幅相頻率特性(精)

1、5.2 幅相頻率特性( Nyquist 圖)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線是系統(tǒng)頻域分析的依據(jù)， 掌握典型環(huán)節(jié)的幅相特性是繪制開(kāi)環(huán) 系統(tǒng)幅相特性曲線的基礎(chǔ)。在典型環(huán)節(jié)或開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，令 s j ，即得到相應(yīng)的頻率特性。令 由小 到大取值，計(jì)算相應(yīng)的幅值 A( ) 和相角 ( ) ，在 G 平面描點(diǎn)畫(huà)圖，就可以得到典型環(huán)節(jié) 或開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線。圖 5-8 比例環(huán)節(jié)的 幅相頻率特性5.2.1 典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s) K(5-22)其頻率特性為G(j ) K j0 Ke j0A( ) G(j ) K( ) G( j ) 05-23)比例環(huán)節(jié)的幅相特性是

2、G 平面實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)，如圖 5-8 所示。表明比例環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的振幅是輸入信號(hào)的 K 倍，且響應(yīng)與輸入同相位 2. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s) s(5-24) 其頻率特性為G( j ) 0 jej 90A( )( ) 905-25)微分環(huán)節(jié)的幅值與 成正比，相角恒為 90 。當(dāng) 0 時(shí)，幅相特性從 G平面的原點(diǎn)起始，一直沿虛軸趨于 j 處，如圖 5-9 曲線所示3. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s) 1s(5-26) 其頻率特性為1G( j ) 0j1 j90e圖 5-9 微、積分環(huán)節(jié) 幅相特性曲線1 A( )( ) 905-27)5-9 曲線所示。積分環(huán)節(jié)的幅值與 成反比

3、，相角恒為 -90 。當(dāng) 0 時(shí)，幅相特性從虛軸 j 處出發(fā)，沿負(fù)虛軸逐漸趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖4. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為15-28)G(s) Ts1 1其頻率特性為G( j )11 jT 1 T 2 2e j arctan TA( ) 1 T2 2( ) arctanT5-29)當(dāng) 0 時(shí)，幅值 A( ) 1，相角 ( ) 0 ；當(dāng) 可以證明，慣性環(huán)節(jié)幅相特性曲線是 圓。如圖 5-10 所示。證明如下：個(gè)以時(shí)，A( ) 0 ， ( ) 90 。(12，j0)為圓心、12 為半徑的半1 G( j ) 1 jT 1 T 2 21 jT X jY其中由式(5-31)可得X 12 21 T 2

4、2TY 2 2 T X1 T 2 2YT5-30)5-31)5-32)將式( 5-32)代入式( 5-30)整理后可得X21 2圖 5-10 慣性環(huán)節(jié)的極點(diǎn)分布和幅相特性曲線>>圖 5-10 Matlab 程 序g=tf(1,1 1); nyquist(g); axis('square');5-33)式(5-33)表明：慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性符合圓的方程，圓心在實(shí)軸上12處，半徑為 1/2。從式(5-31)還可看出， X 為正值時(shí)， Y只能取負(fù)值，這意味著曲 線限于實(shí)軸的下方，只是半個(gè)圓。例 5-1 已知某環(huán)節(jié)的幅相特性曲線如圖 5-11 所示，當(dāng)輸入頻率1 的正弦

5、信號(hào)時(shí)，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位遲后 30 ，試確定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)解 根據(jù)幅相特性曲線的形狀，可以斷定該環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)形式為依題意有因此得所以KG(j ) TsK 1A(0) G( j0) K 10(1) arctanT 30K 10 ， T 3 310G(s)3s13圖 5-11 環(huán)節(jié)幅相特性曲線慣性環(huán)節(jié)是一種低通濾波器， 低頻信號(hào)容易通過(guò)， 而高頻信號(hào)通過(guò)后幅值衰 減較大。對(duì)于不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為1G(s)Ts 1其頻率特性為15-34)1 A( ) 2 2G( j ) 1 T 2 21 jT( ) 180 arctanT當(dāng)0時(shí)，幅值 A( ) 1，相角 ( ) 180 ；當(dāng) 時(shí)， A

6、( ) 0 ，( ) 90 。>> 圖 5-12 程序g=tf(1,1 -1); nyquist(g); axis('square'); grid;圖 5-12 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的極點(diǎn)分布和幅相特性分析 s平面復(fù)向量 s p1(由 p1 1T 指向 s j )隨 增加時(shí)其幅值和相 角的變化規(guī)律，可以確定幅相特性曲線的變化趨勢(shì)。如圖 5-12 (a)、( b )所示?？梢?jiàn)，與穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的幅相特性相比，不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的幅值不變，但相 角不同。5. 一階復(fù)合微分環(huán)節(jié) 一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G( s) Ts 1其頻率特性為G( j ) 1 jT1T2 2ej ar c

7、Tt aA( ) 1 T 2 2 ( ) arctanT5-35)5-36)一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)幅相特性的實(shí)部為常數(shù) 1，虛部與 成正比，如圖 5-13 曲線 所示。不穩(wěn)定一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s) Ts 1其頻率特性為5-37)G( j ) 1 jTA( )1 T 2 2( ) 180 arctan T5-38)幅相特性的實(shí)部為 -1，虛部與 成正比，如圖5-13 曲線所示。不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性都是 非最小相角的。6. 二階振蕩環(huán)節(jié)圖 5-13 一階微分環(huán)節(jié)的 幅相頻率特性二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為T(mén) 2s2 2T s 1 s2 2 nn2015-39)式中， n 1T 為環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自

8、然頻率； 為阻尼比， 01。相應(yīng)的頻率特性為G( j )5-40)12 (1 2 ) j2 nnA( )122(1 2 )2 4 2 2 nn2( ) arctann21 222 n5-41)當(dāng) 0 時(shí) 當(dāng) n 時(shí) 當(dāng)時(shí)分析二階振蕩環(huán)節(jié)極點(diǎn)分布以及當(dāng)s p2 的模和相角的變化規(guī)律，可以繪出G( j0) 1 0G( n ) 1 /( 2 ) o 9G( j ) 0 1 80 s j j0 j 變化時(shí)，向量 s p1 、G(j )的幅相曲線。二階振蕩環(huán)節(jié)幅相特性的形狀與 值有關(guān)，當(dāng) 值分別取 0.4、0.6和 0.8時(shí)，幅相曲線如圖 5-14所 示。>>圖 5-14 Matlab 程序

9、圖 5-14振蕩環(huán)節(jié)極點(diǎn)分布和幅相頻率特性ks=0.4 0.6 0.8;om=10;for i=1:3num=om*om;den=1 2*ks(i)*om om*om;nyquist(num,den); axis('square');hold on;end1）諧振頻率 r 和諧振峰值 Mr由圖 5-14 可看出， 值較小時(shí)，隨 0 變化， G( j ) 的幅值 A( ) 先 增加然后再逐漸衰減直至 0。 A( )達(dá)到極大值時(shí)對(duì)應(yīng)的幅值稱(chēng)為諧振峰值，記為M r ，對(duì)應(yīng)的頻率稱(chēng)為諧振頻率，記為 r 。以下推導(dǎo) Mr 、 r 的計(jì)算公式，因 為5-42)對(duì)應(yīng)的振蕩環(huán)節(jié)存在 r 和Mr

10、 ；當(dāng) 減小 時(shí)， r 增加，趨向于 n 值， M r 則越來(lái)越 大，趨向于 ；當(dāng) 0 時(shí)， M r，這對(duì)應(yīng)無(wú)阻尼系統(tǒng)的共振現(xiàn)象。(2) 不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性 不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為>> 圖 5-15 Matalb 程序 ks=0.04:0.01:0.707;for i=1:length(ks)Mr(i)=1/(2*ks(i)*sqrt(1-ks(i)*ks(i) );endplot(ks,Mr,'b-');grid;G(s)s2 2 ns2 n其頻率特性為A( ) (同穩(wěn)定環(huán)節(jié) )G(j )()2360 atc tan不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)的相角從 3

11、60 連續(xù)變化到 180 。不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)的極 點(diǎn)分布與幅相曲線如圖 5-16 所示。( 3)由幅相曲線確定 G(s)例 5-2 由實(shí)驗(yàn)得到某環(huán)節(jié)的幅相特性曲線如圖 5-17 所示，試確定環(huán)節(jié)的 傳遞函數(shù) G(s) ，并確定其 r 、Mr 。解 根據(jù)幅相特性曲線的形狀可以確定 G(s) 的形式K n2G(s) s2 2 n s n2圖 5-16 不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)的極點(diǎn)分布與幅相曲線圖( ) arctan2n5-45)其頻率特性為5-46)將圖中條件 A(0) 2代入式( 5-45)得K 2將 (5) 90 代入式( 5-46)得n 5KA( n) 3代入式( 5-45)有 2K 321G(s)2

12、2 52502 1 2 s 2 5s 5 32s2 3.33s 25由式( 5-43)由式( 5-44)Mr1 1 9 22 1 2 1 1 2 8 21337. 二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為2G(s) T2s2 2 Ts 1 s 2 2 s 1n2 n頻率特性為G( j )j2n22nA( )24222n2( ) arctann2212 n二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的零點(diǎn)分布以及幅相特性曲線如圖5-18 所示。圖 5-18 二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的零點(diǎn)分布及幅相特性不穩(wěn)定二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的頻率特性為2G(j ) 1 n2 j2 n5-49)A( )( ) 360 arctann22242圖

13、5-19 不穩(wěn)定二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的幅相特性2零點(diǎn)分布及幅相特性曲線如圖 5-19 所示圖 5-20 延遲環(huán)節(jié)幅相特性8. 延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為)1)G(s) e s其幅相特性曲線是圓心在原點(diǎn)的單位圓 所示)， 值越大，其相角遲后量越大。5.2.2 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線如果已知開(kāi)環(huán)頻率特性 G(j ) ，可令 由小到大取值，算出 A( )和 ( )相 應(yīng)值，在 G 平面描點(diǎn)繪圖可以得到準(zhǔn)確的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相特性。實(shí)際系統(tǒng)分析過(guò)程中， 往往只需要知道幅相特性的大致圖形即可， 并不需要 繪出準(zhǔn)確曲線?？梢詫㈤_(kāi)環(huán)系統(tǒng)在 s 平面的零極點(diǎn)分布圖畫(huà)出來(lái)，令 s j 沿虛 軸變化，當(dāng) 0

14、時(shí)，分析各零極點(diǎn)指向 s j 的復(fù)向量的變化趨勢(shì)，就可 以概略畫(huà)出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線。 概略繪制的開(kāi)環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開(kāi)環(huán)頻率 特性的三個(gè)重要因素：(1) 開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)(0 )和終點(diǎn)( )。(2) 開(kāi)環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)設(shè)g 時(shí)， G(j ) 的虛部為ImG(j g) 0(5-47)或稱(chēng) g 為相角交界頻率，開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為ReG(j g) G( j g)（3） 開(kāi)環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限、單調(diào)性）例 5-3單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) G（s） 為1T2s1T21 T1 G (s) v K vsv (T1s 1)(T2s 1)sv s 1分別概略繪出當(dāng)系統(tǒng)型別

15、v 0,1, 2 , 3時(shí)的開(kāi)環(huán)幅相特性。解 討論 v 1時(shí)的情形。在 s 平面中畫(huà)出 G（s）的零極點(diǎn)分布圖，如圖 5-21 （ a ）所示。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為G( j )K T1T2(s p1)( s p2)( s p3)K T1T2j ( j T1 )( jT1 )T1T2在 s平面原點(diǎn)存在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的情況下，為避免0時(shí) G（ j ）相角不確定，我們?nèi)?s j j0 作為起點(diǎn)進(jìn)行討論。 （0 到0距離無(wú)限小，如圖 5-21 所示。）s p1 j 0 0 A1 1 0 9011s p2 j 0A2 2 011s p3 j 0A3 3 0T2T2K3G( j0 ) 3 i 901j 1 三個(gè)矢

16、量的幅值連續(xù)增加；Aii1當(dāng) 由 0 逐漸增加時(shí)，i1除 1 90 外， 2 , 3 均由 0 連續(xù)增加，分別趨向于 90s p1 j 0 A1 1 90s p21j A2 2T1 2 290s p3jA3 3T290G(j )3Aii13ii10 270a ) v 1 時(shí) G(s) 的零極點(diǎn)圖b ) 對(duì)應(yīng)不同型別幅頻曲線由此可以概略繪出 G(j )的幅相曲線如圖 5-21( b )中曲線 G1所示。 同理，討論 v 0, 2 , 3時(shí)的情況，可以列出表 5-2，相應(yīng)概略繪出幅相曲線 分別如圖 5-21( b )中G0 ,G2 ,G3所示。圖 5-21 例 5-3 圖表 5-2例 5-3 結(jié)果

17、列表G( j )G(j0 )G(j )零極點(diǎn)分布0G0( j ) K0(jT1 1)( jT2 1)K00 180KG1( j )1 j (jT1 1)( jT2 1)900 270KG2( j )22( j )2( jT1 1)( jT2 1)1800 360KG3( j )33 ( j )3( jT1 1)( jT2 1)2700 450當(dāng)系統(tǒng)在右半 s 平面不存在零、極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 般可寫(xiě)為(n m)G(s) K( 1s 1)( 2s 1) ( ms 1)s (T1s 1)(T2s 1) (Tn s 1)開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn) G(j0 )完全由 K， 確定，而終點(diǎn) G(j )則由 n m來(lái)確定K 00時(shí)G(j0 ) K 0 9000時(shí)時(shí)G( j ) 0 90 (n m)而 0 過(guò)程中 G(j )的變化趨勢(shì)，可以根據(jù)各開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)指向 s j 的矢量之模、相角的變化規(guī)律概略繪出。例 5-4 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)k(1 2s) s2 (0.5s 1)(s 1)試概略繪出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線解 系統(tǒng)型別 v 2 ，零點(diǎn)極點(diǎn)分布圖如圖 5-22（a）所示。顯然（1）起點(diǎn)Gk（ j0