,當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí),向量與平行?并確定它們是同向還是反向.例2.已知，求證、三點(diǎn)共線.變式練習(xí):1.如三點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,求m.2.如果,且A,B,C三點(diǎn)共線,求k.3.已知A(-1,6),B(3,0),在直線AB上求一點(diǎn)P,使4.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)(1)求AC和BD交點(diǎn)的坐標(biāo).(并據(jù)此法推導(dǎo)三角形重心的坐標(biāo)公式)(2)求

7、證四邊形ABCD是梯形.例3.已知是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)滿足,其中,求點(diǎn)的軌跡方程.【課堂小結(jié)】1.熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達(dá)形式；2會(huì)用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點(diǎn)共線和兩直線平行；3明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同?！菊n后作業(yè)】【課題】平面向量的數(shù)量積【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積定義【教學(xué)難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【教學(xué)過程】一.復(fù)習(xí)引入：1向量共線定理2平面向量基本

8、定理3平面向量的坐標(biāo)表示4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06. 物理課中，物體所做的功的計(jì)算方法：（圖1）（其中是與的夾角）二.新課講解：1向量的夾角：已知兩個(gè)向量和（如圖2），作，則（）叫做向量與的夾角。（圖2）當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向；當(dāng)時(shí)，與的夾角是，我們說與垂直，記作2向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即說明：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角有關(guān)實(shí)數(shù)與向量的積與向量數(shù)量積的本質(zhì)區(qū)別：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量；實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量；規(guī)定，零向量與任一向

9、量的數(shù)量積是3.數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，則；當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；特別地：或；若是與方向相同的單位向量，則4.數(shù)量積的運(yùn)算律已知a，b，c和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：a·bb·a (交換律)(a)·b (a·b)a·(b) (數(shù)乘結(jié)合律)(ab)·ca·cb·c (分配律)說明：(1)一般地，(a·b)ca(b·c)(2)a·cb·c，c0ab(3)有如下常用性質(zhì)：a2a2，(ab)·(cd)a·ca·db&#

10、183;cb·d(ab)2a22a·bb2例1. 已知：a3，b6，當(dāng)ab，ab，a與b的夾角是135°時(shí)，分別求a·b.變式練習(xí):1.已知a8，b10，ab16，求a與b的夾角.2.已知，,且的夾角為(1)求 (2)當(dāng)為何值時(shí),向量與平行?垂直?例2.已知正的邊長為，設(shè)，求變式練習(xí):1. 已知，且，求2.已知是兩個(gè)非零的向量且,求與的夾角.【課堂小結(jié)】要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的幾個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問題.【課后作業(yè)】【課題】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.

11、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件【教學(xué)重點(diǎn)】面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及由其推出的重要公式【教學(xué)難點(diǎn)】向量數(shù)量積坐標(biāo)表示在處理有關(guān)長度、角度、垂直問題中的應(yīng)用【教學(xué)過程】一.復(fù)習(xí)：1兩平面向量垂直的充要條件；2兩向量共線的坐標(biāo)表示；3軸上單位向量，軸上單位向量，則：，二.新課講解：1向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)，則.從而得向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式：2長度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示：長度：Þ ；兩點(diǎn)間的距離公式：若，則；夾角：；垂直的充要條件：，即（注意與向量共線的坐標(biāo)表示的區(qū)別）例1.設(shè)，求變式練習(xí):1.已知a(1，)，b(1，1)，則a與b的夾角是多少?2.已知，,且求(1) (2)與的夾角.

12、3.書例3.例2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，試判斷ABC的形狀，并給出證明.變式練習(xí):1. 如圖，以原點(diǎn)和為頂點(diǎn)作等腰直角，使，求點(diǎn)和向量的坐標(biāo)。AOBBB解：設(shè)，則， ，即：，又， ， 即：，由或，或， 2. 在ABC中，(1，1)，(2，k)，若ABC中有一個(gè)角為直角，求實(shí)數(shù)k的值.3.已知,如果與的夾角為鈍角,求的取值范圍.【課堂小結(jié)】【課后作業(yè)】【課題】習(xí)題課1.在ABC中，a，b，且a·b0，則ABC的形狀是( )2. 已知a，b，c兩兩垂直，且|a|1，|b|2，|c|3，求rabc的長及它與a，b，c的夾角的余弦.3.與向量平行的單位向量是( )4

13、.已知,是不平行于軸的單位向量,且,則=( )例1.四邊形ABCD中，a，b，c，d，且a·bb·cc·dd·a，試問四邊形ABCD是什么圖形?例2. 已知a、b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.例3.如果且,又與是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)(1)如與向量垂直,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(2)求函數(shù)的值域.例4.設(shè)函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）求實(shí)數(shù)的值；（）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集例5.已知點(diǎn)A(2,0),B(0,2),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)如果,求與的夾角(2)如果,求的值.【課題】平面向量的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1.能用向量解決幾何問題2.能用向量解決簡(jiǎn)單的物理問題【教學(xué)