定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

1、第二節(jié) 定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用Application of Definite Integral教學(xué)目的：熟練掌握求解平面圖形的面積方法，并能靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量 ；會(huì)求平行截面面積已知的立體的體積，并能求解旋轉(zhuǎn)體的體積；能夠解決物理應(yīng)用中變力作 功、液體壓力方面的問(wèn)題.內(nèi) 容：定積分幾何應(yīng)用；定積分在物理中的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)：求解平面圖形的面積；求旋轉(zhuǎn)體的體積.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積教學(xué)方法：精講:定積分的幾何應(yīng)用；多練：用定積分求平面圖形的面積和立體的體積教學(xué)內(nèi)容：、定積分的幾何應(yīng)用1. 平面圖形的面積設(shè)函數(shù)y =fi(x), y =f2(x)均在區(qū)間a,b上

2、連續(xù)，且fi(x) _f2(x),xa,b，現(xiàn)計(jì)算由y = f1(x), y = f2(x),x = a,x二b所圍成的平面圖形的面積.分析求解如下：(1) 如圖6-3所示，該圖形對(duì)應(yīng)變量 x的變化區(qū)間為a,b,且所求平面圖形的面積S對(duì)區(qū)間a，b具有可加性.(2) 在區(qū)間a,b內(nèi)任取一小區(qū)間x,x dx，其所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形的面積，可用以dx為底，fi(x) - f2(x)為高的小矩形的面積(圖6-3)中陰影部分的面積)近似代替即面積微元為dS = £(x) - f2(x)dx(3) 所求圖形的面積bs 二.af2(x)-f2(x)dx$ 亦y圖6-3【例1】求曲線y二ex，直線x=

3、0,x=1及y=0所圍成的平面圖形的面積. 解 對(duì)應(yīng)變量x的變化區(qū)間為0,1,在0,1內(nèi)任取一小區(qū)間x,x，dx,其所對(duì)應(yīng)小窄 條的面積用以dx為底，以 f (x) - g(x)二ex -0二ex為高的矩形的面積近似代替，即面積微元dS = exdx于是所求面積S = J exdx = ex 0 = e -1 00【例2】求曲線y=x及y=2-x所圍成的平面圖形的面積.r _ 2解由y=x求出交點(diǎn)坐標(biāo)為(一i,i)和(i,i),積分變量x的變化區(qū)間為_i,i,面 17=2-X積微元dS = f (x) - g(x)dx即dS 二(2 -x2x2)dx= 2(1 x2)dx于是所求面積1 2S

4、二2(1 -x )dx1 2=4 °(1-x2)dx1 2=4 I xxI 3丿08_ 3若平面圖形是由連續(xù)曲線x二(y), x ( y),('-： ( y) _ (y), y二c, y二d所圍成的,其面積應(yīng)如何表達(dá)呢？分析求解如下：(1) 對(duì)應(yīng)變量y的變化區(qū)間為c,d,且所求面積S對(duì)區(qū)間c,d具有可加性.(2) 在y的變化區(qū)間c,d內(nèi)任取一小區(qū)間y,y，dy,其所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形的面積 可用以:(y'- (y)為長(zhǎng)，以 dy為寬的矩形面積近似代替，即面積微元為dS=®(y)-屮(y)dy于是所求面積ds 二， "y)(y)dy2【例3】求曲線x二

5、y ,直線y =x -2所圍成的平面圖形的面積.x = y2解由§解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)和(4,2),則對(duì)應(yīng)變量y的變化區(qū)間為1,2,ly =x-2此時(shí)(yy 2/ (y) =y2,則面積微元dS=W(y)_屮(y)dy=(y 2-y2)dy于是所求面積22S 二 dS 二JJ(y 2-y2)dy-2【例4】求由y =x2及y二x所圍成的平面圖形的面積 解為了確定積分變量的變化范圍，首先求交點(diǎn)的坐標(biāo)12 / 8fy =x由得交點(diǎn)(0,0)，(1,1).y =x方法一選x為積分變量，則對(duì)應(yīng)x的變化區(qū)間為0,1，此時(shí)f (x)二X，g(x)二x2面積微元dS 二f (x) - g(x)

6、dx = (x - x2)dx1 2S 二 0(x -X )dx方法二_選y為積分變量，對(duì)應(yīng)y的變化區(qū)間為0,1,此時(shí)(y)=；勺，(y)二y則面積微元dS= (y) (y)dy =( J - y)dy0C. y -y)dy ，Z2 32 132注:由此例可知，積分變量的選取不是唯一的問(wèn)題的難易程度也會(huì)不同.1 21y16，但在有些問(wèn)題中，積分變量選擇的不同，求解2 2x V【例5】求橢圓-=1的面積.a b解 橢圓關(guān)于x軸，y軸均對(duì)稱，故所求面積為第一象限部分的面積的aS = 40 = 4 ° ydx4倍，即利用橢圓的參數(shù)方程x = a costy =bsi nt應(yīng)用定積分的換元法

7、，dx =-asintdt，且當(dāng)x=0時(shí)，t ，x=a時(shí)，t = 0,于是20S = 4 *bsin t(acost)dt2JI=4ab 2sin2tdtsn.打 1 -cos2t= 4ab 2dt0 2h 1= 4absi n2t42 = - ab02. 空間立體的體積(1)平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)某空間立體垂直于一定軸的各個(gè)截面面積已知，則這個(gè)立體的體積可用微元法求解不失一般性，不妨取定軸為x軸,垂直于x軸的各個(gè)截面面積為關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)S(x),x的變化區(qū)間為a,b.該立體體積 V對(duì)區(qū)間a,b具有可加性取x為積分變量，在a,b內(nèi)任取一小區(qū)間 x,x dx,其所對(duì)應(yīng)的小薄片的體積

8、用底面積為S(x),高為dx的柱體的體積近似代替，即體積微元為dV =S(x)dx于是所求立體的體積bV = S(x)匸a【例6】一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角：，計(jì)算這個(gè)平面截圓柱體所得契形體的體積2 2 2解 取該平面與底面圓的交線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則底面圓的方程為x y = R ,半圓的方程即為 y , R2 一 x2 在x軸的變化區(qū)間-R, R內(nèi)任取一點(diǎn)x,過(guò)x作垂直于x軸的截面，截得一直角三角形， 其底長(zhǎng)為y，高度為y tan ：，故其面積S(x)二1y y ta n2*R2 x2)tan :于是體積Rv 二 s(x)dx：ta n： (R2點(diǎn)2-x2 )d

9、x-tan： R (R2- -R-x2 )dx= -tan： (R2x_-x3)23R-R=2R3 tan：3(2)旋轉(zhuǎn)體的體積類型1：求由連續(xù)曲線y = f (x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)周而成立體的體積過(guò)任意一點(diǎn)xa,b 作垂直于x軸的平面，截面是半徑為f(x)的圓,其面積為 S(x)二: f 2(x),于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積bV = S(x)dxaba：2(x)dx2【例7】求由y二x及x=1,y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體2積分變量x軸的變化區(qū)間為0,1,此處f(x)二x ,則體積1 145 0_?二(x ) dx x dx 二二-0 0【例

10、8】連接坐標(biāo)原點(diǎn) O及點(diǎn)P(h,r)的直線,直線x = h及x軸圍成一個(gè)直角三角形 求將它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐體的體積r解 積分變量x的變化區(qū)間為0, h,此處y = f (x)為直線OP的方程y x汙是體hhx2dxx2dxr2h 二 r2h03類型2：求由連續(xù)曲線x =( y),直線y二c,y = d及y軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸旋轉(zhuǎn) 一周而成的立體的體積 (c ： d).過(guò)任意一點(diǎn)yc,d,作垂直于y軸的平面,截面是半徑為:(y)的圓,其面積為2S(y)=y用(y),于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積ddV = S(y)dy(y)dy c c3【例9】求由y=x ,y=8及y軸所圍成的曲邊梯形繞y

11、軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解 積分變量y的變化區(qū)間為0,8，此處x =(y)二3 y 于是體積V= / (3y)dy8 2=:0 y3dy8 960 ：52 2x x y x的變化區(qū)間為-a,a,此處【例io】求橢圓 兀=1分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成橢球體的體積 a b解若橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)，積分變量=f (x) = b Ja2 _x2 ,于是體積aVxaJI-a(bJa2 -x2a2dxb2ji2ab2a(a2 _x2)dx -a于是若橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)，積分變量y的變化區(qū)間為_b,b，此處x =汐(y) = a .一 y2 b *體積Vy才2dyb 22b(b - y )dy _b2a=b2 二2

12、a亠a2b3二、定積分在物理中的應(yīng)用1.變力所做的功如果一個(gè)物體在恒力 F的作用下，沿力F的方向移動(dòng)距離s,則力F對(duì)物體所做的功是 W =F S.如果一個(gè)物體在變力 F (x)的作用下作直線運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)其沿Ox軸運(yùn)動(dòng),那么當(dāng)物體由 Ox軸上的點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，變力F(x)對(duì)物體所做的功是多少 ？我們?nèi)圆捎梦⒃ǎ龅墓?W對(duì)區(qū)間a,b具有可加性.設(shè)變力F(x)是連續(xù)變化的，分 割區(qū)間a，b，任取一小區(qū)間x, x dx，由F(x)的連續(xù)性，物體在dx這一小段路徑上移動(dòng)時(shí)， F(x)的變化很小，可近似看作不變的，則變力F(x)在小段路徑上所做的功可近似看作恒力 做功問(wèn)題，于是得到功的微元為dW

13、= F(x)dx將微元從a到b積分,得到整個(gè)區(qū)間上力所做的功bW= F(x)dx*a '*【例11】將彈簧一段固定，令一段連一個(gè)小球，放在光滑面上，點(diǎn)O為小球的平衡位置若 將小球從點(diǎn)0拉到點(diǎn)M(OM =s)，求克服彈性力所做的功.解由物理學(xué)知道，彈性力的大小和彈簧伸長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度成正比，方向指向平衡位置0,即F = kx其中k是比例常數(shù).若把小球從點(diǎn) 0 (x = 0)拉到點(diǎn)M (x二s)，克服彈性力F ,所用力f的大小與F相等, 但方向相反，即f = kx,它隨小球位置x的變化而變化.在x的變化區(qū)間0,s上任取一小段x,x，dx,則力f所做的功的微元dW = kxdx于是功fsk 2

14、W kxdx s02【例12】某空氣壓縮機(jī)，其活塞的面積為 S,在等溫壓縮的過(guò)程中，活塞由X1處壓縮到X2 處，求壓縮機(jī)在這段壓縮過(guò)程中所消耗的功解 由物理學(xué)知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)P與體積V的乘積為常數(shù)k,即pV = k由已知，體積V是活塞面積S與任一點(diǎn)位置 x的乘積，即V =Sx,因此于是氣體作用于活塞上的力F = pS 匕 S = kSx xk活塞作用力f二-F二-x，則力f所做的功的微元于是所求功kdW dxx二 Tdxx x?2 =kl nX25米，底圓半徑為3米桶內(nèi)盛滿了水.試問(wèn)要把桶內(nèi)的水【例13】一圓柱形的貯水桶高為 全部吸出需做多少功.解 取深度x為積分變量，則所

15、求功 W對(duì)區(qū)間0,5具有可加性應(yīng)用微元法，在0,5上 任取一小區(qū)間x，x dx，則所對(duì)應(yīng)的小薄層的質(zhì)量二二于dx二9ddx.將這一薄層水吸出桶外時(shí)，需提升的距離近似為X，因此需做功的近似值，即功的微元為dW = x 9Ydx = 9 - xdx于是所求功69800二：3.46 10 J225將 t =9.8 103N/m3,得W一22液體壓力現(xiàn)有面積為S的平板，水平置于密度為 ?,深度為h的液體中，則平板一側(cè)所受的壓力F =pS =h'S(p為水深為h處的壓強(qiáng)值)若將平板垂直放于該液體中，對(duì)應(yīng)不同的液體深度，壓強(qiáng)值也不同，那么平板所受壓力應(yīng) 如何求解呢？設(shè)平板邊緣曲線方程為y = f

16、(x)，( a豈x乞b)，則所求壓力F對(duì)區(qū)間具有可加性，現(xiàn)用微元法來(lái)求解.x，x dx，其對(duì)應(yīng)的小橫條上各點(diǎn)液面深度均近似看成x，且f (x)、寬為dx的小矩形所受的壓力，即壓力微元為dF 二;?x f(x)dx在a,b上任取一小區(qū)間 液體對(duì)它的壓力近似看成長(zhǎng)為bF =-x f (x)dx a1米，高為2米的圓柱形貯水桶，里面盛滿水求水對(duì)桶壁的壓力于是所求壓力【例14】有一底面半徑為解 積分變量x的變化區(qū)間為0,2,在其上任取一小區(qū)間x,x dx，高為dx的小圓柱 面所受壓力的近似值，即壓力微元為dF = Px 2兀 1dx =2兀Pxdx于是所求壓力為2f 2兀Pxdx = 2r：P0將=9.8 103N /m3代入34F =4'9.8 10 =3.92二 10 N【例15】有一半徑R=3米的圓形溢水洞，試求水位為3米時(shí)作用在閘板上的壓力.解 如果水位為3米,積分變量x的變化區(qū)間為0, R,在其上任取一小區(qū)間x,xdx, 所對(duì)應(yīng)的小窄條上所受壓力近似值，即壓力微元dW = Px 2ydx=x 2 R2 -x2dx=2x , R2 - x2dx于是所求壓力FTdx-x2d(R2 -x2)= 2PJ