圓錐曲線求參數(shù)范圍(精)

1、2011高三理科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5專題八 圓錐曲線求參數(shù)范圍專題 一、如何建立不等關(guān)系？(求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是建立不等關(guān)系) 1、利用圓錐曲線的定義。如離心率的范圍。2 22、利用點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)(外)的充要條件。如 點(diǎn)(x0,y0)在橢圓篤+篤=1內(nèi) a b2 2可列式為+終0,c=7m，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X0,y0),由FF1丄PF2，得：一y0-X0 C旦一1X0 +c化簡(jiǎn)得:2x。2 +y02 =m （1），將（1）與X?+y02 =1 聯(lián)立，解得 X02m十12 .m 12=,y0m由 m 0,2X020,得m1.所以m的取值范圍是 m31.m同型練習(xí)2 2雙曲線 篤_與=1（a ；1,b 0

2、）焦點(diǎn)距為2c,直線a bI過點(diǎn)（a,0）和（0,b）,且點(diǎn)（1, 0）和(-1,0)e的取值范圍。4直線I的距離之和s c，求雙曲線的離心率5解：直線I的方程為_x =即bx+ay-ab= 0,點(diǎn)（1, a b 直線 丨 的距離d2 = a十1）,S =d1 +d2 =.fa7a5ajc2 _a2 2（2 于是得 sje? 1 2e2，得：蘭e2 - c,得52ab 2ab2ab(-1,0）4c -5c,由于e：10,所以e的取值范圍 逅蘭e蘭75.25一一一，求點(diǎn)P的作標(biāo)；4A、B,且/ ADB為銳角（其中0為作標(biāo)原點(diǎn)），PF1卩F2 =(-73-x,-y)疋-x,-y) = x2+y2一

3、35，又2X丄2. y =1，4x2 +y2 =?jx2 =124，解得016k2 3(1+4k2) 0 , 4k2 -3a0 ,得 k2 a- T r T T4又 NAOB為銳角 u cosNAOB 0u OA OB0, - OA OB = x-ix2 y-i0又 y1y(kx2)(kx 01+4k1 +4k1 +4k1 ck2 4 綜可知3 0,依題意：*2k 二 0解得-2vkv-72.k2 2,2c 0,k -23、利用點(diǎn)在曲線內(nèi)的充要條件列不等關(guān)系例3、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形(記為 Q).(I)求橢圓C的

4、方程；(n)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)，過點(diǎn) P的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段 MN的中點(diǎn)落在正方形 Q內(nèi)(包括邊界)時(shí)，求直線 l的斜率的取值范圍。解：(I)依題意，設(shè)橢圓2 2 C的方程為 篤+ y2=1(a bA0),焦距為2c，a 由題設(shè)條件知,2a =8,b =c,X = -4,所以點(diǎn)2 1 2所以 b2 -a2 =4.2P的坐標(biāo)（VQ），2 2X y故橢圓C的方程為一+丄=184(n)橢圓c的左準(zhǔn)線方程為顯然直線I的斜率k存在，所以直線I的方程為y =k(x +4)。 如圖，設(shè)點(diǎn) M , N的坐標(biāo)分別為(Xj %),( X2, 丫2),線段MNy =k(x+4),

5、中點(diǎn)為G(X0,y0)，由0-k 一2 2a-rA.0町三 z解得因?yàn)閄i,X2是方程的兩根，所以,_16k2X1 X2_1+2k2，2N +x28k21 +2k28k2x0 = 蘭0 ,所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊,1 +2k2又直線F1B2, F1B1方程分別為y =x+2,y =-x-2,所以點(diǎn)G在正方形Q內(nèi)(包括邊界)的充要條件為于是因?yàn)閄22011高三理科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)卩0 Xo +2,M 譏-2.壬 8k2/(1 +2k2 一1 42k2,故直線I斜率的取值范圍是-遲已亦即!2k2 +2k 一1 -0,解得VLzl k ,此時(shí)也成立.2k -2k -10.22屁1.2 2同型練習(xí)2 2

6、已知橢圓C:=1上存在關(guān)于直線I : y = 2x + m對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求 m的取值范圍。94解(利用點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)的充要條件)設(shè) A(x1，y1), B(x2，y2)為橢圓上關(guān)于直線I : y=2x + m對(duì)稱 的點(diǎn)，AB 的中點(diǎn) M (X, y)，則 4x1 + 9y2 =36(1)2 24x2 +9y2 =36y2 -y11=Xi +X2xx12% +y2yy = 2x + m (2) - (1)并整理得 y2 y1 _4(X1 +X2)X2X19(y1 +y2)9m由(5)、得M點(diǎn)得坐標(biāo)為(-將(3)、(4)代入(6)得 9y =8x4m)。因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)，105所以丄(如)2 +!

7、(如)2吒1，解得m的取值范圍-2mv2910454. 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域例4、(雙參數(shù)且已知其中 一個(gè)參數(shù)的范圍)給定拋物線C:y2 =4x,F是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線I與C相交于A,B兩點(diǎn).若FB = )AF,若Z4,9,求I在y軸上截得m的范圍。解：(略解)設(shè)直線I方程為：y =k(x-1)= m=-k, ._fx 2 _1=A(1_X1)由FB=AAF得(X2 T,y2)=H1-X1,y1)= ,172=%由2 =-*=y1y2=_f(ll_ ) 2,由韋達(dá)定理代入整理 得： 卜1丫2 =-矽11-Ak2 =4引？,16.所求 m =斗可4,U，4.、+116 9344 3托一一2同型

8、練習(xí)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(-3,0 )，條漸近線的方程是 J5x 2y = 0 .(I)求雙曲線C的方程；(n)若以k(k工0 )為斜率的直線I與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) M, N,且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 巴，求k的取值范圍.22 2(aAO,bAO )由題設(shè)得(I)解：設(shè)雙曲線C的方程為篤-爲(wèi)=1a b0 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段將式代入式,(kx+m)22 22=1，整理得(5-4k )x -8kmx-4m -20=0 52 2 2 25-4k 工0,且也=(8km) +4 (5-4k )(4 m + 20) 0 MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(X0,

9、y0)滿足7X1 + X24km此直線與X軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(5-4k由題設(shè)可得igi .1工 L8! 整理得m22 5-4k5-4k22 2將上式代入式得(54k)+ 5 -4k2 A0，整理得|k|455解得 0 Wk|vd 或 |k|2 24y。=kX0 +m =5： 2 5 -4k從而線段MN的垂直平分線方程為 y - 5m =-1( 4km2) 5-4k2 k 5-4k29km c9m 、2,0)，(0，) = ，20 |k| (4k2-5)(4k2-|k|-5)0 , kHO .所以k的取值范圍是(亠,5)U(丫5,。)42245、利用雙參數(shù)的混合關(guān)系式列等量與不等量關(guān)系例5

10、 (雙參數(shù)且沒有已知其中一個(gè)參數(shù)的范圍)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線X2-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離和為定值，且COSNF1PF2的最小值 為-丄.3(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)M (0, -1)，若斜率為k(kHO)的直線I與P的軌跡交于不同的兩點(diǎn) A、B，試求k的 取值范圍，使|ma| =|mb|。2011高三理科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)0 得 m2 3k2 +1 _ m +3k2 +1-3 kmV6mkXM +XN-3mk,=2, y p = kx p + m3k于是：ym =k(X1 1)(X2-1)“ r +12由 MN 丄 AP 得：m+3k +13km=_!,變形后，得2m=3k2+1k

11、由、可得:-1k1.同型練習(xí)22設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為 數(shù) A(0 V幾 1)，使得 d1d2sin20 =幾.(1) 證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出(2) 過點(diǎn)B作直線雙曲線 C的右支于 omOn = 0，其中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn).解法一：(1)在PAB中，AB =2，即=J4 -4卯2 sin2 日二 2j1 - A c 2 (常數(shù))，2-1.A2 24=(d1-d2)+4d1d2Sin 0，即 d1 -d2 2點(diǎn)P的軌跡C是以A, B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a =2嚴(yán)的雙曲線方程為：1-入(2)設(shè) M (X1, y1), N(x2, y2) 當(dāng)MN垂直于X軸時(shí)，MN

12、的方程為x=1 , M (1,1) , N(1,-1)在雙曲線上.1丄=1 = A2 + A 1 = 0= 入=1 ，因?yàn)?0 吒 ，所以 A= 11-A A22 當(dāng)MN不垂直于X軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k(x-1).X2y2由 1 幾1 扎(1 - k) 扎2 +扎-1I 1 0需-1由知，亠1，所以(i一1，又 0 A ci，=AXo 2(1 A ) Xo + (1 _ A ).解得:2 -3a響! 由知寫比值”有關(guān)的求范圍問題已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x交橢圓C于A、B兩點(diǎn),(i22-3a軸上，一條經(jīng)過點(diǎn)（3,5）且方向向量為v=（2,J5）的直線lx軸于M點(diǎn)，又AM =2MB.（

13、1）求直線I方程； 解：（1）直線所以（2）求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍。i V = （-2，亦）45（X 1）。2（2）設(shè)直線I過點(diǎn)（3,J5）且方向向量為V 、I的方程為口 = y r5，化簡(jiǎn)為：y =22 2二+!_ T交于兩點(diǎn) a b2V5y =(X1)和橢圓2由 AM =2MB 知 yr =-2y2.將A(Xi , yi), B(X2, y2)，和 x 軸交于 M (1, 0),. - 2十1代入務(wù)+計(jì)1 得:+a2)/ 4b2y+b2(1a2) =0；5由韋達(dá)定理知：yi +y2=T 2 ，由2 -知：32b2= (4b2 +5a2)(a2 -1)，化為:上 b2 +a 255a2(a2

14、-D 4b2 =由方程的 A =( 4 b2)2 _4(4b2 +a2) b2 (l a2) ao化簡(jiǎn)得:V552 2由代入可得：5a5a (a 71U5，求得1 b2,. 4b2 v4a2 即 5a (a 2 14a2，又可得：i9 -a9-a25a2 +4b2 5a 回，故 20,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|則a b雙曲線離心率的取值范圍為BA.(1,3)B.(1,3】C.(3,+比)2. 已知點(diǎn)P在拋物線y = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q (2,1)之和取得最小值時(shí)，1A. ( -， 1) B.42 23. 若雙曲線J-七a D.3,母)的距離與點(diǎn)P

15、到拋物線焦點(diǎn)距離點(diǎn)P的坐標(biāo)為(A ) (1 , 1)4C. (1, 2)D.(1, 2)3. 若雙曲線x7-七=1 (a 0,b 0)上橫坐標(biāo)為一的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距-2b22離，則雙曲線離心率的取值范圍是(B )A.(1,2)B.(2,+處)C.(1,5 d(5,+比)4. 已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足MF1MF2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是C14272A (0,1) B (0,3 C (022)D 7,1)5.已知點(diǎn)P是拋物線y2 =2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0, 2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn) 線的距離之和的最小值為(A )A .亟2B. 36

16、.設(shè) a 1 ,2冷的離心率e的取值范圍是(B)x2則雙曲線一-aB. “,75)C. (2,5)NABC =120*，則以 A,D. (2,75)B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為A .(矩2)7. 設(shè) ABC是等腰三角形，(B )A 1 +血A .228. 雙曲線一-篤=1a b則雙曲線離心率的取值范圍為 BA. (1, 3)B. (1, 3)C. (3, +2 29. 雙曲線 罕-爲(wèi)=1(a 0,b 0)的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，貝U雙a2b曲線離心率的取值范圍是(C )A . (1J2B . h/2)10. 已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的取值范圍是CB.呼

17、 C . 1W D .(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PE2I,D. 3，+xC.(1,721D.后1嚴(yán))MF1 MF2 =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率A. (0,1)B. (0iD.孕)2 2x V11.已知橢圓 一+與=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為a bc-，則該橢圓的離心率的取值范圍為sin PF2F,.解法1,PF2F1(c,0), F2(c,0)，若橢圓上存在一點(diǎn)P使PF1因?yàn)樵趇pF1F2中，由正弦定理得sinPRF? sin PF2R則由已知，得，即aPR =cPF2PF2PF1設(shè)點(diǎn)(x0, V0)由焦點(diǎn)半徑公式，得 PF1 =a

18、+ex0,PF2 =a-ex0則 a(a + ex0)= c(a-ex0)記得x0 = a(ca) =由橢圓的幾何性質(zhì)知 x0-a則玄心1)-a，整理得e(c-a) e(e+1)e(e + 1)e2+2e-10,解得 e1 或 eb0)的右焦點(diǎn)F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為 A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段a bAP的垂直平分線過點(diǎn) F，則橢圓離心率的取值范圍是馭丿解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn) P,使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F ,2b2b2即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|= -c = 一，|PF| a c,a + c,于是 一 a c,a + cc2 22 I ac c即 ac c2b2ac +

19、 c2,. 22a -c,2 2 a -c2 = ac + cc廠-1aIE-2又 e (0,1),故 e 占1,1丿2Y13.已知橢圓c: + y2 =1的兩焦點(diǎn)為F1, F2，點(diǎn)P(xo,yo)滿足2_，直線x0x + y0y =1與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2【答案】2血)0【解析】依題意知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部.畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得, 當(dāng)P在橢圓頂點(diǎn)處時(shí)，取到(| PF1 IF P F2 l)max為20 c今+ y2 0),滿足a ba血蘭e蘭逅.2 22+ y2 =1的左焦點(diǎn)為F,20、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線 F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于(血_1)十(血+1) =2邁2,2血).因?yàn)?x0，y

20、0)在橢圓15、已知橢圓+丄=1,73 a J5,則橢圓的離心率的變化bO為坐標(biāo)原點(diǎn)。I相切的圓的方程；A、B兩點(diǎn)，線段(I)求過點(diǎn)(n)設(shè)過點(diǎn)AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.解：(I) , a2 =2,b2 =1門 c =1,F(1,0), l :x = 2.1T圓過點(diǎn)0、F, 圓心M在直線X =上。2 r = (2)(2)f2 2設(shè)M (丄譏),則圓半徑2由 0M| =r,得 J(-1)2 +t2 =3,解得 t =所求圓的方程為(x + i)2 +(yJ2)2=2.24(II)設(shè)直線AB的方程為y =k(x+1)(k H0),2代入 L + y2 =1,整理得(1

21、+ 2k2)x2 +4k2x + 2k2-2=0.2丁直線AB過橢圓的左焦點(diǎn) F,二方程有兩個(gè)不等實(shí)根。范圍是32x記 A(x1, yj, B(x2, y2), AB 中點(diǎn) N(xo, y。)，則人 +x2 =4k22k2 +1求橢圓的Vr解法一：(I )設(shè)M , N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn),因?yàn)镸NF為正三角形,所以O(shè)FMN ,即1 =,解得 b=/3.2 .2 .a =b +1=4,因此,2x橢圓方程為一 +421.3.AB的垂直平分線 NG的方程為y-y0(x-X0).令y = 0,得k,2k1 2k2k2Xg = X0+ky 0= 2中 2= 2G 02k2+12k2+12k2+1I1-k

22、 H0,. x b0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F (1, 0), O為坐 a b標(biāo)原點(diǎn).(I)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形， 方程；(n)設(shè)過點(diǎn)F的直線I交橢圓于A、B兩點(diǎn)若直線I繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng),2 2 2值有QA +|OB| YAB ,求a的取值范圍.(n)設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2).(i )當(dāng)直線AB與X軸重合時(shí),2OA +OB=2a , AB2= 4a2(aS1),2因此，恒有OA + OB AB .(ii )當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí),2 2x y設(shè)直線 AB的方程為：x=my + 1,代入 =1,a b整理得(ab2m2)y2b2mba2b0,2b2mb2 -

23、a22所以 y1 + 2 2f2 2Z =a +b m2a2 +b2m22 .因?yàn)楹阌? OB AB，所以N AOB恒為鈍角.即OAQb =(N,y1)丄,y2)=4x2 +%丫2 0恒成立.X1X2+ y1 y2=( my1)( myM)+ y 尸2(劃(mTO/b 2)穴 1 2b m +4a2+b2m2a b2m2(m2 中 1)(b2-a2b2)2b2m2-m2a2b2+b2-a2b2+a2=222-2 丄，22+1= 2 丄 22 0,|所以2-bl2ai2b2+b2aab2+aa a2 -a2b2+b2對(duì) m R 恒成立. c22 0 222 2 .2,2,2 八2. 4a - a

24、 b 0. a a b - b a 或 a,2 2 2a2 +b2m2當(dāng)m亡R時(shí)，a2b2m2最小值為+0，所以2 2因?yàn)閍0,b0,所以a0,解得或a2b2(a1)=1.1 V2(n)解：(i)當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)，x=1代入飛+丄2=1,Vaa b a2 1因?yàn)楹阌?|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1 + yA2)1，即一1,a 解得a +翕或a1 +厲.2 2 2(ii)當(dāng)直線I不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A (X1,y1), B ( X2,y2).2 2設(shè)直線 AB 的方程為 v=k(x-1)代入+-V2 =1,得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,a b

25、_ 2. 2 2 2 2. 2冊(cè) V 2a ka k -a b故 x1 +x2= ,X2X2 =亍亍.b+a kb+a k因?yàn)楹阌?|OA|2+|OB |2|AB|2,所以 x21+y21+ x22+ y22( X2-X1)2+(y2-y1)2 得 x1x2+ 燉20/ 22. 2 . . 2 22. 22 2a k 2 (a -a b +b )k -a b 222 k =b+a k由題意得(a2- a2 b2+ b2) k2- a2 b20 對(duì)R 恒成立.當(dāng).2, 2 2 b +a k當(dāng)a2- a2 b2+b2=0當(dāng)解得小22.2.2 Ca - a b +b 或2時(shí)，不合題意；1 +s/5a

26、=;2222242a - a (a -1)+ (a -1)0,3-J51+ J5 吐、1+J52 21 +亦 、2|AB |=4為直徑的半圓ADB中， NPOB = 3O，曲線C是滿足 的軌跡，且曲線C過點(diǎn)P.求曲線 C的方程；時(shí),時(shí),a22綜合(i) (ii), a的取值范圍為(17.如圖，在以點(diǎn)O為圓心， OD丄AB, P是半圓弧上一點(diǎn)， |MA|-|MB|為定值的動(dòng)點(diǎn) M(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，(n)設(shè)過點(diǎn) D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn) E、F . 若OEF的面積不小于2 J2，求直線I斜率的取值范圍.(I)解法1 :以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、Ay軸，建立平

27、面直角坐標(biāo)系，則解：0), B (2, 0), D(0,2),P (73,1),依題意得I MA I - I MB I = I PA I - I PB | = (2 + *g)2 +12 - J(2-73)2 +12 =22 0, b 0).4.則由 a2a2 +b2 =41 _ 1 2 2 b2解得a2=b2=2, 曲線C的方程為 =1.2 21/(n)解法1:依題意，可設(shè)直線I的方程為 直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn) E、1-k2 工0C22A =D +4X6(1 - k ) A0設(shè) E (X,y), F(X2,y2),則由式得X什X2=I EF I =J(X1 X2)2 +(% +X2)2J1 +k2而原點(diǎn)0到直線I SaDEF=2d 242，則有2龐k X2邁二 k4 -k2 -2 蘭0,解得-72 蘭k 72.1k2綜合、知，直線I的斜