完全平方公式解

1、完全平方公式講解第一部分概念導(dǎo)入1 問(wèn)題：根據(jù)乘方的定義，我們知道：a2=a a,那么(a+b) 2應(yīng)該寫成什么樣的形式呢？ (a+b) 2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律？計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？2 2(1)( p+1) =( p+1)( P+1) =；( m+2) =；(2) ( p-1)2= ( p-1) ( p-1) =；( m-2) 2=；2 學(xué)生計(jì)算2 23 得到結(jié)果：(1) (p+1)= (p+1) ( p+1) =p +2p+122(m+2)= (m+2) (m+2) = m +4m+422(2) (p-1)= (p-1) (p-1) = p -2p+122(m-2)= ( m-2

2、) ( m-2=m -4m+44分析推廣：結(jié)果中有兩個(gè)數(shù)的平方和，而2p=2 p 1, 4m=2- m- 2，恰好是兩個(gè)數(shù)乘積的二倍。(1) ( 2)之間只差一個(gè)符號(hào)。推廣：計(jì)算(a+b) 2=(a-b) 2=【2】得到公式，分析公式(1)結(jié)論：(a+b) =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 即：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.(2 )公式特征左邊：二項(xiàng)式的平方右邊：二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方與這兩項(xiàng)乘積2倍的和.注意：公式右邊2ab的符號(hào)取決于左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的符號(hào).若這兩項(xiàng)同號(hào)，則2ab取“ + ”，若這兩項(xiàng)異號(hào)，則2ab的符號(hào)為“” (3)公

3、式中字母可代表的含義公式中的a和b可代表一個(gè)字母，一個(gè)數(shù)字及單項(xiàng)式.(4 )幾何解釋0 a>d&Labb1LLia2ab圖1 5圖1 5中最大正方形的面積可用兩種形式表示：©(a + b) 2 a2 + 2ab+ b2,由于這兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊面積，所以應(yīng)相等，即(a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用幾何圖形證明了完全平方公式的正確性.【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】例1 計(jì)算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn n2) 2點(diǎn)撥：運(yùn)用完全平方式的時(shí)候，要搞清楚公式中a，b在題目中分別代表什么，在展開(kāi)的過(guò)程中要把它們當(dāng)作整體來(lái)做，適當(dāng)?shù)牡胤綉?yīng)打括號(hào)，如：進(jìn)行平方的

4、時(shí)候.同時(shí)應(yīng)注意公式中2ab的符號(hào).解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 ( 3a) (2b) + ( 2b) 2= 9a2 + 12ab + 4b2(2)( mti i?z)ab=(nt*?)1f2( mti) *+W 瀘ff-2 血 +注意：(2)中n2的指數(shù)2與公式中b2的二次方所代表含義不同， 所以在展開(kāi)過(guò)程中不要漏掉 “二次方”. 例2 計(jì)算(1) (- m- n) 2(2) (- 5a 2) ( 5a+ 2)點(diǎn)撥：(1)可直接用完全平方公式由于一m與一n是同號(hào)，所以公式中的 2ab取“ + ” .( 2)中兩個(gè)二項(xiàng)式雖然不同，但若將第一個(gè)括號(hào)中的“一”提出，則剩

5、下的兩個(gè)括號(hào)里的項(xiàng)完全相同，可利用完全平 方公式進(jìn)行計(jì)算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 ( m) (- n) + ( n) 22 2=m + 2mn+ n(2) (- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小結(jié)：由(2)可知，將兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)括號(hào)里的每一項(xiàng)都相反的話，可先作適當(dāng)調(diào)整，再利用 完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.例3 計(jì)算(1) (x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)點(diǎn)撥：(1)可分別應(yīng)用平方差公式

6、與完全平方公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，再化簡(jiǎn).(2)可先利用平方差公式將m-n與m + n相乘，再將所得結(jié)果 m2- n2與中間括號(hào)里的 m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2-4xy+)-(x2-y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2 + y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m2- n2)=(m2- n2) (m2 - n2)=(m2) 2 - 2 m2 n2+( n2) 2=m4- 212+ n4說(shuō)明：這兩題在能用公式的地方盡量用公式，是因?yàn)閼?yīng)用公式可以

7、簡(jiǎn)化運(yùn)算，若想不到，用多乘多也 可.例 4計(jì)算：(x+ 乂 ) 2-(x-上)22 2a2- b2=點(diǎn)撥：第一種方法是利用完全平方公式直接展開(kāi)，第二種方法是可利用平方差公式逆運(yùn)算: (a + b) (a- b),將此題轉(zhuǎn)化為平方差公式進(jìn)行計(jì)算.2=x2+ xy+2x2 + xy-解法一：(x+ ) 2( x ) 22222=(x2+ xy +)(x2 xy+-)44228 / 9=2xy解法二:t*d 護(hù)=(u+ G (a= ?< 工+ g) + < 工一寸)L( -i'+ 于't. a b)= Z；rvV例 5計(jì)算：(a 2b + 1) ( a+ 2b 1)點(diǎn)撥：

8、此題“三項(xiàng)式乘三項(xiàng)式”，且這兩個(gè)括號(hào)中的三項(xiàng)只有符號(hào)不同先找出兩個(gè)括號(hào)中完全相同的 項(xiàng)放在一起，再把互為相反數(shù)的項(xiàng)放在一起， 構(gòu)成(a + b) ( a b)的形式，利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算.相反I I (a2b+l) (a+26-l)廣=-(2&-1)2=a2_4A24-4ijl)關(guān)鍵：此題最重要一步就是由到的過(guò)程轉(zhuǎn)化，要保證代數(shù)式在形式發(fā)生變化的同時(shí)，大小不變! 隨堂練習(xí)一、選擇題1下列運(yùn)算中，正確的是()A. 3a+2b=5ab B . (a 1) 2=a2 2a+1C. a6韋=a2D. ( a4) 5=a92下列運(yùn)算中，利用完全平方公式計(jì)算正確的是()2 2 2 2 2 2

9、A. (x+y) =x +yB . ( x y) =x yC. (- x+y) 2=x2- 2xy+y2D . (- x-y) 2=x2- 2xy+y23. 下列各式計(jì)算結(jié)果為 2xy - x2-y2的是()2 2 2A. (x- y) 2 B . (- x-y)C.-( x+y)D.-( x-y)4. 若等式(x 4) 2=x2 8x+m 2成立，則m的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或4二、填空題25. ( x 2y)=.226. 若(3x+4y) 2= (3x - 4y) 2+B，貝U B=.2 27. 若 a b=3, ab=2，則 a +b =.1 2 9 2

10、2 9 2& (y) =-x xy+; () = a - 6ab+.3416三、解答題9 .利用完全平方公式計(jì)算：(1) 20082；( 2) 782 .110 .先化簡(jiǎn)，再求值：(2x- 1) (x+2)-( x-2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式計(jì)算：196212.某正方形邊長(zhǎng)a cm,若把這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)減小3 cm,則面積減少了多少？13.已知 x+y=1 ,求 1 x2+xy+ 1 y2 的值.2 211114.已知a+ =5,分別求a2+ 2 , (a-) 2的值aaa15.為了擴(kuò)大綠化面積，若將一個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)增加3米，？則它的面積就增加 39平方

11、米，求這個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng).216.小明在計(jì)算時(shí)，找不到計(jì)算器，去向小華借，小華看了看題說(shuō)根本200920082 22009200720092009 -2不需要用計(jì)算器，而且很快說(shuō)岀了答案你知道他是怎么做的嗎?17.已知：a + b= 5，ab = 6，求 a2+ b2.18利用公式計(jì)算：992 119.計(jì)算(1)(ab1)(ab 1) ；(2)(2x -3)(2x - 3)；(3) 1022 ;( 4) 99 2 .(5)(a b 1)(a b -1) ； (6)(m-2n p)2.20. 一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加 3cm,它的面積就增加39cm這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少 ？21.當(dāng) a =1,b

12、=1 時(shí)，求(3a 2b)(3a-2b) -(a -2b)2 的值22.求證：當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（2n 1）2 -（2n -1）2是8的倍數(shù)23. 觀察下列等式：12 02 = 1 , 22 12 = 3, 32 22 = 5 , 42 -3 7 , 請(qǐng)用含自然數(shù)n的等式表示這種規(guī)律為： .24. 已知4x2 -Mxy - 9y2是一個(gè)完全平方式，求m的值.25.2005年12月1日是星期四，請(qǐng)問(wèn)：再過(guò) 2005 2天的后一天是星期幾？ 答案1. B2. C 點(diǎn)撥：(x+y)2=x2+2xy+y2,所以 A不正確；(x y2=x22xy+y2,所以 B不正確；(x+y)2=(

13、x)2+2( x)y+y2 =x22xy+y2，所以C正確；(x y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正確，故選 C.3. D4. D 點(diǎn)撥：因?yàn)?x 4) 2=2 8x+16，所以若(x 4) 2=x2 8x+m2成立，則m2=16，從而得m=±4,故選D.、5. x2+4xy+4y2 點(diǎn)撥：(x 2y) 2= (x+2y) 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 點(diǎn)撥：B= (3x+4y) 2( 3x 4y) 2=9x2+24xy+16y2( 9x2 24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y2 92 +24xy 16

14、y2=48xy .7. 13 點(diǎn)撥：因?yàn)?a b=3, ab=2,所以 a2+b2= (a b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3138. x;y2;a 4b; 16b22 94三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2) 782= ( 80 2) 2=802 2X80X2+22=6400 320+4=6084.10. 解：(2x 1) (x+2 ) ( x 2 ) 2 ( x+2) 2=2x2+4x x 2( x2 4x+4 ) ( x2+4x+4 )=2x 2+

15、3x 2 x2+4x 4 x2 4x 4=3x 10 .11當(dāng) x= 時(shí)，原式=3X( _) 10= 1 10= 11.3 311思路：196接近整數(shù)200,故196= 200 4,則此題可化為(200 4) 2,利用完全平方公式計(jì)算.解：1962=(200- 4) 2=2002 2X 200 X4 + 42=40000 1600+ 16 = 38416 說(shuō)明：1 .可轉(zhuǎn)化為完全平方的形式的數(shù)必須較接近一個(gè)整數(shù)才較易進(jìn)行計(jì)算.12. 思路：先分別表示出新舊正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)“正方形面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)”，表示出兩個(gè)正方形的面積，用“大-小”即可得出所求.計(jì)算的關(guān)鍵在完全平方式的展開(kāi).解：原正方形

16、面積：a2現(xiàn)正方形面積：(a 3) 2面積減少了 a2( a 3) 2 = a2( a2 6a + 9)= a2 a2 + 6a 9=( 6a 9) (cm2) 答：面積減少了( 6a 9) cm2.13. 解：因?yàn)?x+y=1，所以(x+y) 2=1，即 x2+2xy+y2=1.11111所以一x2+xy+ y2= (x2+2xy+y2) = X=.22222點(diǎn)撥：通過(guò)平方將已知條件轉(zhuǎn)化為完全平方公式，從而巧妙求值.14.因?yàn)?a+=5，所以 a2+A = (a+ 1 ) 2 2a=52 2=23,a a a所以(a丄)2=a2+112 2 a -=23 2=21.aa點(diǎn)撥：注意公式的一些變

17、形形式，例如：a2+b2=(a+b)2 2ab,a2+b2=( a- b)2+2ab，(a+b)2=( a b)2+4ab，( a b)2=(a+b) 2 4ab 等等.15.解：設(shè)這個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)為x米，依題意列方程得(x+3 ) 2 x2=39，即 x2+6x+9 x2=39， 6x=30， x=5 .答：這個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)為 5米.點(diǎn)撥：適當(dāng)引進(jìn)未知數(shù)，？根據(jù)題中的相等關(guān)系得到方程，解方程即可.16.解：知道，做法如下：20092008220092008200920072200920092 (20092008-1)2(20092008 1)2 -22009200822 220092

18、008 -2 20092008 1 200920082 20092008 1 - 22009200812 200920082 2點(diǎn)撥：由 200920072= (20092008 1) 2, 200920092= ( 20092008+1) 2，運(yùn)用完全平方公式化簡(jiǎn)即可.17. 點(diǎn)撥：同時(shí)存在a + b, ab, a2+ b2的公式為完全平方公式(a + b) 2 = a2 +2ab+ b2,將題目中所給條件分別看作整體，代入公 式即可.注意：1.不要分別求出 a和b,運(yùn)算繁瑣.n.若已知a +b (或a b), ab, a2+ b中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a2+ b2 =

19、( a + b) 2 2ab當(dāng) a+ b = 5, ab= 6 時(shí)原式=(5) 2 2 X( 6)= 25+ 12 = 37.18. 點(diǎn)撥：可分別用完全平方公式或平方差公式兩種方法得到相同的答案.19. 【點(diǎn)撥】(1)符合平方差公式的特征，只要將 ab看成是a, 1看成是b來(lái)計(jì)算.(2) 利用加法交換律將原式變形為(一3 - 2x)( -3 - 2x),然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算.2 2(3) 可將102改寫為(100 - 2),利用兩數(shù)和的平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.2 2(4) 可將99 改寫為利用兩數(shù)差的平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算 .解：(1) (ab1)(ab 1) = (ab)2 -1 二 a2b2

20、 -1 ；(2) (-2x -3)(2x-3)= (-3 2x)(-3 -2x) = (3)2 -(2x)2 =9-4x2 ；(3) 1022= (100 2)2=1002 2 100 2 22 = 10000 400 4 =10404 ；2 2 2(4) 99 =(100-1)=100 -2 100 11 =10000 -2001 = 9801.【點(diǎn)撥】(5,6 )兩個(gè)因式中都含有三項(xiàng)，把三項(xiàng)看成是兩項(xiàng)，符號(hào)相同的看作是一項(xiàng)，符號(hào)相反的看作是一項(xiàng)，運(yùn)用公式計(jì)算，本題可將(a b)看作是一項(xiàng).先將三項(xiàng)看成是兩項(xiàng)，用完全平方公式，然后再用完全平方公式計(jì)算解: (5) (a b 1)(a b -1

21、) = (a b) 1( a b)1 = (a b)21 二 a2 2ab b21 ；(6) (m - 2n p)2=(m -2n)p2 = (m - 2n)2 2 (m - 2n) p p22 2 2=m -4mn 4n 2mp - 4np p .【點(diǎn)評(píng)】1.在運(yùn)用平方差公式時(shí)，應(yīng)分清兩個(gè)因式中是不是有一項(xiàng)完全相同 ，有一項(xiàng)互為相反數(shù)，這樣才可以用平方差公式， 否則不能用；2.完全平方公式就是求一個(gè)二項(xiàng)式的平方，其結(jié)果是一個(gè)完全平方式，兩數(shù)和或差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方2 2 2 2 2 2和，加上或減去這兩個(gè)數(shù)乘積的 2倍，在計(jì)算時(shí)不要發(fā)生：(a b) b 或(a-b) =a -b這樣的錯(cuò)誤;3.當(dāng)因式中含有三項(xiàng)或三項(xiàng)以上時(shí)，要適當(dāng)?shù)姆纸M,看成是兩項(xiàng)，用平方差公式或完全平方公式.20. 【點(diǎn)撥】如果設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為 xcm,根據(jù)題意和正方形的面積公式可列出方程求解 .解：設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則(X 3) = x239即 x2 6x 9=x239，解得 x=5.答：這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是5cm.21. 【點(diǎn)撥】先用乘法公式計(jì)算，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)后，再將 a、b的值代入計(jì)算出結(jié)果.解：(3a 2b)(3